Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

координат и по-другому. Не менее простые схемы видны из рисун­ ков.

Если, однако, выбрать оси совсем случайно, то легкую задачу можно превратить в очень трудную.

Чтобы начать доказательство исходя из этого рисунка, нужно найти способ, позволяющий выра­ зить алгебраически, что Д АВС

имеет при вершине А прямой угол. Сделать это можно, но будет это не очень-то просто и не особенно приятно.

Пользуясь системой координат для доказательства каких-либо утверждений относительно парал­ лелограммов, мы почти всегда вы­ бираем оси так, как показано здесь. Если дан параллелограмм ABCD, то мы помещаем начало коорди­

нат в вершину А, а оси проводим так, чтобы вершина В при­ надлежала положительному лучу оси х, а вершины С и D —верх­

ней полуплоскости. Тогда подъем отрезка ÄB равен 0 и AB j| CD. Поэтому и подъем отрезка CD равен 0, или

425

Следовательно, мы можем на ри­ сунке заменить е на с. (Почему?) Мы также утверждаем, что

d = а + Ъ.

Если стороны AD и ВС не верти­ кальны, то они имеют подъемы и эти подъемы одинаковы. Таким образом,

с—0 с —О

Ь — 0 d—а ’

То есть b — d —а и d —a + b.

Если стороны AD и ВС верти­ кальны, то и

Ѵ(а + Ь — 0)2 + (с—0)2 = ѴѴ —b f + (0 — cf,

или

(іа-f b f + с2 = (а — b f + с2,

или, наконец, а2 + 2аЬ + Ь2+ с2 = а2 — 2ab-\-b2-\-c2.

426

Приведенные ниже задачи дадут вам возможность немножко попрактиковаться в применении метода координат. Поэтому, ре­ шая эти задачи, вы должны стараться переложить большую часть работы на алгебру, пользуясь иллюстративными примерами из этого параграфа как Моделями.

Задачи к § 8

Докажите следующие теоремы, пользуясь методом координат.

1.Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам (иными словами — имеют общую середину).

2, Диагонали прямоугольника на рисунке слева имеют равные длины.

4. Диагонали ромба перпендикулярны. ( У к а з а н и е . Пусть ромб имеет вер­ шины (0, 0), (а, 0), (а + 6, с) и (6, с). Проверьте, что подъемы диагоналей обратны по величине и противоположны по знаку.)

5.Средняя линия трапеции парал­ лельна ее основанию, а длина сред­ ней линии равна полусумме длин оснований.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям, а его длина равна полуразности длин оснований.

7.Отрезки, соединяющие по порядку середины смежных сторон произ­

вольного четырехугольника, обра­ зуют параллелограмм. ( З а м е ч а ­ н и е . Как бы ни был «наклонен» четырехугольник, мы можем вы­ брать наши оси так, чтобы одной его вершиной была точка (0, 0), а одна его сторона шла по оси х.)

8. Отрезки, соединяющие по порядку середины смежных сторон равно­ бедренной трапеции, образуют ромб.

427

11. Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диа­

щего середины диагоналей.

13+. Докажите, что все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда1 конгруэнтны и имеют общую середину.

Таким образом, углы, треугольники и полуплоскости являются графиками; это же относится и к отрезкам, лучам и пря­ мым.

Термин «график» обычно употребляют, когда хотят описать данную фигуру условием, которому удовлетворяют все точки этой фигуры и только они 2. Вот несколько примеров.

428