Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл (25,48Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 290

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

12*. Д а н о .		Плоскость		Е	пересекает
сферу	S .	Точка Р	является			центром
сферы	S ,	а точки	А,	В,	С	и М при


надлежат	плоскости Е,		причем точ
ки А и В	принадлежат также сфере S .
Р М ± Е ,		Ш ± М В , _	АС — ВС,
AM =		РМ, Л В =	5.

Т р е б у е т с я н а й т и . Радиус сферы,

т L А Р В и PC.

13*+. Две большие окружности называ ются перпендикулярными, если они ле жат в двух перпендикулярных пло скостях. Покажите, что для любых двух больших окружностей суще ствует третья большая окружность, перпендикулярная им обеим. Если две данные большие окружности являются меридианами на поверхности Земли (проходящими через полюсы), то ка кая большая окружность перпенди кулярна им обеим?

14*+. Точки Р и Р' на этом рисунке являются центрами сфер S и S '. Точки А

и В принадлежат пересечению этих двух сфер. Прямые A B и Р Р ' пересе

каются в точке М. Прямая РА касается 1 сферы S ' в точке А.

a) Объясните, какое множество является пересечением сфер S и S '.

b) Найдите радиус сферы S ' и расстояние между центрами сфер, если ра диус сферы S равен 12 и РА = АВ.

§ 4. ДУГИ ОКРУЖНОСТЕЙ

Мы начали эту главу с изучения окружностей, а затем пере

шли к рассмотрению аналогичных вопросов для сфер.	Однако
в оставшейся части этой главы мы ограничимся только	окруж

ностями, потому что соответствующая теория для сфер слишком трудна для того, чтобы ее можно было включить в первоначаль ный курс геометрии.

На следующем рисунке	АРВ является	центральным углом
окружности С.
Определение
Ц е н т р а л ь н ы м у г л о м	окружности	называется угол, вер

шиной которого является центр этой окружности.

1 То есть имеет со сферой S' лишь одну общую точку. — П рим, перев.

458

На следующем рисунке жирная

линия является	меньшей дугой AB,
а черная более	тонкая часть окруж

ности — большей дугой AB. В любом из этих случаев точки А и В назы ваются концами дуги.

Определения
Пусть		С —окружность с цент
ром Р, А и В — точки,			принадлежа
щие С,	но	не являющиеся концами
одного	диаметра. Тогда		м е н ь ш е й
д у г о й	AB	называется	объединение

точек А и	В и всех точек окружно
сти С, лежащих		внутри 2. АРВ.
Б о л ь ш е й	д у г о й	AB называется

объединение точек А и В и всех то чек окружности С, лежащих вне АРВ. В каждом из этих случаев точки А и В называются к о н ц а м и

дуги AB.

Если точки А Vi В служат кон цами какого-либо диаметра, то мы получаем две дуги, каждая из кото рых называется полуокружностью.

Определение

Пусть С —окружность, А и В— концы какого-либо одного ее диаметра.

П о л у о к р у ж н о с т ь ю		AB		назы
вается объединение точек А				и В и
всех точек	окружности	С,	лежащих
в данной	полуплоскости,		имеющей
своим ребром прямую AB.			Точки А
и В называются к о н ц а м и				полу
окружности.

Заметим, что обозначение дуг сим

волом AB всегда недостаточно четко, так как любые две точки А и В

Г Л

ÄT р ТЕ

459

окружности	служат концами дв ух			различных дуг этой окруж
ности. Простейший		способ,	позволяющий		избавиться	от этой
неточности,	состоит	в том,	чтобы	выбрать	еще одну	точку X

данной дуги и обозначать дугу символом АХВ. Например, на нашем

рисунке АХВ есть меньшая дуга, изображенная жирно, а AYB —

.большая дуга, изображенная более тонко. Когда из контекста

ясно, о какой дуге идет речь, можно писать просто А В.

Теперь мы хотим определить градусную меру дуг в соответ ствии с тем, как это подсказывается следующими рисунками.

Заметим, что градусная мера дуги не зависит от размера окружности. Соответствующие дуги двух концентрических окруж

ностей	на нашем	рисунке имеют одну и ту же меру. Заметим
также,	что когда	дуга	(на фиксирован
ной окружности)		становится		больше,
то увеличивается и ее			мера.	Таким об
разом, большая дуга всегда имеет меру,
превосходящую 180.
Эти идеи выражаются следующими
определениями:
Определение
1°.	Г р а д у с н о й		ме р о й	меныией
дуги	называется	мера соответствую
щего центрального угла.
2°.	Г рад у с на я м е р а полуокруж
ности равна 180.			ме р а	большей
3°.	Г р а д у с н а я

дуги равна 360 минус мера соответ ствующей меньшей дуги.

460

Начиная с этого момента градусную меру дуги мы будем на зывать просто «мерой» этой дуги. Мера дуги AB обозначается

символом тАВ.

Следующая теорема кажется вполне естественной, но ее до казательство удивительно нудно.

Теорема 14.15 (теорема сложения дуг)		В
		г ’
Если В — точка дуги	АС, то	s '

тАВС = тАВ -4- тВС.
Доказательство этого	утверждения мы	/77	-r+s
		АВС
опускаем; для практических целей мы бу
дем его рассматривать как аксиому. За
метим, что когда ЛВС —меньшая дуга,		С
наша формула сразу следует из аксиомы
сложения углов. Существуют, однако, и
другие случаи, которые	необходимо рас