Два касательных отрезка, проведенные к окружности из точки, лежащей вне ее, кон груэнтны и определяют кон груэнтные углы с отрезком, соединяющим эту точку с цен тром окружности.
Д р у г а я ф о р м у л и р о в к а . Даны окружность С с центром Р и
точка Q, лежащая вне С. Если отрезки СМ |
и QB касаются окруж |
ности С в точках А и В, |
то QA = QB и |
Z PQA = Z PQB. |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так как точки |
А и В лежат на окруж |
ности, |
то РА — РВ. Далее, конечно, |
PQ — PQ, а по теореме 14.3 |
Z А |
и |
Z В — прямые углы. На основании теоремы о гипотенузе |
и катете |
(теорема 7.4) имеем, |
|
|
|
|
APQA Q É APQB . |
|
Следовательно, QA = QB |
и Z PQA |
Z PQB, что и требовалось |
доказать. |
|
|
|
|
Рассмотрим теперь случай двух секущих к окружности, прохо дящих через точку, лежащую вне ее.
Отрезки QS и QT на этом рисунке называются секущими от резками данной окружности. Точнее:
Определение
Если отрезок пересекает окружность в двух точках и одна и только одна из них является концом этого отрезка, то этот от резок называется с е к у щ и м о т р е з к о м данной окружности.
Следующая теорема утверждает, что в обозначениях послед него рисунка всегда имеет место равенство
QR • QS = QU • QT.
Иными словами, произведение «двух расстояний» от точки Q до окружности вполне определяется данной окружностью и точкой Q, но не зависит от выбора секущей.
Теорема 14.21 (теорема о степени)
Даны окружность С и точка Q вне ее. Пусть — какая-ни
будь секущая, |
проходящая через Q и |
пересекающая окружность С |
в точках R и |
S, /2 — другая секущая, |
проходящая через Q и пере |
секающая окружность С в точках U и Т. Тогда QR-QS = QU-QT.
Д о к а з а т е л ь с т в о . общий Z. Q- Кроме того,
Рассмотрим Д QSU и /\Q TR . Они имеют /, QSU ^ /_ QTR, так как эти углы впи
саны в одну и ту же дугу RSU = RTU. На основании УУ-след- ствия (следствие 12.3.1)
A Q S U ~ A Q T R .
Поэтому
QS _ QU_
QT ~ QR
и
QR-QS — QU ■QT,
что и требовалось доказать.
Таким образом, произведение QR-QS определено, как только указаны окружность С и лежащая вне ее точка Q. Число QR ■QS
называется степенью точки Q относительно окружности С.
Теорема 14.22 утверждает, что в обозначениях следующего
рисунка, |
где QT — касательный отрезок, |
|
QR-QS = QT2. |
Это равенство означает, |
что |
|
Q T^ V QIÄ Q S . |
Таким образом, QT есть с р е д н е е |
г е о м е т р и ч е с к о е |
расстояний |
QR и QS. |
сформули |
Эту |
теорему легче |
ровать, |
чем предыдущую: |
Теорема 14.22
Даны касательный отрезок QT к окружности С и секущая, проходящая через точку Q и пересекающая окружность в точках R и Т. Тогда
QR-QS = QTi.
Иными словами, квадрат длины касательного отрезка равен степени его внешнего конца относительно данной окружности.
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
TR есть дуга, высекаемая углами /_QST |
|
и Z.QTR. Вот главные шаги доказательства: |
|
т QST = |
2 |
mTR, |
(1) |
|
т Д QTR= £ mTR; |
(2) |
|
L Q ST ^ |
Z |
QTR; |
(3) |
|
Z Q = |
Z |
Q; |
(4) |
|
A QST ~ |
A QTR; |
(5) |
|
SQ |
QT |
|
(6) |
|
QT Q R : |
|
|
|
QR-QS = QT2. |
(7) |
Каковы основания для каждого шага?
Теорема 14.23 устанавливает, что в обозначениях следующего рисунка имеет место равенство
QR-QS = QU-QT.
Теорема 14.23
Пусть RS и TU — хорды одной и той же окружности, пере секающиеся в точке Q. Тогда
QR-QS^QU-QT.
И на этот раз мы приведем только главные шаги доказательства:
|
L |
Z R ', |
( 1) |
|
Z SOU s |
Z TQR; |
( 2 ) |
|
A SQU ~ |
Д TQR; |
( 3) |
|
QS |
W . |
(4) |
|
QT |
QR ’ |
|
|
|
QR QS = QU-QT. |
(5) |
Эта теорема позволяет определить степень точки относительно
окружности в случае, |
когда |
точка лежит |
в н у т р и этой |
окруж |
ности. Мы установили, |
что |
произведение Q R O S определено, как |
только указаны окружность |
С и точка Q; |
это число не |
зависит |
от выбора хорды, содержащей точку Q. Поэтому мы можем опре делить степень точки Q относительно С как число QR ■QS1.
Задачи к § 7
1. Докажите, что если мера угла, определяемого двумя касательными отрезками к окружности, проведенными из точки, лежащей вне ее, равна 60, то эти касательные отрезки вместе с хордой, соединяющей их точки касания, обра зуют равноугольный треугольник.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Точка |
Р |
находится |
в 13 см от центра окружности диаметром |
10 см. Какую |
|
длину |
|
имеют |
касательные |
отрезки |
к этой |
окружности, |
проведенные |
|
из точки |
Р? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Сумма длин двух касательных отрезков, проведенных к окружности из некото |
|
рой внешней |
точки, |
|
равна диаметру |
окружности. |
Найти меру |
угла, опре |
|
деляемого касательными |
отрезками. |
|
|
|
|
4. Д а н о . |
|
Окружности |
С |
и С ' касаются |
пря |
|
|
|
мой I в точке Т. Р — любая точка прямой I |
|
|
|
(отличная от |
Т). |
РА |
и |
Р В |
— касательные |
|
|
|
отрезки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . Р А = Р В . |
|
|
|
5. |
Стороны |
[JA B C D |
|
касаются |
окружности, |
|
|
|
как |
показано |
на |
рисунке. |
|
|
|
|
|
|
Докажите, что A B + DC = AD + ВС. |
|
|
|
|
6. |
Два |
касательных отрезка к окружности, |
|
|
|
проведенных |
из |
точки, |
лежащей |
вне |
ее, |
|
|
|
определяют угол в 60°. Какую длину имеют |
|
|
|
эти |
касательные |
отрезки, |
если |
диаметр |
|
|
|
окружности равен |
10? |
|
|
|
|
|
|
7. |
Какую |
длину имеют касательные |
отрезки |
|
|
|
задачи |
6, если они |
определяют угол |
в 120°? |
|
|
1 Чаще степень точки Q, расположенной в н у т р и окружности С, отно сительно этой окружности определяют как число - Q R - Q S (ср., например, Энциклопедия элементарной математики, кн. IV (геометрия). М ., Физматгиз, 1963* стр. 4 5 4 - 4 5 5 ) .
