Это уравнение имеет вид |
|
•к2 |
У2+ Ах + |
B y + С = О, |
где |
|
|
А = — 2а, |
В = — 2Ь, |
С = аг-\-Ь2—г2. |
Таким образом, мы получили следующую теорему:
Теорема 14.25
Каждая окружность является графиком некоторого уравнения вида
х2 + у24-Лх + Ву + С = 0.
Может показаться разумным предположить, что верно и обрат ное. Иными словами, можно подумать, что графиком уравнения этого вида всегда является некоторая окружность. Но это не совсем так. Рассмотрим, например, уравнение
х2-\-у2~ 0 .
Здесь А = В — С = 0. Если х и у удовлетворяют этому уравнению, то оба они должны быть равны нулю. Следовательно, график нашего уравнения содержит лишь одну точку, именно начало координат.
Рассмотрим теперь |
уравнение |
|
|
|
х2 + У2 + 1=0. |
Здесь |
Л = ß = 0 и С = |
1. Так как |
при любых х и у всегда х2^ 0 |
и у2^ |
0, то для любых х и |
у имеем х2 + у2 + 1Ss 1. Таким образом, |
сумма |
x2-\-y2jr 1 ни |
при |
к а к и х |
х и і/ нулю не равна. |
Следовательно, график нашего уравнения вообще не содержит точек: это - пустое множество.
Следующая теорема говорит нам, что в действительности для графика уравнения рассматриваемого типа существуют лишь три возможности: окружность, которую мы с самого начала и ожи дали, и две особые возможности, которые мы только что рас смотрели.
Теорема 14.26
Графиком уравнения
х2 + г/2 + Лх + Вг/ + С = 0
является либо (1°) окружность, либо (2°) точка, либо (3°) пустое множество.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В нашем общем уравнении мы можем выделить полные квадраты, содержащие члены, зависящие от х,
и члены, зависящие |
от у , |
подобно тому как |
мы |
это сделали |
в рассмотренном выше примере. Мы получим: |
|
|
|
|
х*+ Ах + у2 + Ву = — С; |
|
|
|
( А |
\2 |
|
/ Д \ 2 |
|
|
ß\2 |
хг + А х Щ |
) + y* + By + [ f |
с + Іт)' + |
2. |
|
. л \ 2 . / |
, В \ 2 |
Л 2 + В 2 - -4 С |
|
|
* + т |
+ / |
+ т |
= -----Г |
|
|
|
Теперь имеется три возможности. |
|
п о л о ж и т е л ь н а , |
1°. Если дробь в правой |
части равенства |
то из нее можно извлечь квадратный корень. |
График является |
тогда окружностью с центром |
|
|
|
|
и радиусом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г = ~ V Л2 + 5 2- 4 С . |
|
|
|
2°. Если дробь в правой |
части |
равенства |
р а в н а |
нулю, то |
график состоит из одной точки |
— у j • |
|
|
3°. Если дробь |
в |
правой |
части |
равенства |
о т р и ц а т е л ь н а , |
то график есть пустое множество, так как левая часть не может
быть |
отрицательной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи к |
§ 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( З а м е ч а н и е . |
Нижеприведенные задачи следует решать методом координат |
и в |
том случае, |
когда существует несколько методов их решения.) |
|
1. |
Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и с радиусом: |
|
а) |
4; |
|
Ь) |
7; |
|
с) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d) |
11; |
|
е) |
У~Ш; |
f) |
я . |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Дана |
окружность |
с |
уравнением |
х 2-f-г/2= 25. Какие |
из |
следующих |
точек |
|
принадлежат этой |
окружности: |
|
|
|
|
|
|
а) |
(0, |
|
- 5 ) ; |
Ь) (3, |
- 4 ) ; |
_ |
с) (3, 2)j |
_ |
|
|
|
|
d) |
(24, |
|
1); |
|
е) (Vlä. |
— ^ |
17); |
!) ( 2 / 3 , |
/1 3 )? |
|
|
|
3. |
Дана |
окружность |
с |
уравнением |
х 2+ г/2= 36. Какие из |
следующих |
точек |
|
лежат внутри, какие вне и какие на этой окружности: |
|
|
|
а) |
(3, |
3 / 3 ) ; |
|
Ь) |
(4, |
- 5 ) ; |
с) ( - 6 , |
0); |
d) (5, |
- 3 ) ; |
|
|
e) |
( - 4 , |
- 4 ) ; |
|
f) |
( 2 / 2 , |
2 / 7 ) ; g) |
|
h) ( - |
2 / 6 , 4)? |
|
4.Найдите радиус и напишите уравнение окружности с центром в начале координат, которая содержит точку:
а) |
(0, |
- 4 |
) ; |
Ь) (3,5); |
с) ( - 2 , 7 ) ; |
d) (2, / 1 7 ) . |
Б. Напишите |
уравнение окружности |
с данным центром и радиусом: |
а) |
(2, |
5) |
и |
4; |
|
Ь) |
( — 3, |
0) |
и 6; |
с) |
( - 4 , |
- 6 |
) |
и / 2 1 ; |
d) |
(0, 7) |
и . |
6. |
Окружность |
с |
центром в точке (2, 3) содержит точку |
(6, |
6). Напишите ее |
|
уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Окружность |
с |
центром (— 4, 0) |
проходит через точку |
(2, |
— 1). Напишите |
|
ее |
уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Точки |
(— 6, |
2) |
и (6, |
— 2) |
служат |
концами |
диаметра |
некоторой |
окруж |
|
ности. Найдите ее центр и радиус и напишите ее уравнение. |
|
9. |
Напишите |
уравнение |
окружности, |
имеющей |
диаметр |
с концами |
(5, 8) и |
10. |
( - 1 . |
- 4 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определите центр и радиус каждой окружности: |
|
|
|
|
а) |
лг2+ |
{/2 = 1 6 ; |
|
|
|
Ь) |
х 2 + |
у 2 — 9 = 0; |
|
|
|
|
с) |
(х — З)3+ |
((/ — 7)2= |
8; |
|
d) (х + |
4)2+ |
( у - 5 ) 2= 36; |
|
|
|
е) |
(х — 2)з + |
у2 = |
13; |
|
|
f) 4х2+ |
4у2 = |
36; |
|
|
|
|
g) |
9х2+ |
9t/2 — 25 = 0; |
|
|
h) 3л:2 + |
3 (у — 1)а= 12; |
|
|
|
|
і) |
2 (x + |
5)a+ |
2(z/ — 4)2 - 1 4 = |
0; |
j) 5х2+ 5у2— 7 = 0. |
|
|
|
11. |
Найдите центр |
и радиус окружности, имеющей уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 — 6х + 9 + |
(/2 — § ( / + 1 6 = 4. |
|
|
|
12.Найдите центр и радиус окружности, имеющей уравнение
х2+ у2+ 8 х - 2 у - 8 = 0.
13.Нарисуйте график уравнения
|
|
|
|
|
|
|
|
X2+ У2 — 8 х + |
6 (/ = |
11. |
|
14. Нарисуйте график |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 2 + у2 — 4х + |
8(/ + |
4 = 0 . |
|
15. Нарисуйте график |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 + У2+ 6х — 2у = |
— 10. |
|
16. |
Напишите уравнение |
окружности с центром (— 3, 4), касающейся оси х. |
17. |
Напишите |
уравнение |
|
окружности, касающейся .ч оси х и оси у, если дано, |
|
что ее радиус равен 3 |
|
и что ее центр лежит в четвертой четверти. |
18. |
Какие |
геометрические |
фигуры |
характеризуются следующими уравнениями: |
|
a) |
X2+ |
у 2= |
15; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B ) |
x2-f-y2 Jr |
1 4 *— I 6 ( /+ |
104 = 0; |
|
|
|
|
|
c) х 2 4 ~ 6 х |
— 2 у ~ х а + 2 = 0; |
|
|
|
|
|
|
d) |
х 2-\-у2-\- \0х — 4(/ + |
33 = |
0; |
|
|
|
|
|
e) |
2х2+ |
2(/а+ 12д: + |
9 = |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
f) |
х 2+ |
у 2+ |
4 х — 10(/ + |
29 = |
0? |
|
|
|
|
19. |
Хорда |
окружности, имеющей |
уравнение х2 -\~у2= |
49, перпендикулярна диа |
|
метру |
в |
точке (0, |
4). Найдите длину этой хорды |
и определите координаты |
ееконцов.
20.Докажите, что медиатриса отрезка с концами (а, 0) и (0, а) содержит центр
окружности, имеющей уравнение х 2 -\-у2 = |
а 2. |
21. Даны окружность с уравнением x 2-j-y2 = |
225 и точки А (— 15, 0) и В (9, 12). |
a) |
Покажите, что отрезок A B |
является |
хордой этой окружности. |
B ) |
Найдите середину |
отрезка |
A B . |
|
|
c) |
Найдите уравнение |
медиатрисы отрезка |
A B . |
d) Покажите, что медиатриса отрезка AB содержит центр окружности.
22*. Даны |
окружность с уравнением ха+ у 2— 8х — Ау — 5 = 0 и точки D ( — 1, 2) |
и Е (8, |
5). |
a) Покажите, что отрезок D E является хордой этой окружности.
B ) Покажите, что медиатриса отрезка D E содержит центр этой окружности.
c) |
Найдите |
расстояние от центра этой окружности до D E . |
23. |
Найдите |
площадь квадрата, вписанного в окружность с уравнением х 2 + |
+ (/а= 1 4 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24*. Найдите площадь квадрата, |
вписанного |
в |
окружность |
с |
уравнением хг |
y^-\-Sx — 1 |
Ог/ Ң—5 == 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
25. Хорда |
окружности а:2 -f-1/2 = |
72 |
касается |
окружности |
х2 -{-у2= 1 8 . Найдите |
длину |
этой |
хорды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6 *+ . Найдите |
уравнение |
прямой, |
содержащей |
хорду задачи |
25, и координаты |
концов |
этой |
хорды, |
если |
дано, что |
она |
касается |
меньшей окружности |
в точке (— 3, — 3).
27.Найдите длину касательных отрезков, проведенных из точки (13, 0) к окруж ности, имеющей уравнение x 2 -j-y2 — 25.
28. Найдите длину касательных отрезков, проведенных из точки (16, 12) к окружности, имеющей уравнение х 2+ у 2== 100.
2 9 *. Найдите длину'касательных отрезков, проведенных из точки (— 8, 3) к окруж ности, имеющей уравнение х 2-\-у2 — 1 4 * + Юг/- f - 10 = 0.
30+. Дана окружность с уравнением х2+ у 2= 36. При каких значениях а точка
(а, а + 4) лежит внутри |
этой окружности? |
|
|
|
|
3 1 *+. Покажите, |
что |
две |
|
окружности |
с |
уравнениями x 2 -j-y2= 1 6 и x 2-f-y2 — |
— 20х + 64 = |
0 касаются |
внешне. Какие координаты имеет точка их касания? |
3 2 *+. Покажите, |
что |
две |
|
окружности |
с |
уравнениями л2+ |
г/2+ 8х + |
6г/= |
0 и |
х2 + у2 — 16х — 12г/ = |
0 |
касаются внешне. Найдите уравнение прямой, прохо |
дящей через точку |
их |
касания и являющейся их общей касательной. |
|
3 3 *+. Дана окружность с |
уравнением х 2 + |
г/2+ 16а -f- 12г/ = 125. |
|
|
a) Найдите уравнение |
|
окружности |
радиуса 5, |
внутренне касающейся |
дан |
ной окружности |
в точке (4, 3). |
|
|
|
|
|
|
B ) Найдите уравнение общей касательной этих |
двух окружностей. |
|
|
3 4 *+. Напишите |
уравнение |
окружности, |
касающейся всех |
четырех |
окружно |
стей, имеющих уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 + у2 + |
10 х = 0; |
|
|
|
|
х2-\-у2 — Ю л: — 0;
х2-\гу2+ Щ = 0\ х2-\-у2—10г/ = 0.
3 5 *+. Приняв за единицу масштаба 2 см, сделайте аккуратный чертеж, изобра жающий окружности, имеющие следующие уравнения:
(х — 1)2+ (і/— 1)2= 1;
(*-1)2 + (г/+1)2=1; (*+ 1)2 + (г/+1)2=1.
a)Найдите уравнение окружности, касающейся внутренне каждой из дан ных окружностей.
B ) Найдите уравнение окружности, касающейся внешне каждой из данных окружностей.
Вопросы и задачи для повторения
1. Удостоверьтесь, что вы знаете, как определить каждое из следующих поня тий:
Окружность. |
Большая |
окружность. |
Высекаемая дуга. |
Сфера. |
Внешний |
конец. |
Центральный угол. |
Хорда. |
Точка касания. |
Меньшая |
дуга. |
Секущая. |
Внутренность окружности. |
Бблыная |
дуга. |
Касательная. |
Внутренне |
касающиеся |
Полуокружность. |
Радиус. |
окружности. |
|
|
Внешне касающиеся окружности. |
Касательный отрезок. |
Диаметр. |
Вписанный угол. |
|
|
