Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 276

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2. Дополните: Две окружности или две сферы с общим центром называются ....

3. Дополните:

Пересечение плоскости и сферы есть ...,

или ....

или оно

4. Дополните:

Пересечение прямой и окружности есть

, или ...

, или оно ....

5.Дополните: Точка лежит вне окружности, если она лежит в ... и если ее

расстояние от центра этой окружности —

6.Дополните: Угол, вписанный в большую дугу, всегда является ..., а угол,

вписанный в меньшую дугу, всегда является

угол же, вписанный

вполуокружность, является ....

7.Дополните: Если две хорды некоторой окружности пересекаются в точке, ■лежащей внутри окружности, то степень точки их пересечения относительно

этой окружности равна __

8. Прямая AB на левом рисунке является касательной к окружности. Какую меру имеют все шесть углов, если mBD = 128, mDE = 38 и тСЕ — 104?

9 . Чему равно AB на

том же рисунке, если АС = 9 и СЕ — 7?

10.

Чему

равен

радиус окружности на том же рисунке, если BD — CD — 15 и

 

т В С = 120?

KQ на

правом рисунке, если RP = 8, МР —6 и PQ— 3?

11.

Чему равно

12.

Чему

равна

мера

т £

R P K

на том же рисунке, если

M R = M R , т М К =

 

= 140

и mMQ= 26?

 

 

 

 

13.

Укажите для каждого

из

следующих утверждений,

вер н о оно или нет:

a) Мера центрального угла равна мере высекаемой им дуги.

B ) Если две дуги конгруэнтны, то любой угол, вписанный в одну из них, конгруэнтен любому углу, вписанному в другую.

c)Если два угла, каждый из которых вписан в некоторую дугу, конгру­ энтны, то и эти дуги конгруэнтны.

d)Точка, являющаяся серединой каких-нибудь двух хорд окружности, есть центр этой окружности.

e)Если в одной и той же окружности тАВ = ^ - т А С , то длина хорды, стя­

гивающей дугу AB, вдвое меньше длины хорды, стягивающей дугу АС.

f)Секущ ая, которая делит пополам две хорды какой-нибудь окружности, перпендикулярна каждой из этих хорд.

g)Если прямая делит пополам некоторую хорду окружности, то она делит пополам и меньшую дугу, стягиваемую этой хордой.

h)Если две хорды некоторой окружности не конгруэнтны, то меньшая из них ближе к центру окружности..

i)Касательная к окружности в середине произвольной ее дуги параллельна хорде, стягивающей эту дугу.

488

j)Центром окружности, содержащей некоторую дугу, является точка, кото­ рая делит эту дугу пополам.

k)Две касательные к окружности в концах любого ее диаметра парал­ лельны.

l)Две касательные к одной и той же окружности могут быть перпенди­ кулярны.

14. Дана

окружность с центром Р . Чемѵ равны mBQ и rriAD, если С В II PQ

и т L

В С Р = 55?

15. A B —

диаметр окружности с центром Р ,

а Х и К — такие точки этой окруж ­

ности,

что луч X Y является биссектрисой

L А Х В . Докажите, что P Y j_ A B .

16.Докажите, что четыре последовательных целых числа не могут быть дли­ нами отрезков двух пересекающихся хорд окружности.

17.При тщательном обследовании древних развалин археологи нашли обломки

старинного колеса. Чтобы реставрировать это колесо, им нужно было узнать его диаметр. Они отметили на ободе три точки А, В и С так, чтобы хорда

 

A B была

конгруэнтна

хорде АС.

Какой диаметр имело колесо, если оказа­

 

лось, что

.4 0 =

30

см

и В С = 48

см?

 

 

 

 

 

18.

Напишите уравнение окружности с центром (0, 0) и радиусом 4.

 

19.

Найдите

центр

и

радиус окружности, имеющей уравнение х 2 +

Юлг+ыа+

 

+

16 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20. В

окружность

вписан четырехугольник. Дано, что два его угла имеют

 

меры 68 и 143. Какую меру имеют два других его угла?

 

 

21. В

горизонтальном

листе

фанеры

вырезано

круглое

отверстие

диаметром

 

в

80 см;

в это

отверстие вставлен шар диаметром в 1 ж. На сколько ниж­

 

няя точка поверхности шара окажется ниже уровня листа фанеры?

22.

Окружность,

имеющая

своим

диаметром

Сторону

A B

равностороннего

 

Д А ВС ,

пересекает две его сторрны

в

точках

D и Е . Найдите площадь впи­

 

санного

в

окружность

□

A BED ,

если

диаметр окружности

равен

16.

23*. Отрезок

A B на этом рисунке является диаметром окружности. Чему равны

Р В и P R ,

если А В = 8, AQ = 4 и P Q = 12?

489

24. Докажите, что касательные отрезки ко всем окружностям, касающимся данной прямой в данной ее точке, проведенные из любой другой фиксиро­ ванной точки этой прямой, конгруэнтны.

2 5 *.

Дано,

что А,

В

и

С — точки

некоторой

окружности

и что

т АВ =

=

тАС = т В С = 120. Р — произвольная точка

дуги A B . Докажите,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

РА +

Р В = РС .

 

 

 

 

 

(У к а з а н и е.

Проведите

через

точку

А

прямую,

параллельную

хорде Р В . )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 6 *. Л уч

Р

А

на

этом рисунке касается окружности в

 

 

точке

А .

Дано,

что

А Р

— Р Х

= Х В .

Чему равно

А Х ,

 

 

если

PQ= 1

и QR — 8?

 

 

 

 

 

 

 

 

Конкурсные задачи

а) Один из первых фактов, который узнают изучающие астрономию, состоит в том, что широта данной точки земной поверхности совпадает с углом над горизон­ том, под которым наблюдается в этой точке Полярная звезда. Объясните, почему это так, доказав соответ­ ствующую теорему. Математически ситуация описы­

вается

здесь

так: N S — земная

ось; окружность

 

на

 

 

рисунке — это

меридиан;

С — центр

Земли;

точка

Е

 

 

 

находится

на

экваторе;

точка

О — наблюдатель;

 

 

 

О Н — горизонтальная

линия; т

/. Р

О Н — высота

По­

 

 

лярной

звезды

над горизонтом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д а н о .

Окружность

с центром С;

радиус С Е 1

NS-,

 

 

О Н — касательная к окружности

в точке

О;

OP j|MS.

 

 

 

Т р е б у е т с я д о к а з а т ь . т О Е = т L Р О Н .

 

 

 

точках X и Y.

B ) Две неконгруэнтные окружности

пересекаются

в

двух

Секущая, проходящая через X, пересекает большую

окружность в точке А,

а меньшую — в

точке

В .

Секущая,

проходящая через К, пересекает боль­

шую окружность в точке С , а меньшую — в точке D. Докажите, что А С !|

BD.

c) Капитан корабля попросил стоящего

рядом с

ним на

капитанском

мо­

стике

молодого офицера определить

расстояние до

горизонта. Офицер взял

*

карандаш и бумагу и через несколько минут принес ответ. На бумаге была

написана формула ce= 3 ,6 j/Ä . Покажите, что эта формула дает хорошее приближенное расстояние до горизонта в километрах, если высоту наблюда­ теля над водой h вычислять в метрах. (При этом мы принимаем, что радиус Земли равен 7000 км .) Чему было равно это расстояние, если капитанский мостик находился в 25 м над водой?

-| к НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ -1-0 УСЛОВИЯ; ПОСТРОЕНИЯ

§ 1. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Вы помните, что в гл. 6 мы доказали

теорему, характеризующую медиатрису

отрезка на плоскости как некоторое

множество точек.

 

Теорема 6.2

 

 

Медиатриса любого отрезка в дан­

ной

плоскости

есть

множество всех

точек

этой плоскости,

равноудаленных

от концов этого отрезка.

Кратко мы

говорим, что точки медиатрисы I ха р а к те р и ­

зу юте я условием РА = РВ или (более распространенная форму­ лировка), что условие РА —РВ необходимо и д о с т а т о ч н о для принадлежности точки Р прямой I. Под этим мы подразумеваем,

что 1°. к а ж д а я

точка прямой I удовлетворяет условию Р А —РВ ;

2°. к а ж д а я

точка плоскости, удовлетворяющая условию РА =

— РВ, принадлежит прямой I.

 

Подобным

же

образом

в гл. 8 мы показали, что медиатриса-

плоскость отрезка

AB характеризуется условием РА = РВ. (Здесь,

разумеется,

Р может быть

любой точкой п р о с т р а н с т в а . ) Не­

обходимые

и

достаточные

условия (характеризации) встречаются

не только

в

теоремах, но и в определениях.

Например, сфера

с центром

Р

и радиусом

г по определению есть множество всех

точек Q, для

которых PQ = r. Таким образом,

мы можем сказать,

что сфера характеризуется условием

 

PQ = r

или что условие PQ = г необходимо и достаточно для принадлеж­ ности точки Q сфере с центром Р и радиусом г.

П р е д о с т е р е ж е н и е . На рисунке каждая точка отрезка CD

равноудалена от точек

А

и В. Но

отрезок

CD

не х а р а к т е ­

р и з у е т с я

условием

РА —РВ,

потому

что

этому условию

удовлетворяет

также

и

много точек, не

принадлежащих от-

 

 

 

А К

\

 

 

1 ................

' " ' Ѵ

<

У

У

3 У

493

резку CD,

а

именно,

все

точки

самой

 

 

прямой CD. Точно так же каждая точка

 

 

дуги AB на следующем рисунке находится

 

 

на рассмотрении

1 от

точки

Р.

Но дуга

 

в

AB

не

х а р а к т е р и з у е т с я

условием

 

 

 

PQ= 1,

потому

что

этому условию

удов­

 

 

летворяют

и

все

остальные точки окруж­

 

 

ности. Таким

образом,

условия

РА = РВ

 

 

H P Q = 1

 

н е о б х о д и м ы для принадлеж­

не д о с т а т о ч н ы для

ности точки Q отрезку CD или дуге AB, но

этого.

 

 

 

 

характеризационные теоремы обычно форму­

 

По этой причине

лируют в виде д в у х

утверждений:

 

удовлетворяет

данному

1°.

Каждая

точка

данного

множества

2°.

условию.

 

 

 

 

удовлетворяющая данному

условию,

Напротив, каждая точка,

 

принадлежит данному множеству.

 

 

 

(См.,

например,

вторые формулировки теорем 6.2 и 8.6.)

Задачи к § 1

В задачах 1.8 характеризационные утверждения сопровождаются символи­ ческими рисунками. Вам нужно решить, является ли каждое из этих утвержде­ ний действительно характеризационным. Если это так, то напишите «верно». Если это не так, то сформулируйте правильное утверждение и сделайте пра­ вильный рисунок. На наших рисунках искомое множество точек изображается сплошными линиями, а пунктиром изображены фигуры, о которых говорится

вданных условиях или же которые нужны для объяснения.

1.Множество всех точек плоскости Е , равноудаленных от каждой из двух принадлежащих Е параллельных прямых, есть медиатриса в плоскости Е любого отрезка, перпендикулярного двум данным прямым, имеющего по концу на каждой из них.

2.Множество всех середин радиусов данной окружности есть концентрическая

сданной окружность, радиус которой равен половине радиуса данной окружности.

3. Множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние 1 см от данной прямой, есть прямая, параллельная данной прямой и удаленная от нее на расстояние 1 см.

494

Смотрите также файлы