Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

8. QR и QS на этом рисунке — касательные отрезки

к окружности с центром Р . Отрезок QP пересе­ кает окружность в точке М . Докажите, что точка М равноудалена от этих касательных отрезков 1.

Найдите длину второго ее отрезка.

10. Найдите степень точки Q относительно окруж­ ности С (см. рисунок), если дано, что

a) QS — 9 и QR = 5;

b) QS = 3 и Si? = 12;

c) QU = 7 и QT = 5;

d) Q T = l и T V = 13;

e)QR = 4 и S R = 14.

11.37-сантиметровый диаметр окружности в одном

13. Найдите степень точки Q относительно окруж­ ности С (см. рисунок), если дано, что

a) QR = 4 и QS = 13;

b) QR = 6 и R S = 8;

c) QT = 17 и U T = 9;

d) QU = ]/Т Т и <37’ = 1/'5б;

e) QS = 23 и R S = 17.

1 Под расстоянием от точки до отрезка по­ нимается н а и м е н ь ш е е - из расстояний от дан­ ной точки до точек отрезка.

478

20.Найдите PC на том же рисунке, если дано, что РА — 16 и В С = 24.

21.На рисунке обе окружности касаются прямой / в точке Т, Р — любая точка

прямой /, отличная от Т. Докажите, что Р М ■P R = Р К ■P S .

22. А на рисунке (второй снизу) — любая точка прямой I, отличная от общей точки касания Т двух окружностей. Докажите, что

A B _ ЛС

AD ~ А Е •

23. Если общая касательная двух окруж­

линии центров в точке, лежащей между центрами, то она называется общей

внешней касательной.

<і' '>

На нашем рисунке прямая A B являет­ ся общей внешней касательной, а пря­

мая CD — общей внутренней касатель­ ной. Даны две окружности. Сколько общих внешних касательных и сколь­

B ) они касаются внешне;

С) они пересекаются в двух точках; d) они касаются внутренне;

e) они являются концентрическими?

1 Л инией центров двух окружно­ стей называется прямая, содержащая их центры.

4 7 У

24.Две окружности имеют радиусы 5 и 17 и общий внешний касательный отрезок1 длины 16. Чему равно расстояние между их центрами?

25.Радиусы двух окружностей 3 и 8, а расстояние между их центрами— 13.

Найдите длину их общего внешнего касательного отрезка.

( У к а з а н и е . Проведите через Q прямую, перпендикулярную радиусу А Р. )

26. Расстояние между центрами двух окружностей, имеющих радиусы 3 и 6, равно 18. Какую длину имеетих общий внутренний касательный отрезок?

27+. Докажите, что общие внешние касательные отрезки двух окружностей конгруэнтны.

29*+. Докажите, что общие внутренние касательные двух непересекающихся ок­ ружностей и линия центров этих окружностей имеют общую точку. ( У к а з а ­ ние. Проведите доказательство от противного; нарисуйте радиусы; восполь­ зуйтесь подобием и пропорциями.)

1 То есть отрезок общей внешней (аналогично внутренней) касательной, заключенный между точками касания.

480

32*. RS — диаметр окружности. Прямая^ касается окружности в точке R, а пря­ мая /2 — в точке S. Прямая, прохо­ дящая через произвольную точку Q прямой Іъ отличную от R, касается окружности в точке Р и пересекает прямую /2 в точке Т. Докажите, что

s a QRST= 2 " ' ОТ-

33*+ . На этом рисунке отрезок AB яв­ ляется диаметром окружности, а пря­

мая CD касается этой окружности в точке В. Докажите, что АС •AG —

=AD •АН.

§8. ОКРУЖНОСТИ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ

Если на плоскости задана система координат, то легко уста­ новить, какое уравнение имеет окружность. Рассмотрим сначала случай, когда центр окружности находится в начале координат. Окружность с центом О и радиусом г определяется условием

ОР = г.

Пусть точка Р имеет координаты (х , у). Пользуясь формулой расстояния, мы можем переписать наше условие так:

Y { —х О)2+ (г/— О)2= г

или так:

X2 + у г =г 2.

Если центр окружности находится в точке Q(a, b), то эта окружность определяется условием

QP = r,

или в алгебраической форме

У ( х - а ) 2 + ( у - Ь ) 2 = г,

т. е.

Теорема 14.24

Графиком уравнения

(X— а)2 -\-(у — Ь)2 = г2

является окружность с центром (а, Ь) и радиусом г.

Эту теорему можно применять и в ту, и в другую сторону.

1°. Если известны центр и радиус окружности, то мы можем написать ее уравнение. Например, окружность с центром (3, 1) и радиусом 2 является графиком уравнения

(* - 3 )2 + Ü / - l) 2 = 4.

2°. Если дано уравнение такого типа, какой фигурирует в тео­ реме 14.24, то мы можем сказать, какими являются центр и радиус окружности. Например, если дано уравнение

(х+1)2 + ( у - 2 ) 2 = 9,

то центром окружности служит точка (— 1, 2), а радиус ее равен 3.

Вое это так. Но допустим, что наше второе уравнение окруж­ ности попадется какому-нибудь любителю алгебраических преоб­ разований, который привык «упрощать» каждое уравнение, кото­

482