Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Если окружности пересекаются в двух точках, как на верхнем левом рисунке, то каждое из чисел а, Ь и с должно быть меньше, чем сумма двух других. Мы получаем эти три неравенства, трижды применяя к Д PQR неравенство треугольника (теорема 7.8).

С другой стороны, если любое из этих трех неравенств заме­ нить противоположным, то, как показано на остальных трех ри­ сунках, окружности вообще не будут пересекаться. А если сумма каких-нибудь двух из наших чисел р а в н а третьему, то окруж­ ности касаются.

Эту ситуацию описывает следующая

Теорема 15.6 (теорема о двух окружностях)

Пусть даны две окружности радиусов а и Ь, расстояние между центрами которых равно с. Если каждое из чисел а, b и с меньше суммы двух других, то эти окружности пересекаются в двух точках, лежащих по раз­ ные стороны от прямой, про­ ходящей через их центры.

509

Это —теорема, потому что ее можно доказать, если только достаточно потрудиться. Но мы опустим доказательство и будем здесь рассматривать это утверждение как аксиому.

§7. ПРОСТЕЙШИЕ ПОСТРОЕНИЯ

Вэтом и следующем параграфах мы расскажем о простейших построениях. Все они, конечно, производятся в данной плоскости. Позднее эти построения будут играть роль отдельных шагов в более сложных построениях.

Построение 1. Разделить данный угол пополам. Дан /_ А.

г — ВС.

По теореме о двух окружностях эти окружности пересекаются в двух точках, лежащих по разные стороны от прямой ВС. (Усло­

та из точек пересечения, которая лежит по другую сторону от ВС, чем точка А.

Z.Д Л В = Z. РАС и луч АР является биссектрисой Д А. (Окружности в шагах 2 и 3 можно провести л юб ым радиусом,

большим, чем уД С . Мы не встретим никаких неприятностей,

если только не возьмем радиус столь малым, что окружности вообще не пересекутся.)

Построение 2. По данную сторону от данного луча1 отложить угол, конгруэнтный данному углу.

1 То есть по данную сторону от содержащей наш луч прямой.

510

рой принадлежит данный луч. Мы хотим построить луч DF, где F принадлежит полуплоскости Н, причем так,«чтобы получился угол,

'М

(з)

н

А

вы знаете, что каждое из чисел г, s и г меньше суммы двух дру­ гих? Это условие необходимо для того, чтобы можно было приме­ нить теорему о двух окружностях.) Пусть F — точка пересечения, лежащая, как на нашем рисунке, в полуплоскости Н.

511

Дан Д АВС. Кроме того, даны луч с началом D и полупло­ скость Я, ребру которой принадлежит этот луч. Мы хотим по­

Ш аг 3. Проводим окружность с центром F и радиусом а. Послед­

ние две окружности, как это и изображено на рисунке, д о л ж н ы < >

пересечься в двух точках, лежащих по разные стороны от прямой DF. В самом деле, каждое из чисел а, b и с меньше суммы двух дру­ гих (почему?), и, таким образом, условия теоремы о двух окруж­ ностях выполняются. Пусть, как указано на рисунке, Е —та из точек пересечения этих окружностей, которая лежит в полуплоскости Я.

512

Если вы еще раз просмотрите § 7 гл. 6, то увидите, что при доказательстве ССС мы столкнулись, по существу, с той же задачей, что и в построении 3 —нам нужно было построить данный тре­ угольник по данную сторону от данного луча. Полезно сравнить два метода. (В § 7 гл. 6 мы пользовались масштабной линейкой и транспортиром, а не линейкой без делений и циркулем. И чтобы показать, что наше построение приводит к нужному результату, мы пользовались не ССС, а СУС.)

Задачи к § 7

( З а м е ч а н и е . Предлагаемые ниже построения нужно выполнять с помощью циркуля и линейки.)

1.Проведите вверху листа бумаги, на котором вы выполняете эту домашнюю работу, горизонтальную прямую. Взяв в качестве единицы масштаба длину

отрезка A B , изображенного ниже, нанесите (с помощью циркуля) на эту прямую шкалу, содержащую не менее 10 единиц. При решении следующих

2.Нарисуйте какой-нибудь тупоугольный треугольник и постройте биссектрисы каждого из его углов.

3.Нарисуйте какой-нибудь разносторонний Д А В С . Теперь по данную сторону данного луча постройте конгруэнтный ему треугольник, пользуясь методом, опирающимся на У С У -аксиому.

4.Постройте равносторонний треугольник со стороной длины 5.

5.Постройте равнобедренный треугольник с основанием длины 8 и с двумя конгруэнтными сторонами длины 5.

6.Докажите, что всегда можно построить равносторонний треугольник, имеющий данный отрезок одной из своих сторон1.

7.Даны два числа а и Ь, первое из которых должно быть длиной каждой из конгруэнтных сторон равнобедренного треугольника, а второе — длиной его основания Какие условия нужно наложить на а и Ь, чтобы можно было построить такой равнобедренный треугольник?

8.Нарисуйте какой-нибудь выпуклый четырехугольник. По данную сторону данного луча постройте конгруэнтный ему четырехугольник.

§8. ПРОСТЕЙШИЕ ПОСТРОЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Построение 4. Построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку, не лежащую на этой прямой.

Даны прямая / и не принадлежащая ей точка Р. Пусть Q и R — две любые точки прямой /.

прямой PQ. Тогда /, QPS и /_ PQR будут внутренними накрест

лежащими углами. Поэтому PS\\QR, как нам и требовалось. Построение 5. Разделить отрезок на данное число конгруэнт­

ных отрезков.

Дан отрезок AB. Мы хотим разделить его на п конгруэнтных отрезков. (На рисунке изображен случай, когда п — 5.)

Ш аг 1. Проводим какой-нибудь луч с началом А, не имею­

щий с прямой AB отличных от А общих точек.

Ш а г 2. Последовательно откладываем на этом луче п конг­

руэнтных отрезков АРЪ Рі_Рг, ..., Рп-іРп так, как это изобра­ жено на рисунке. (Длина этих отрезков не имеет значения; нужно только, чтобы они были од но й длины. Таким образом, точку Рг мы можем выбрать на луче совершенно произвольно, а осталь­ ные отрезки отложить циркулем один за другим.)

Шаг 3. Проводим отрезок РпВ.

Шаг 4. Через остальные точки Ръ Р2, .... Рп- \ проводим

лучи, параллельные отрезку РпВ. Они пересекут отрезок AB в точках Qj, Q2, ..., Q„_i.

Так как наши параллельные прямые высекают конгруэнтные <—>

отрезки на секущей АРп, то они высекут конгруэнтные отрезки

514