В каждом из этих случаев мы говорим, что данная фигура яв ляется графиком условия, которое ее описывает. Таким образом, каждая из этих семи фигур является графиком соответствующего условия.
П о в т о р я е м : график некоторого условия — это множество всех точек, удовлетворяющих этому условию.
Чаще всего этим термином пользуются, когда данное условие, как в наших примерах, выражено алгебраически, на языке системы координат. Когда условие сформулировано в виде некоторого урав нения, естественно говорить, что рассматриваемая фигура является графиком этого уравнения. Например, вертикальная прямая, про ходящая через точку (1, 0), является графиком уравнения х =1 . Подобным же образом первая из наших семи фигур служит гра фиком неравенства у > 0 .
Задачи к |
§ 9 |
|
|
1. |
В одной и той же системе координат нарисуйте графики следующих условий: |
|
а) |
х = 5; |
Ь) |
х < — 2; |
с) |
у ^ 4; d) у = 0. |
2. |
В |
одной |
и той же системе координат нарисуйте множество точек, описывае |
|
мых следующими условиями: |
|
а) |
| * | = 2; |
Ь) \у\ < |
1; |
с) |х\ 2s 3. |
3.Нарисуйте объединение графиков уравнений х = 3 и у = 2. Какое они имеют пересечение?
4.Даны условия:
Is. X — положительное число; 2‘ä. у — положительное число.
a) |
Нарисуйте |
объединение графиков |
условий 1° и 29. |
B ) |
Нарисуйте |
пересечение графиков |
этих условий. |
5.Нарисуйте пересечение графиков сле дующих четырех условий:
* Э = 0; |
у'З? 0; у sg 4 . |
Опишите это пересечение словами.
6. Сформулируйте условия, описываю щие область, изображенную на ри сунке.
7.Нарисуйте график и найдите площадь пересечения множеств всех точек, удовлетворяющих условиям:
— 1sS X sS 3 и — 2 ^ у ^ 5 .
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Расстояние от точки |
Р (х, у) до |
А (1 , |
0) равно расстоянию |
от Р до В (7, 0). |
|
Напишите уравнение, выражающее его условие. Сколько таких точек суще |
|
ствует? Нарисуйте множество всех таких точек Р. |
|
9. |
Напишите уравнение |
для множества |
всех точек Р (*, у), |
равноудаленных |
|
от точек А (0, 6) и 5 ( 6 , 0). Нарисуйте график. |
|
10*. Нарисуйте |
график |
уравнения |
у = \х\. |
|
11*. Нарисуйте |
график |
уравнения |
у — — ( * ( , |
|
12+. Точка Р ( х , |
у) лежит между точками Л( 1, |
3) и В (8, 6). Пользуясь |
фор |
мулой расстояния и определением понятия |
«между», |
напишите уравнение, |
выражающее это условие, наложенное на точку Р. |
|
|
13*+. Пусть Р = |
(х, у), Л = (а, с) и В = ф , d). Какое условие выражается |
урав |
нением |
Ѵ(х-а)* + (у-с)* + Ѵ (х-Ь? + ( у - ф |
= |
|
|
|
= V ( a - f c )2+ ( c - d ) 2 ?
14*+. В одной и той же системе координат нарисуйте множества всех точек
Р (X, у), удовлетворяющих условиям:
a) V (*-3)2 + (y+ 2)2 + / ( x - 7 ) 2 + G /-l)2 = 5;
|
|
|
|
|
|
|
|
b) V |
J x - 8 )2+ (r/ + |
2)2= |
V (х-7)2 + ( ! /- т |
J 5 * +. На |
этом рисунке |
плоскость Е |
па |
раллельна плоскости хОг, а плоскость |
F — плоскости уОг. |
Плоскости Е |
и F |
пересекаются |
по прямой |
A B . |
Прямая |
CG |
лежит в |
плоскости |
Е , а |
прямая |
СН — в |
плоскости F , и обе они лежат |
в плоскости |
хОу. |
|
|
|
|
a) Какие координаты имеет точка С?
B ) Графиком какого уравнения яв ляется плоскость £ ? плоскость F ?
c)Графиком какого условия является прямая Л В?
d)Графиком какого условия являет ся точка С?
І 6* +. Дана система координат в трехмерном |
пространстве. |
Какие множества |
точек являются графиками следующих условий: |
|
а) |
г = |
0; |
|
Ь) х= 0; |
с) |
£/ = 0; |
d) |
г/= |
3; |
|
е) г = |
5; |
0 |
\У 1 - 2 ; |
g) х = 0 и у — 0; |
h) л: = 3 и 2= 0; |
|
|
i) I г/1= 2 и г = 0; |
j) лг = -3 и у = 2? |
|
|
§ 10. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ |
|
|
Легко описать уравнением вер |
|
|
тикальную прямую. |
|
|
|
|
Если |
эта |
прямая |
пересекает |
|
|
ось X в |
точке |
(а, 0), |
то она |
яв |
|
|
ляется графиком уравнения
х — а.
Для невертикальной прямой нужно воспользоваться понятием подъема. Допустим, что прямая /
проходит |
через точку Р1 — (х1, уг) |
и имеет |
подъем т. |
Если Р = {х, у) — любая другая точка прямой /, то
так как все отрезки, принадлежа щие I, имеют подъем т.
Конечно, этому уравнению не удовлетворяет точка Рѵ так как
при х —хх и у = уг дробь превращается в бессмысленное выраже ние 0/0, которое не равно т (и вообще ни чему в точности не равно). Но это легко исправить. Умножая на х —xlt мы получим
у — і/1 = т(х — х1).
Эта операция добавляет к графику одну точку, любая точка пря мой I, отличная от Рѵ удовлетворяет новому уравнению, потому что она удовлетворяла старому. Но ему удовлетворяет и точка Рѵ так как при х —хх и у = уг мы получаем 0 = т • 0, а это равенство, конечно, верно. Запишем этот результат в виде теоремы:
Теорема 13.7
Пусть I —прямая с подъемом т, проходящая через точку (х{, Уз). Тогда каждая точка (х, у) прямой I удовлетворяет уравнению
у — у1 = т (х— х1).
Заметим, что эта теорема не у т в е р ж д а е т , что / есть график выписанного выше уравнения. А последнее мы еще фактически и не доказали: мы доказали лишь половину этого утверждения. Когда мы говорим, что прямая / есть график уравнения, то мы подразумеваем две вещи:
1°. Каждая точка прямой / удовлетворяет этому уравнению. 2°. Каждая точка, удовлетворяющая этому уравнению, принад
лежит I.
Пока мы доказали лишь утверждение 1°. Докажем теперь утвер ждение 2°.
jf'
/ ж Р(х,у)?
Допустим, что Р (х, у) — точка, для которой
у — у1 = т(х — х1).
Если х = х{, то у —Ух и точка |
Р принадлежит I. Если же хфХх, |
то отрезок PjP не вертикален |
и его подъем равен |
Следовательно, прямые РгР и / имеют один и тот же подъем, т. е. они или параллельны, или совпадают. Но параллельными они быть не могут, так как обе они содержат точку (хъ Ух). Таким обра
зом, РгР и есть прямая /, а значит, точка Р принадлежит /. Это дает нам теорему, которая звучит проще и утверждает
больше, чем предыдущая теорема.
Теорема 13.8
Графиком уравнения
у — У х ^ т ( х — Хх)
является прямая, проходящая через точку (х1г Ух) и имеющая подъем т.
Уравнение, о котором говорится в этой теореме, называют
уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном на правлении.
Если мы знаем координаты двух точек какой-либо прямой, то легко найти ее уравнение.
Допустим, например, что прямая проходит через точки
Рх (2,1) и |
Р%(5,3). |
Тогда |
ее подъем |
равен |
т- |
3 - 1 |
2 |
■ |
|
5 — 2 |
3 |
Подставляя в уравнение прямой, проходящей через данную точку
в данном направлении, Р1(2,1) 2
и т — -д, получаем
Это уравнение можно упростить, заменив его эквивалентным первоначальному уравнением
|
|
3у — 3 ~ 2х —4, |
|
|
|
или |
|
2х—Зу= 1. |
|
|
(2) |
|
|
|
|
Заметим, однако, что хотя уравнение (2) «проще» |
уравнения |
(1), его не так легко |
истолковать. Пользуясь |
теоремой |
13.8, |
мы |
сразу |
можем сказать, |
что графиком уравнения |
(1) является |
пря- |
мая, |
проходящая через точку (2,1) и имеющая подъем |
2 |
Для |
у . |
упрощения уравнения (2) все это далеко не так очевидно. Если дано уравнение в том
виде, как в теореме 13.8, то легко нарисовать его график. Возьмем, например, уравнение
У—3 = 2 {х-\-1).
Сразу видно, что график содер жит точку (— 1,3). Чтобы нари совать прямую, остается только узнать еще одну ее точку. (По чему?) Полагая х = 0, нахо дим
У—3 — 2(0-f 1),
или
г/= 5.
Следовательно, точка (0,5) принадлежит нашему графику. Поскольку мы с самого начала знаем, что графиком является прямая, мы можем теперь ее провести с помощью линейки. Однако на прак тике не плохо проверить себя, подсчитав координаты какой-либо третьей точки. Полагая, например, у = 0, получаем
0 — 3 = 2 (х + 1),
откуда
Следовательно, точка (— oj лежит на нашем графике, что и
показывает рисунок.
Следующая теорема легко вытекает из теоремы 13.8.
