18* . Отрезок fl В на этом рисунке является диа метром меньшей из двух концентрических ок
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ружностей. |
Отрезки |
А Р |
и BQ |
касаются |
мень |
шей |
окружности соответственно в точках А |
и В . |
Докажите, |
что |
A B |
и PQ |
пересекаются |
в |
центре окружностей. |
|
|
|
|
|
19*. |
Если |
равнобедренный |
треугольник |
вписан |
в окружность1, то мера дуги, высекаемой углом |
при |
его |
вершине, |
равна |
удвоенной разности |
мер внешнего угла |
при основании треугольника |
и самого угла при основании. |
|
|
|
|
2 0 *. |
Д |
А В С вписан в окружность. Хорда A E 1 |
ВС, |
а |
хорда |
CD ± A B . Докажите, |
что B D |
B E 3. |
2 1 *. Д ве конгруэнтные |
окружности |
внешне |
каса |
ются в точке Т. Диаметр PQ одной из них па |
раллелен |
диаметру S R другой, |
причем точки S |
и |
Q |
лежат |
по |
противоположные |
стороны |
сгг |
прямой P R . Докажите, что □ PQ R S — ромб.
§ 6. КОНГРУЭНТНЫЕ ДУГИ
Определение
Две дуги одной и той же окружности или же конгруэнтных окружностей называются конгруэнтными, если они имеют одну и ту же меру.
Заметим, что и здесь, как всегда, интуитивный смысл слова «конгруэнтные» состоит в том, что две данные фигуры имеют оди наковые размеры; одну из них можно передвинуть так, что она совпадет с другой.
Если две хорды одной и той же окружности или же конгруэнт ных окружностей конгруэнтны, то и соответствующие меньшие дуги конгруэнтны.
1 Определение см. на стр. 559.
*Определение конгруэнтности дуг дано в следующем параграфе.
-468
Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначения указаны на рисунке. Нам нуж
но показать, |
что |
r = s. В силу ССС АРВ ^ /\ А 'Р В '. Поэтому |
т L АРВ = т |
А'Р'В'. Так |
как т А В = т L APB и m A 'B ’ — |
= Z А'Р'В', |
то |
г —s и AB |
F è '. . |
Теорема 14.18
Если две дуги одной и той же окружности или же конгруэнт ных окружностей конгруэнтны, то и соответствующие хорды кон груэнтны.
В доказательстве нужно рассмотреть три случая, так как две данные конгруэнтные дуги могут быть меньшими дугами, больши ми дугами или полуокружностями. На следующем рисунке пока зано доказательство для второго из этих случаев.
Мы заключаем, что АВ —А'В ' на основании СУС.
Теорема 14.19
Дан угол с вершиной на окружности, образованный лучом се кущей и лучом касательной. Тогда мера этого угла равна поло вине меры высекаемой им дуги.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В обозна чениях, указанных на рисунке, имеем
х + у = 90, 2г/ + z = 180; мы хотим показать, что
1 * = 2 2-
Но это ясно, так как
X= 90 — у
и
г = 180 — 2у.
Задачи к § 6
1. На рисунке A B ^ C D . Докажите, что
ÂC ^BD .
2. На рисунке у окружности с центром
Р имеем Р М = Р К , причем отрезки РМ и РІС соответственно перпендикуляр
ны хордам R S и QT. Докажите, что
R S^Q T .
3. Лучи К Н и K G касаются окружности в точках Н и G. Найдите т / DGH к т / GH К , если мера большей дуги
GH равна 242.
4. Почему на рисунке для задачи 3
L K H G 9 / / K G H 7
5. Покажите, что если на рисунке для за дачи 3 т / К — 60, то мера большей
дуги GH равна удвоенной мере меньшей
дуги GH.
6. |
Докажите, |
что если |
две |
касательные |
|
к |
окружности |
пересекаются, |
то |
вместе |
|
с хордой, соединяющей точки их касания, |
|
они |
образуют |
равнобедренный |
треуголь |
|
ник. |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Докажите следующую теорему: |
|
|
|
' Если |
две дуги |
конгруэнтны, |
то |
любой |
|
- угол, вписанный в одну из них, конгруэн |
|
тен |
любому |
углу, вписанному |
в другую. |
8. |
На |
|
рисунке |
AD ~ / С В . |
Докажите, что |
|
□ |
A D BC — равнобедренная |
трапеция. |
9. Квадрат □ A B C D на правом рисунке вписан |
о |
в окружность и Р — любая точка дуги A B,
отличная от Л и В. Докажите, что лучи PC
и P D делят L А Р В на три конгруэнтные части.
10. |
Прямые РА |
и P D |
на |
этом |
рисунке |
касаются |
|
окружности |
соответственно |
в |
точках |
А |
и |
D. |
|
Найдите меру каждого угла и каждой меньшей |
|
дуги |
на |
рисунке, |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mAD = |
70, |
|
т В С = |
170 |
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
т L |
T A B = |
40. |
|
|
|
|
|
11. |
AB — диаметр окружности, |
хорда D E |
|
которой |
|
параллельна |
касательной |
СВ . |
|
|
|
|
|
|
а) |
Дано, |
что |
m BD = |
64. |
Найдите меру |
каж |
|
|
дого угла и каждой меньшей дуги на рисунке. |
. |
Ь) |
Дано, |
что АЕ — 16 и что радиус окружности |
|
|
равен |
10. |
Найдите |
длину |
каждого |
отрезка, |
|
с) Пользуясь информацией, полученной в Ь), |
|
|
найдите |
площадь |
□ |
A D BE . |
|
|
|
|
12. Дан |
угол с вершиной |
на |
окружности, |
образо |
|
ванный лучом секущей и лучом касательной. |
|
Докажите, что середина высекаемой им дуги |
|
равноудалена |
от |
сторон угла. |
|
|
|
|
|
13*. Д ве |
неконгруэнтные |
окружности |
касаются |
|
в точке Т . Секущая I, проходящая через Т, |
|
пересекает |
большую |
окружность |
в точке А и |
|
меньшую — в |
точке В . |
Докажите, |
что касатель |
|
ные в точках |
А |
и В |
параллельны. (З а |
м е ч а - |
|
н и е. |
Возможны |
|
два |
случая: а) |
окружности |
|
касаются внутренне; Ь) окружности касаются |
|
внешне.) |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
О |
|
|
|
|
|
14. |
На этом |
рисунке |
|
и |
|
|
|
|
|
|
P R |
|
QS — касательные, |
|
a PQ — диаметр. |
Найдите |
|
радиус окружности, |
|
если |
дано, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m MQ — 120 |
|
и |
RQ — 8. |
• |
|
|
|
15. Докажите следующую теорему:
М ера угла, образованного двумя секущими ок ружности, пересекающимися в точке, леж ащ ей внутри окружности, равна полусумме мер дуг, высекаемых этим углом и углом, ему верти кальным.
( У к а з а н и е . Докажите, что m Z . D K B =
= |
2 (m D B -\- m A C ). Сначала проведите хор |
ду |
ВС .) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
На |
рисунке к |
задаче |
15 а) mDB = AO и т А С = 90. Найдите т £ А К С . |
|
b) |
mAD= 100 |
и т В С |
= 170. |
Найдите т £ |
В К С . |
|
c) |
т А С = |
130 и т |
£ DKB = |
75. |
Найдите mDB |
|
d) |
mACD = |
310 |
и |
т В С = 200. Найдите т |
£ А К С . |
|
e) |
т В А С = |
180 |
и т |
£ DKB = |
57. |
Найдите |
mAD. |
17. |
Докажите следующую теорему: |
|
|
|
М е р а |
угла, |
о б р а з о в а н н о г о д в у м я |
с е к у щ и м и |
о к р у ж н о с т и , п е р е с е к а ю щ и м и с я |
. в т о ч к е , л е ж а щ е й в н е о к р у ж н о с т и , р а в н а п о л у р а з н о с т и м е р в ы с е к а е м ы х э т и м у г л о м дуг.
( У к а з а н и е . |
Докажите, |
что т £ К |
= |
-^(mBD —т А С ) . Сначала прове |
дите хорду |
В С . ) |
|
|
|
|
|
18. На рисунке к задаче 17 |
|
|
|
|
a) |
mBD = |
70 и т А С |
— 30. |
Найдите т |
£ К - |
|
b) |
mBD = |
126 |
и т А С |
= 18. Найдите т |
£ К , |
|
c) |
т А С |
= |
50 |
и т L |
К = 22. Найдите mBD. |
|
d) |
т А В |
= |
80, |
mBD = |
80 и mCD = 190. |
Найдите т £ |
К |
e) |
т £ К |
= |
28, mABD= 166 и т А С В |
= |
290. Найдите |
mCD. |
19. Проверьте, что теорема задачи 17 сохраняет силу, если слова «двумя секу щими» заменить словами «секущей и касательной» или же «двумя касатель ными».
20. Д ве |
касательные к окружности образуют угол с мерой 72. Какую меру |
имеет |
каждая из высекаемых им дуг? |
21. |
Дано, |
что прямая K S касается |
окружности в точке |
Т , |
а секущая KR про |
|
ходит |
через |
центр |
окружности |
Р . |
Найдите |
mQT |
и |
m £ STR, |
если |
|
m £ h t = 35. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
Даны |
две касательные к окружности, пересекающиеся |
в точке К- Чему |
|
равна мера £ К , если мера одной из |
высекаемых |
этим углом дуг |
в 4 |
раза |
|
больше |
меры другой? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 *+ . На |
этом рисунке |
т В Ь = = 70 |
и |
т |
£ DMB — Am £ |
К . |
|
Найдите |
т |
А С |
и |
|
т £ К . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 *+. Дан рисунок. Найдите отношение х к у, при котором |
т |
£ DMB = 2m £ |
К . |
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25*. Дана |
окружность |
и точка |
Р , |
лежащая вне ее. Прямая, |
проходящая |
че |
|
рез Р , |
касается |
окружности |
в |
точке |
Т . Секущая, содержащая Р , пересе |
|
кает окружность в точках Q и R, |
причем точка Q лежит между R и Р . |
|
Биссектриса £ |
QTR пересекает хорду RQ в точке S . Докажите, что PT=PS. |
26*. Д а н о : AD и D ß — диаметры конгруэнтных касающихся окружностей. В С |
— |
касательная в точке |
С. |
|
m А С = m DC+ т DE. |
|
|
|
|
|
|
|
Т р е б у е т с я |
д о к а з а т ь , |
|
|
|
|
|
|
§ 7. СЕКУЩИЕ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ. СТЕПЕНЬ ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ
Определение
Если QÄ — касательная к окружное
сти в |
точке А, |
то отрезок QÄ назы |
вается |
к а с а т е л ь н ы м о т р е з к о м , |
проведенным к |
окружности из точ |
ки Q. |
|
|
