Файл: Моиз Э.Э. Геометрия.pdf

Конечно, не обязательно было проводить окружности радиуса г = AB. Можно было взять и любой больший радиус. В действи­

тельности, годился бы любой радиус, больший, чем ЛВ. (Почему?;

Очевидно, если мы умеем строить медиатрису данного отрезка, то мы сможем построить и точку, делящую этот отрезок пополам. (Это—точка R предыдущего рисунка.) Отметим это как своего рода «построение-следствие».

Построение 7. Найти середину данного отрезка.

Медиатриса этого отрезка автоматически доставляет нам и его середину.

Построение 8. Построить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку.

14.9следует, что / пересекает ее в двух точках: R и S.

Шаг 2. Строим медиатрису отрезка RS. Эта прямая пройдет через Р, так как точка Р равноудалена от R и 3.

Заметим, что для построения медиатрисы не нужно проделывать все, что требуется в построении 6; достаточно провести по такой дуге каждой из наших двух окружностей, чтобы получить точку^

построение проще.

( 2)

циркуля и линейки.)

1.Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник.

2.Постройте ромб с диагоналями данной длины.

3.Постройте параллелограмм, если даны один из его углов, длина меньшей стороны и длина большей диагонали.

6.Постройте уголв 15°.

7.Постройте уголв 75°.

8.Постройте равнобедренный треугольник, если даны его основание и высота, опущенная на это основание.

9.Постройте равносторонний треугольник с данной высотой.

516

10.Дан угол при вершине равнобедренного треугольника. Постройте угол при его основании.

11.Постройте равнобедренный треугольник, если даны угол при основании и высота, опущенная на основание.

12.Разделите данный отрезок на три конгруэнтные части.

13. Дан отрезок длины а. Постройте отрезок длины а J / 2 .

14.Дан отрезок длины а. Постройте отрезок длины а У З .

15.Даны два отрезка длины а и Ь. Постройте отрезок, длина которого равна

среднему арифметическому чисел а и Ь. ( У к а з а н и е . См. задачу 13 к 6 5 гл. 14.)

16. Дан отрезок длины а. Постройте отрезок длины а ]Л б .

17.Постройте прямоугольный треугольник, если даны один его острый угол и длина гипотенузы.

18.Постройте прямоугольный треугольник, если даны один его острый угол и высота, проведенная из вершины прямого угла.

19.Постройте треугольник, если даны длина двух его сторон и длина медианы, проведенной к более длинной из них.

20.Постройте параллелограмм, если даны один его угол, одна сторона и высота, опущенная на эту сторону.

21. Постройте две внутренние касающиеся окружности, если даны радиусы каждой из них.

22. Постройте окружность данного радиуса, касающуюся обеих сторон данного угла.

23.Постройте три конгруэнтные окружности данного радиуса, каждая из которых касается двух других.

24.Постройте равносторонний треугольник, если дан отрезок, длина которого равна периметру этого треугольника.

25*. Постройте касательную, проведенную к окружности из данной точки, лежащей вне ее. ( У к а з а н и е . Воспользуйтесь следствием 14.16.1.)

26*. Постройте равнобедренную трапецию, если даны ее основания и диагональ.

27. Постройте равнобедренный треугольник, если даны его основание и высота, опущенная на одну из конгруэнтных сторон. ( У к а з а н и е . Вам должна по­ мочь задача 25.)

29*. Даны две точки А и В прямой /. Окружность С в точке А касается прямой I. Постройте окружность, ка­ сающуюся прямой I в точке В и, кроме того, касающуюся окружности С. ( У к а з а н и е . . Рассмотрите вниматель­ ней наш рисунок, на котором точка Q является центром искомой окруж­ ности.)

30. Постройте треугольник, если даны длины двух его сторон и длина меди­ аны, проведенной к третьей стороне.

Конкурсная задача

517

§ 9. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ

В

Окружность Сг на этом рисунке впи­ сана в Д А ВС, а окружность С2 описана около Д А Р В .

Определения

Если некоторая окружность касается всего трех сторон тре­ угольника, то говорят, что эта окружность в п и с а н а в данный

в п и с а н в эту окружность.

Каждый треугольник описан около одной окружности и впи­ сан в другую. Вот нестрогое рассуждение, позволяющее понять, почему это должно быть так. Представим себе маленькую окруж­ ность, лежащую внутри треугольника и постепенно расширяю­ щуюся, как расширяется выдуваемый мыльный пузырь (являю­ щийся, конечно, сферой, а не окружностью). В тот момент, когда эта окружность больше не сможет расширяться, она окажется вписанной в треугольник. Точно так же представим себе обод, охватывающий треугольник и постепенно сжимающийся. В тот момент, когда он больше не сможет сжиматься, он должен ока­ заться описанным около треугольника Т

Теперь мы докажем не только, что описанная и вписанная окружности существуют, но и что их можно построить с помощью циркуля и линейки.

Ш аг 1. Строим медиатрисы сторон Aß

и АС. Они пересекаются в некоторой точ­ ке Р. По теореме 15.1 точка Р равно­ удалена от вершин А, ß и С.1

1 Как это ни может показаться странным, подоб­ ные простые рассуждения находят серьезное приме­ нение в современной математике (они даже получи­ ли специальное название — «метод пустого шара»).

518