Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

есть

ная

диаметром,

из которой исключены

концы

данного отрезка.

8. Множество всех точек плоскости,

расстояние которых от данной точки мень­

ше 5 см, есть объединение окружности

с центром в данной точке и радиусом

5 см и внутренности этой окружности.

В задачах

9 — 20 сделайте рисунок

и

охарактеризуйте данное множество

точек.

окружности одним из своих концов.

12. Множество всех

точек, удаленных на

1см от данного отрезка1 длины 4 см

и на расстояние

2 см от его середины.

1 См. подстрочное примечание на стр.

478.

19. Множество

всех

точек

плоскости,

удаленных на расстояние 8 см

от каждой

из двух точек А

и В , где A B = 1 2

см.

20. Множество

всех

точек,

удаленных

на

расстояние 8 см от данной

плоскости

О характ еризоват ь м нож ест во

всех точек плоскости,

удаленны х

на д ан -

ное расст ояние от данной точки

и равноудаленны х от

двух данны х

парал ­

лельных прямых.

1°. Множество

всех

точек,

удаленных на расстояние г от точки Р , есть ... С с . . .

... Р

и ... г.

2°. Множество

всех

точек,

равноудаленных

от параллельных прямых Іг и /s,

есть

... A B

отрезка, соединяющего точки

прямых Іг и /2 и перпендикуляр­

ного

им обеим.

•«—>

1 См.

подстрочное примечание на стр. 478.

2 Ср.

с задачами 21 — 23.

(ii)

Если

С и

A B ... , то искомое множество

состоит из одной точки.

(iii)

Если

A B

содержит точку, лежащую ... С ,

то искомое множество состоит

(Почему?)

Это

значит, что прямая

t характеризуется условием

х - \ - у = \

или

что условие х + г/ = 1

необходимо и достаточно для

принадлежности точки (х, у) прямой I. Каждая точка (х, у) прямой I

удовлетворяет этому условию,

н и к а к и е другие точки (х,у) ему

не удовлетворяют.

Точно

так

же окружность

на следующем рисунке характери­

зуется условием

(х — l)2 + z/2 = 1.

{(х, у)\х +

у = \ и

х = 1 }

Последняя запись означает: «Множество всех

упорядоченных пар (х, у), таких,

что х~Уу = 1 и х = 1 » . Конечно, это

множество состоит из одной точки (1, 0).

Таким образом, мы можем написать:

{(х, у ) \х - \ - у — \ и х = 1 } = {(1, 0 )}.)

a)

{(* ,

у)

I х = 3 };

B)

{(*, у ) \ у = - 2};

c)

{(х,

У) I

у = х — 2 };

B )

{(х ,

y ) ! y s = 0 } ;

c)

{(X, у ) \ х < у } \

d) { ( х ,

y

) l x + y S s 1}.

3.

Сделайте

рисунок

и опишите

уравнением

множество

всех

точек

Р

(х,

у),

равноудаленных от

точек А(5,

0)

и ß ( l, 0).

4.

Сделайте

рисунок

и опишите уравнением

множество

всех

точек

Р

(х,

у),

равноудаленных от точек С(2, 2)

и D(2,

— 8).

5. Сделайте

рисунок и опишите уравнением множество всех точек Р (х , у),

равноудаленных от прямых, задаваемых уравнениями

х = — 3 и х =

7.

6.

Изобразите каждое из следующих множеств:

а)

{(* ,

V) |х2+ г / 2=

2 5 };

Ь)

{(х, у) |

х 2+ */2 = 8 };

с)

{(X,

у ) \ ( х - \ ) * + у* = А}-

d)

{(х,у )| х 2 +

( і / + 1 ) 2 =

9 }.

7.

Изобразите и опишите множество всех точек Р(х, у), равноудаленных от то­

чек Л(0,

5) и В( 5,

0).

a)

{(х,

у ) \ х =

3

и

у =

6 );

B )

{(х,

у) I х =

у

и

х =

5};

c)

{(*>

У) I * 2 +

#2 — 16

иX — — 4 };

d)

І(х,

у) I х 2 +

г/2 = 25

и у — ѣ }\

e) {( * , У ) \ У = — 2 и |х |— 7 };

О {(*> у ) ! I X j === 3

и | г/1 =

5}.

9+. Чем отличаются следующие два множества:

a)

{(х,

у) I х =

4

и

у =

5 };

B )

{(х,

у) |х =

4

или

у = 5 }?

rf-

10*+. Сделайте рисунок

и опишите уравнением множество

всех точек

Р(х,

у),

расстояние

от

которых

до точки

(8, 0)

вдвое больше

расстояния

до

точ­

11*+.

ки (2, 0).

Изобразите следующее

множество:

{(х, у)\ — 1 «S х sg 5

и Osс у ^ < :4 }.

12*+ . Изобразите

следующее

множество:

{(х,

у) I ( х - 3 ) 2+

г/2 = 25 или (х +

6)2 +

(/2 = 5 2}.