Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл (25,48Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 294

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Определение

Говорят, что две окружности к а с а ю т с я , если они касают ся одной и той же прямой в одной и той же точке. Если две ка сающиеся окружности компланарны и их центры лежат по одну сторону от их общей касательной, то говорят, что они к а с а ю т с я в н у т р е н н е . Если две касающиеся окружности компланар

ны и их центры лежат по разные стороны			от их общей каса
тельной, то говорят,	что они к а с а ю т с я		внешне.
Задачи к § 2 (часть	1)
1. Нарисуйте окружность	с центром Р	и радиусом PQ = 3 см. Нанесите точку
А, для которой РА = 4	см, и точку	В , для которой Р В = 2 см. Теперь до

полните следующие утверждения.


	a) Точка А принадлежит...			окружности,		потому что ... .
	B ) Точка В принадлежит...			окружности,		потому что...	,
	c) Окружности	с радиусами		PA , PQ и Р В называю тся... .
2.	Расскажите, как сможете вы построить				касательную		к окружности	в дан
	ной ее точке, если вам		известен центр		этой окружности.
3.	Е — точка, лежащая вне		окружности. Сколько касательных к этой					окруж
	ности содержат точку £ ? Сделайте рисунок.
4.	Доказать: если даны две концентрические ок
	ружности, тогда каждая хорда большей окруж
	ности, касающаяся меньшей окружности, де
	лится точкой	касания пополам (см. рисунок).
	( У к а з а н и е .	Проведите		отрезки Р А ,		PQ и

Р В .)

5.Докажите, что касательные к окружности, про веденные в концах ее произвольного диаметра, параллельны.

6.На рисунке показано одно из возможных рас положений трех окружностей, имеющих раз личные радиусы, при котором каждая из этих окружностей касается двух других. Сделайте рисунки, показывающие, по крайней мере, еще три другие возможности.

7.Докажите следующую теорему:

Если две окружности касаются, то их центры коллинеарны с точкой их касания.

( У к а з а н и е . Проведите их общую касательную .)

447

8. Докажите, что если две

конгруэнтные

окружности касаются

внешне, то

любая

точка,

равноудаленная от их

центров,

принадлежит их общей каса

тельной.

Расстояние

от точки Е до центра

окружности

равно 20. Радиус окруж

ности

равен

Прямая,

проходящая

через

Е,

касается этой окружности

точке

В .

Найдите Е В .

10.

Каждая из

окружностей

с центрами

А, В

и С

на этом рисунке касается

двух

других.

Найдите радиусы всех этих

окружностей, если А В = 10, АС =

В С =

18.

( У к а з а н и е .

Радиус

одной из окружностей

обозначьте

буквой

X.)

11. Дан	рисунок,		на	котором	точки Р	и Р'	являются центрами	касающихся
окружностей,			а прямые Р В		и Р'А — касательными соответственно в точках
5 и Л.		Найдите		Р В и Р'А, если		дано,	что радиусы этих	окружностей
равны	9	и 6.

12. Две концентрические окружности имеют диаметры 10 и 26. К меньшей окружности проведена касательная. Найдите длину отрезка этой касатель ной от точки ее пересечения с большой окружностью до точки касания с меньшей.

1 3 *. Д а н о : Отрезок A B на	левом рисунке	является диаметром	окружности
с центром Р . Прямая I	касается этой	окружности в точке	Т. Отрезки
AD и В С перпендикулярны I.
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь : P D = PC.

14*. На	правом	рисунке	окружности с центрами	Р	и 5 касаются прямой /
в точке Q. Секущая большей окружности проходит					через Р , касается мень
шей окружности в точке Т и пересекает прямую				I в точке R . Найдите QR,
если	дано, что	радиусы	этих окружностей равны	8	и 3.

15*. А В — диаметр и Л С — любая другая хорда окружности с центром Р . Секу

щая, проведенная через	Р параллельно	АС, пересекает в	точке D касатель-
ную к окружности в точке С. Докажите, что прямая			^ >
ную к окружности в точке С. Докажите, что прямая			D B касается этой
окружности в точке В.	( У к а з а н и е .	Проведите радиус	P C .)

448

Следствие 14.6.1
Никакая окружность не содержит трех	коллинеарных точек
t u	1 2

г	. . . Г 1	п
Q	*	S

15 Геометрия

449

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если бы три точки Q, R и S были

коллинеарны, то медиатрисы хорд QR и RS были бы параллельны. Но это невозможно, так как обе эти прямые проходят через центр окружности.

Определение

Окружности с конгруэнтными радиусами называются к о н г р у э н т н ы м и .

Заметим, что это определение конгруэнтных окружностей согла суется с употреблением слова конгруэнтные для отрезков, углов

итреугольников. Во всех случаях в основании лежит одна и та же идея: две фигуры конгруэнтны, если они одинаковы и по форме

ипо размерам.

Теорема 14.7

В одной окружности или же в конгруэнтных окружностях хорды, равноудаленные от центра, конгруэнтны.

Доказательство? (Некоторые пометки на наших рисунках осно ваны на теореме 14.4.)

Теорема 14.8

В одной окружности или же в конгруэнтных окружностях любые две конгруэнтные хорды равноудалены от центра.

450

В заключение отметим следующую тео рему:

Теорема 14.9
Если прямая содержит какую-нибудь
точку, лежащую внутри окружности, то
она пересекает эту окружность в двух и
только в двух точках.	Пусть,	как	на
Д о к а з а т е л ь с т в о .
нашем рисунке, С —окружность радиуса			г
и / — прямая. Допустим,	что I	содержит

точку R,	лежащую		внутри окружности С;			тогда PR <	г. Пусть
F — основание		перпендикуляра, опущенного				из точки Р	на пря
мую /, и	пусть	PF = s.
1°. Если точка X			одновременно принадлежит и / и С, то I\ P F X
имеет при вершине F прямой				угол,	и потому
Следовательно,			r2 = s2 + FX2.

2°. Если точка X принадлежит прямой / и если F X —Y 1"2 — s2,
то точка	X принадлежит также С. В самом деле,
	Р Х 2 —PF2+ FX2= s2 + {г2 - s2) = г2.
Но г2 —s2> 0,			так как	г > 0 .	Таким	образом, по теореме
о нанесении точки			существует ровно две точки X прямой /, для
которых	FX — Y г2 — s2. Следовательно, окружности С принадле

жат две и только две точки прямой /, что и требовалось доказать.

Задачи к § 2 (часть 2)

1. Сформулируйте теорему или следствие, на ко торые опирается каждое из следующих заклю чений. Обозначения указаны на рисунке, где Р — центр данной окружности.

a) Если P N _L CD, то CN = ND .

b) Точки,Л, Q и В не коллинеарны.

с) Если PM — P N , РМ 1 A B и P N _L CD, то A B ^ C D .

d) Если A B ^ C D , РМ ± A B и P N ± C D , то PM = P N .

e) Если R T — касательная, то R f ± PQ.

f)Если точка M лежит внутри окружности, то прямая MQ пересекает окружность в одной и только одной точке, не считая точки Q.

15*

451