§ 3. ТЕОРЕМЫ О КОНКУРРЕНТНОСТИ
Определение
Две или более прямые называются к о н к у р р е н т н ы м и , ес ли существует единственная точка, принадлежащая всем этим прямым. Эта общая точка прямых называется т о ч к о й к о н к у р р е н т н о с т и .
Конечно, дв у м прямым, лежащим в одной плоскости, «лег ко» быть конкуррентными. Именно этого мы и ждем, когда рису ем две прямые случайно: если они окажутся параллельными, то
1
достаточно лишь чуть-чуть повернуть одну из них, чтобы они уже стали конкуррентными.
Но совсем иное дело —конкуррентность т р е х прямых. В нор мальных условиях мы «ждем», что три прямые на плоскости будут содержать стороны некоторого треугольника.
Если же они случайно окажутся конкуррентными, то доста точно лишь чуть-чуть пошевелить одну из них, чтобы они пере стали быть конкуррентными (если, конечно, наше «шевеление» не есть поворот вокруг точки конкуррентности).
Однако можно показать, что при некоторых условиях три пря мые всегда будут конкуррентными. Вот первая из наших теорем такого рода.
Теорема 15.1 (теорема о конкуррентности медиатрис)
Медиатрисы сторон тре угольника конкуррентны. Их точка конкуррентности равноудалена от всех вершин треугольника.
До к а з а т е л ь с т в о . Дан
ДЛ 5С . Пусть Іъ /2 и /3— ме
диатрисы сторон AB, ÄC иВС. Если бы прямые Іх и /2 были параллельны, то были бы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параллельны |
и прямые |
AB |
|
|
|
|
и АС. |
(Почему?) Но |
AB |
и |
АС пересекаются |
в |
точке |
А. Сле |
довательно, |
прямые /j |
и /2 пересекаются в некоторой |
точке Р. |
По характеризационной теореме для медиатрис |
(теорема 6. 2) |
Р А —РВ, так как точка Р принадлежит прямой Іх. По |
той же |
теореме |
и Р А = Р С , так |
как |
точка Р принадлежит /2. Следова- |
тёльно, |
PB — PC. Но в силу |
той же теоремы |
это |
означает, что |
точка Р |
принадлежит 13. |
|
|
|
|
|
Таким образом, медиатрисы сторон треугольника конкуррент ны и их точка пересечения равноудалена от вершин треугольника.
Следствие 15. 1.1
Каждые три неколлинеарные точки принадлежат одной и толь ко одной окружности.
(Они |
принадлежат окружности с центром Р |
и |
радиусом |
РА = Р В —РС.) |
|
|
Следствие 15. 1. 2 |
|
|
Дее |
различные окружности могут пересекаться |
не |
более чем |
в двух |
точках. |
|
|
(Это вытекает из следствий 14.6.1 и 15.1.1.) До сих пор мы
употребляли термин высота (треугольника) в двух |
смыслах: он |
мог означать |
из вершины |
1°. перпендикулярной о т р е з о к , проведенный |
треугольника к противоположной стороне; 2°. д л и н у такого перпендикулярного отрезка.
В следующей теореме мы будем понимать этот термин еще в од ном, третьем смысле: здесь он означает
3°. п р я м у ю, проходящую через вершину треугольника и пер пендикулярную противоположной стороне.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 15.2 (теорема о конкуррентности высот) |
|
|
|
Три |
высоты |
треугольники |
|
|
всегда конкуррентны. |
|
|
|
|
|
|
Если |
воспользоваться |
прие |
|
|
мом, который виден из нашего |
|
|
рисунка, |
то доказательство бу |
|
|
дет |
простым. |
|
|
|
|
|
Через |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|
каждую вершину данного Д А ВС |
|
|
проведем |
прямую, |
|
параллель |
|
|
ную противоположной |
стороне. |
|
|
Никакие две из этих трех |
пря |
|
|
мых не параллельны. (Почему?) |
|
|
Поэтому |
они |
определяют неко |
|
|
торый |
/\D E F . |
что |
противопо |
|
|
|
Мы |
знаем, |
|
|
|
ложные стороны параллелограм |
|
|
ма |
конгруэнтны. Дважды |
при |
|
|
меняя |
эту |
теорему, |
получаем, |
|
|
что |
|
AD = BC = AE. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
высота, про |
|
|
веденная |
в Д АВС |
из |
верши |
|
|
ны, |
является |
медиатрисой от |
|
|
резка DE. |
По той же |
причине |
|
|
и |
две |
другие |
|
высоты |
/\А В С |
|
силу тео |
служат медиатрисами двух других сторон /\DEF. В |
ремы |
15.1 |
эти |
три |
прямые |
конкуррентны. |
|
|
|
Заметим, что если понимать слово высота в |
старом смысле, |
как о т р е з о к , |
то эта теорему |
станет неверной |
(см. |
последний |
рисунок). Перпендикулярные отрезки, проведенные из вершин тре угольника к противоположным сторонам, вообще не обязаны пере секаться. Именно соответствующие п р я м ы е всегда конкуррентны.
Задачи к § 3
1. Перерисуйте эти три треугольника |
и постройте три медиатрисы их сторон |
и три высоты для каждого из нйх, |
указав точки конкуррентности. |
L |
|
2. Точка конкуррентности высот треугольника |
называется его орт оцент ром . |
a) Ортоцентр каких треугольников |
является |
их вершиной? |
B ) Ортоцентр каких треугольников |
совпадает с точкой пересечения медиа- |
трис сторон? |
|
|
3.Три точки лежат на окружности. Они соединены отрезками, образующими
|
треугольник. Где будет находиться |
точка |
конкуррентности медиатрис этих |
|
отрезков? |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Даны три неколлрнеарные точки. Где |
находится |
точка, |
принадлежащая их |
|
плоскости и равноудаленная от |
всех |
этих |
трех |
точек? |
Почему |
эти точки |
|
должны быть неколлинеарны? |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Изобразите и опишите множество |
всех |
точек, равноудаленных |
от каждой |
|
из трех данных неколлинеарных точек. |
|
|
|
|
6. |
Дан прямоугольный треугольник. |
Где находится точка, лежащая в его |
|
плоскости и равноудаленная от его |
вершин? |
|
|
|
7.Высота, проведенная из вершины прямого угла равнобедренного прямо
|
угольного треугольника, имеет длину 7. Чему равна площадь треугольника? |
8. |
Дан произвольный L ВА С . Опишите множество всех точек, лежащих внутри |
|
этого угла и равноудаленных от его сторон. Вы |
должны суметь доказать, |
|
что ваш |
ответ |
правилен. |
( П р е д о с т е р е ж е н и е : |
Это |
множество не |
|
является ни лучом, ни прямой.) |
|
|
|
|
9. |
Докажите, |
что медиатрисы |
четырех сторон |
четырехугольника, вписанного |
|
в окружность, и медиатрисы двух его диагоналей |
конкуррентны. |
10*+. Напишите уравнения медиатрис сторон Л |
А В С (см. левый рисунок) и пока |
|
жите, что они |
конкуррентны, если Л = |
(3,4), |
ZJ = |
(5,8) |
и С = ( — 1,10). |
11*+. Для |
правого |
рисунка напишите уравнения высот, проведенных из вер |
шин |
А и В |
А А В С , и покажите, что эти высоты пересекаются на оси у. |
Конкурсная задача
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
однойстаринной |
карте |
были |
обнаружены |
следующие |
указания: |
«От места, где пересекаются дорога короля и |
дорога |
королевы, |
идите |
на |
север по дороге Короля. Сначала вы |
увидите большую |
сосну, |
а затем — клен. |
Вернитесь к пересечению |
дорог. |
У |
дороги Королевы, если идти на запад, |
стоит вяз, |
а если идти на |
восток — ель. Первая |
памятная точка |
находится |
на |
пересечении прямой вяз — сосна и прямой |
кл ен — ель. Вторая памятная |
точка |
находится |
на |
пересечении |
прямой |
ель — сосна |
и |
прямой |
вяз — клен. |
Клад |
зарыт там, |
где |
прямая, проведенная |
через |
эти две |
памятные точки, |
пересекает |
дорогу |
Королевы». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отправившаяся на поиски группа нашла вяз в четырех километрах от пере |
сечения |
дорог, |
ель — в двух |
километрах от |
этого |
пересечения |
и |
сосну — в трех |
километрах |
от этого пересечения, |
но |
никаких следов клена ей |
обнаружить |
не |
удалось. Тем не менее она сумела отыскать клад в соответствии с указаниями. Один из участников поисков сказал: «Какая удача, что сосна сохранилась до сих пор!» Руководитель группы рассмеялся и ответил: «Мы могли бы
обойтись и без сосны!» Покажите, что он был прав.
§ 4. БИССЕКТРИСЫ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Теперь мы хотим доказать, что и биссектрисы углов треугольника всегда конкуррентны.
Однако, чтобы получить этот результат, нам нужно сначала еще кое-что узнать о биссектрисах углов: нам нужно их охарактери зовать. Такая характеризация со держится в следующей теореме.
Теорема 15.3
Биссектриса угла, из которой удален ее конец, есть множество всех точек, лежащих внутри этого угла и равноудаленных от его
сторон. |
|
|
|
а |
Д р у г а я |
ф о р м у л и р о в к а . |
1°. |
Если |
точка Р лежит |
внутри |
/_ ВАС |
и равноудалена от прямых |
AB и АС, |
то |
она принадлежит |
биссектрисе |
/_ ВАС. |
|
|
2°. Если точка Р принадлежит |
биссектрисе Д, ВАС и если Р Ф А, |
то |
точка |
Р |
лежит |
внутри |
/_ ВАС и равноудалена от прямых Л |
AB и АС. |
иллюстрируют |
две части формулировки. В доказа |
|
Рисунки |
тельствах мы пользуемся обозначениями, указанными на рисунках. Д о к а з а т е л ь с т в о 1°
|
|
Утверждения |
|
Аргументы |
1. |
Точка |
Р лежит внутри |
A B A C . |
Дано. |
2. |
РМ L A B |
и PN ' 1 |
АС. |
|
Определение расстояния от точки до |
|
|
|
|
|
|
прямой. |
3. |
/. М и /. У — прямые |
углы. |
Дано. |
4. |
д |
/_ |
N. |
|
|
Прямые углы конгруэнтны. |
5. |
РМ = |
PN . |
|
|
|
Дано. |
6. |
А АМР ^ |
A ANP. |
|
|
Теорема о гипотенузе и катете. |
7. |
А Р А М ^ |
А PAN. |
|
|
Соответствующие углы. |
8. |
Луч |
А Р |
является |
биссектрисой |
Шаги 1 и 7 и определение биссект |
|
L ВАС. |
|
|
|
рисы' угла. |
Д о к а з а т е л ь с т в о 2°
|
|
|
Утверждения |
|
Аргументы |
1. |
Р |
лежит |
на биссектрисе L ВА С |
Дано. |
|
|
и Р ф |
А. |
|
|
|
2. |
Р |
лежит |
внутри L ВА С . |
Шаг 1 |
и определение биссектрисы |
|
|
|
|
|
угла. |
|
3. |
L РА М ^ |
Z. PAN. |
Определение биссектрисы угла. |
4. |
L M ^ |
L N . |
Прямые |
углы конгруэнтны. |
5. P A — P A . |
|
Тождество. |
б! A A M P ^ A A N P . |
С У У . |
|
7. |
M P — N P . |
Соответствующие стороны |
Утверждения 2 и 7 нам и требовалось доказать. Теперь мы можем доказать д
нашу теорему о конкуррентности:
Теорема 15 .4
Биссектрисы углов треугольни ка конкуррентны. Их тонка кон куррентности равноудалена от всех трех сторон треугольника.
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Дан ДАВС. Пусть Р —точка пересе |
чения биссектрис /_ А и |
Д В. Тогда точка |
Р лежит внутри /_ А |
и внутри /. В, а значит, и внутри ,/ С. Поэтому |
1°. точка |
Рравноудалена от |
прямых ЛС и AB; |
2°. точка |
Рравноудалена от |
прямых AB и ВС; |
3°. точка |
Рравноудалена от |
прямых ЛС и ВС; |
4°. точка |
Р принадлежит биссектрисе |
/_С. |
|
|
Аргументы? |
|
|
|
|
|
Задачи к |
§ 4 |
|
|
|
|
|
1. |
Прямая |
пересекает |
стороны L |
ВА С в |
точках Р и Q. Укажите точку пря- |
|
|
^ |
равноудаленную |
|
—*• |
—*■ |
|
|
мой PQ, |
от лучей A B |
и АС. |
|
2. |
□ |
ABCD — выпуклый четырехугольник. |
|
с |
|
a) Объясните, как |
найти точку, равноудаленную от |
прямых AD и A B и |
|
|
вместе с тем равноудаленную |
от вершин D и С. |
с , f ^ |
|
B ) |
Объясните, как |
найти |
точку, |
равноудаленную от прямых A B, AD и DC. |
|
c) |
Совпадают ли точки, |
найденные в |
а) и Ь)? |
|
D
В
