Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

2. Хорда окружности радиуса 10 см удалена на расстояние 6 см от центра этой окружности. Какую длину имеет хорда?

3. Диаметр окружности и хорда имеют общий ко­ нец. Насколько отстоит хорда от центра ок­ ружности, если длина диаметра равна 40, а хорды 24?

10. Хорда длиной 18 см перпендикулярна радиусу окружности. Расстояние от точки пересечения хорды с радиусом до внешнего конца радиуса равно 3 см. Найдите длину радиуса.1

11. Ответ на каждый из пунктов этой задачи дол­ жен иметь следующий вид. Если в задаче со­ держится больше информации, чем нужно для получения числового ответа, то напишите «из­ лишне». Если вам не хватает данных, то на­ пишите «не достаточно». Если количество ин­ формации ровно таково, какое нужно для по­ лучения числового ответа, то напишите «пра­ вильно».

453

>3*. Д ве окружности неравных радиусов пересекаются в точках R и 5 . Точка М

14*. Докажите следующую теорему:

Л юбые три неколлинеарные точки п ринадлеж ат некоторой окружности.

§ 3. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ К СФЕРЕ

что отношение между сферами и плоскостями в пространстве очень похоже на отношение между окружностями и прямыми на пло­ скости. Поэтому существует очень тесная аналогия между опре­ делениями и теоремами из предыдущего параграфа и определени­ ями и теоремами этого параграфа.

Определения

В н у т р е н н о с т ь ю сферы называется множество всех точек пространства, расстояние которых от центра этой сферы меньше ее радиуса. В н е ш н о с т ь ю сферы называется множество всех точек пространства, расстояние которых от центра этой сферы больше ее радиуса.

453

Таким образом, каждая точ­ ка пространства или принад­ лежит внутренности сферы, или принадлежит ее внешности, или же, наконец, принадлежит дан­ ной сфере. (Мы говорим также, что точка лежит в н у т р и сфе­ ры, если она принадлежит ее внутренности, и что точка ле­ жит вне сферы, если она при­ надлежит ее внешности. Напо­ мним также, что О с / - и, зна­ чит, центр сферы всегда лежит внутри ее.)

Определения

К а с а т е л ь н о й п л о с к о ­ с ть ю к сфере называется пло­ скость, имеющая со сферой одну

итолько одну общую точку.

Эта точка называется т о ч ­

ко й к а с а н и я . Мы будем го­ ворить, что плоскость и сфера

ка с а ю т с я друг друга в этой точке.

На нашем рисунке плоскость Е касается сферы в некоторой точке. Впечатление будто точка касания не принадлежит «контуру» сферы. (Когда шар лежит на столе и мы смотрим на него сверху, мы не можем видеть его точки опоры.)

Каждая сфера имеет касательную плоскость во всякой своей точке. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема 14.10

Плоскость, перпендикуляр­ ная радиусу сферы в его внеш­ нем конце, является касатель­ ной к этой сфере.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть плоскость Е перпендикулярна

радиусу PQ в точке Q. Нам нужно показать, что никакая другая точка плоскости Е не ле­ жит на нашей сфере.

454

Теорема 14.11

Каждая касательная плоскость к сфере перпендикулярна ради­ усу этой сферы, проведенному в точку касания.

ность. Прежде чем продолжить исследование касательных пло­ скостей, покажем, что эти рисунки были правильными.

Теорема 14.12

Если плоскость содержит какую-нибудь точку, лежащую внутри сферы, то пересечение этой плоскости и сферы есть окружность. Центром этой окружности служит основание перпендикуляра, опущенного из центра сферы на данную плоскость.

455

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначения указаны на рисунке. Дано, что плоскость Е содержит точку R , лежащую внутри сферы S. Пусть F — основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на

s2 + PX2 = r2 и FX —У г2 —s2. Таким образом, точка X принадле­

сматриваемая окружность. Чтобы довести доказательство до конца,

ром F и радиусом / = ]/г 2 — s2. По теореме Пифагора

РХ2 = t2+ s2 = (г2 — s2) + s2 = г2.

Таким образом, Р Х —г и точка X лежит на сфере.

Теорема 14.13

Перпендикуляр, опущенный из центра сферы на любую ее хорду, делит эту хорду пополам.

Доказательство? (Оно такое же, как и у теоремы 14.4.)

45Ѳ