Теорема 13.9
Графиком уравнения
у = тх-\-Ь
является прямая, проходящая че рез точку (О, Ь) и имеющая подъем т.
В самом деле наше уравнение можно записать так:
у — Ь — т (х—0).
Уравнение у — тх-\- b называют «уравнением прямой с подъемом» (или «уравнением с угловым коэффициентом»). Для многих целей оно наиболее удобно.
Мы можем теперь нарисовать график уравнения
У = \х\,
пользуясь следующим методом. Сначала мы нарисуем (см. слева) графики уравнений у —х и у = — х.
Вспомним теперь, что абсолютная величина | х | определяется следующими условиями:
1°. |
при |
х ^ О |
\х\ = х; |
2°. |
при |
х ^ О |
Iл;I = — X. |
Это значит, что |
правее оси у |
наш график принадлежит |
прямой /ъ но не прямой /2; левее же оси у наш график, напротив, принадлежит прямой /2, но не Іх. Таким образом, график выглядит так, как изображено на правом рисунке.
Легко видеть, что два луча на этом рисунке перпендикулярны. Следовательно, графиком уравнения у = \х\ является прямой угол.
Задачи к § 10
1. Ниже записаны уравнения прямой, проходящей через данную точку в дан ном направлении. Для каждого уравнения определите подъем прямой и две ее точки и нарисуйте прямую:
а) |
у - |
3 = 2 (X — 4); |
|
Ь) |
у - 1= | - (де — 6); |
с) |
і/ + 6 = — ~ ( х — 8); |
|
d) |
у — 5 = 3х; |
|
е) |
у = — 2 ( * + |
3). |
|
|
|
|
2. Напишите уравнение прямой, |
проходящей |
через точку Р и имеющей подъем |
т, |
если |
дано, |
что |
|
|
|
|
а) Р = ( 4 , 1 ) и m = 3 ; |
|
b) P = ( ^ - t — 4^ и т = — 2; |
с) |
Р = |
(8,2) |
и |
/я — І |
; |
d) |
Р = ( - 4,0) |
и т = | - ; |
е) |
Р = |
(— 6,5) |
и т = |
0. |
|
|
|
3.Для каждой пары точек сначала найдите подъем содержащей эти точки прямой, а затем напишите уравнение прямой:
a) (5,2) и (2,8);
B ) (2,4) и (4,5);
c)(0,0) и (1,5);
d)(2,7) и (— 8,5);
e)( - 6 , 0 ) и (0,4);
f) |
(9, - 1 5 ) и |
(12, - 1 8 ) ; |
|
|
g) |
( - 4 , |
- 1 3 ) |
и |
(19,33); |
|
|
h) (| /2 , У 8 ) и ( - К 8 , - Ѵ Т ) . |
|
|
4. Джоан и Эл |
сравнили свои решения задач из домашней работы. Была |
задана |
такая задача: |
|
|
|
«Напишите уравнение прямой, проходящей |
через точки (2, — 5) и (8,7)». |
Джоан |
получила |
уравнение (/ + 5 = |
2 (х — 2), |
а у Эла получилось у — 7 = |
= |
2 ( х — 8). Чей |
ответ был правильным? Объясните. |
5. Для каждого |
из приведенных ниже уравнений прямой с подъемом найдите |
подъем и точку пересечения прямой |
с осью у и нарисуйте прямую: |
а) |
у = 22* + 6; |
|
b) у — — 2* + 6; |
|
|
с ) ( / = - д Х ; |
|
d) j/ = 2x — 6; |
|
|
е) |
y = |
j x |
— 6. |
|
|
|
|
6. Напишите уравнение прямой с подъемом — 5, содержащей точку (0,4).
7. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (7, — 6) и парал лельной прямой с уравнением
У ~ ~ 2 x - j - 1.
8. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку ( — 2,0) и перпенди кулярной прямой с уравнением
У = - ^2х , +0 6.
9. В одной системе координат нарисуйте графики уравнений
У = 3, У= х + 3, |
у — 3 = |
~ (х 8). |
a) Какие координаты имеют три точки, в которых пересекаются эти пря мые?
B ) Найдите площадь треугольной области, ограниченной этими тремя пря мыми.
10*. В одной системе координат нарисуйте графики уравнений
y = — - j x + 4, |
у = -j X + 4, |
у + 1 = — I (JC— 10). |
a) Какие координаты имеют три точки, в которых пересекаются эти пря мые?
B ) Найдите площадь треугольной области, ограниченной этими тремя пря мыми.
11*. Нарисуйте график уравнения х = \ у |.
12*. Нарисуйте график уравнения \х\-\-\у\ — ^.
І3+ . Пользуясь уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, докажите, что уравнение прямой, проходящей через точки (а, 0) и (0, 6) можно записать в виде
|
|
|
І |
+ |
1 - І |
( а . Ь ф 0). |
|
Объясните, |
почему |
уравнение в такой |
форме называется «уравнением |
пря |
мой в отрезках на осях (координат)». |
|
|
|
14+. Пользуясь |
задачей |
13, |
напишите уравнение |
прямой, пересекающей |
ось х |
при х = 5 и ось у при у = |
3. |
Проверьте |
свое уравнение с помощью уравне |
ния прямой |
с подъемом |
или |
уравнения |
прямой, проходящей через данную |
точку в данном направлении. |
|
|
|
|
15*+. |
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Злг-f- 6у-\ -2г— 12 |
|
|
в |
системе координат |
в |
пространстве является |
уравнением некоторой |
пло |
скости, пересекающей каждую из осей координат. Какие координаты имеют точки пересечения этой плоскости с осями?
16*+. На этом рисунке |
плоскость |
К |
пересекает |
оси в |
указанных |
точках. |
Вот |
уравнение плоско |
сти |
К '■ |
|
|
|
|
|
6 * + 4г/-(-9г = |
36. |
a) Напишите |
|
уравнения пря |
|
мых, |
по которым плоскость |
|
К пересекается с каждой ко |
|
ординатной |
плоскостью. |
B ) |
Покажите, |
|
что |
уравнение |
|
плоскости |
К |
можно перепи |
|
сать |
в виде |
|
|
X
6
17*+. Напишите уравнение плоскости, определяемой тремя точками:
a) |
(5, |
0, |
0), |
(0, |
3, |
0) |
и |
(0, |
0, 4); |
|
|
B ) |
(12, |
0, |
0), |
(0, |
4, |
0) |
и |
(0, |
0, |
- 3 ) ; |
|
|
c) |
(5, |
0, |
0), |
(0, |
- 3 |
, 0) |
и (0, 0, |
10). |
' |
|
( У к а з а н и е . |
См. |
задачи |
13 |
и 16. |
Доказывать, что |
ваши уравнения пра |
вильны, |
|
не |
требуется.) |
|
|
|
|
|
18*+. |
Для каждого из следующих уравнений определите точки пересечения |
соответствующей |
плоскости |
с осями и нарисуйте эти |
плоскости в простран |
стве: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
4х |
|
Зу -j- 2z = |
12; |
|
|
|
|
|
|
B ) |
Ых + |
ЗБу + |
10z = |
70; |
|
|
|
|
|
c) |
9 х — 7y + |
22z = 63; |
|
|
|
|
|
|
d) |
6x + |
5z = |
30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
19*+ . На этом рисунке А В, CD и Ë F — соответственно проекции прямой PQ на
плоскости хОу, уОг и хОг. |
|
|
a) Найдите координаты точек А, В , |
С, D, Е и F. |
чС: '> |
^ |
<■"> |
B ) Найдите уравнение прямых A B , |
CD |
и E F в координатных плоскостях, |
в которых они лежат. |
|
|
Конку рсная задача |
|
Дан |
Д А В С с |
вершинами А (а , а'), |
< а < с |
< Ь и |
0 < |
а ' < &' < с'. |
Докажите, |
что |
|
^ д ABC= '2' f a ( * ' — c') +
+ Ъ(с' — а')-\ -с(а' — Ь')).
Что произойдет с правой частью этой формулы, если поменять местами точки А к B f точки Л и С? точки В и С?
В (b, b') и С (с, с'), причем 0 <■
У і
Вопросы и задачи для повторения
1. Какие координаты имеет проекция точки (5,2) на ось х> на ось у ?
2.Выпишите координаты четвертой вершины прямоугольника, тремя другими вершинами которого являются точки
( - 1 , - 1 ) , |
(3, - 1 ) |
и |
|
(3,5)? |
3. Найдите периметр и площадь |
треугольника |
с |
вершинами (3,2), (3, — 4) и |
(9, - 4 ) . |
|
|
|
|
4. Дан А А В С с вершинами А ( — 3, — 5), В (3, |
3) |
и С (13, — 9). |
a) Найдите координаты середины каждой |
из его |
сторон. |
B ) Найдите длину каждой его |
медианы. |
|
|
|
c)Пользуясь уравнением прямой, проходящей через данную точку в дан ном направлении, напишите уравнение прямой, содержащей каждую из
|
Медиан. |
|
|
5. |
Вершинами четырехугольника служат точки Л ( — 1, 1), |
В (4, 3), С (6, — 2) |
|
и D ( l , - 4 ) . |
|
|
|
a) Докажите, что □ |
А BCD — параллелограмм. |
|
|
B ) Покажите, что его диагонали перпендикулярны. |
|
|
c) Конгруэнтны ли |
его диагонали? |
|
6. |
Прямая с подъемом |
2 |
^-координату имеет |
содержит точку (0, — 6). Какую |
точка этой прямой с х-координатой 12?
7.Пользуясь методом координат, докажите, что диагонали равнобедренной трапеции, не являющейся параллелограммом, конгруэнтны.
8.Докажите, что треугольник с вершинами А ( — 3, 7), 0 ( 2 , — 2) и С (11, 3) является равнобедренным и прямоугольным.
Ѳ. |
Одним концом отрезка |
является |
точка ( — 1, |
8), |
а |
его |
серединой — точка |
|
(4, 2). Найдите координаты другого конца. |
|
|
|
|
10. |
Треугольник имеет вершины Л (5, |
7), В (2, 0) |
и С (5, |
— |
3). Найдите длину |
|
высоты, проведенной к наибольшей стороне. |
Найдите |
площадь треуголь |
|
ника. |
|
|
|
|
|
|
11. |
Отрезок имеет концы (4, — 2) и (13, 13). Найдите координаты точек, деля |
|
щих этот отрезок на три конгруэнтные части. |
|
|
|
|
12. |
Напишите уравнение множества всех точек |
Р (х, |
у), |
равноудаленных от |
|
точек Л (0, 8) и В (12, |
— 8). |
|
|
|
|
|
13.Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (0, 5), и параллель ной прямой у = 2 х — 13.
14.Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (6, — 1), и перпен
дикулярной прямой г/= З х + І .
15. В одной системе координат нарисуйте графики уравнений х = 9, у = х и
У — 1 = — |
^ ( х — !)• |
a) |
Найдите |
координаты точек пересечения этих прямых. |
B ) |
Найдите |
площадь треугольной области, ограниченной этими прямыми. |
