эпидемия не утихала, а стала свирепствовать еще больше, и жи тели города поняли, что Аполлон имел в виду объем своего ал таря. (Конечно, когда ребро куба было удвоено, объем его уве личился не в два раза, а в восемь раз.) Так возникла задача об удвоении куба, но местные математики были не в состоянии ее решить1. Таким образом, первая попытка применения математики к задачам здравоохранения потерпела полную неудачу.
3°. Квадратура круга. Дан круг. Мы хотим построить квад рат, имеющий ту же площадь.
Алгебраически это означает, что b = a]/7c.
Более двух тысяч лет лучшие математики пытались найти способы, позволяющие осуществить эти построения с помощью циркуля и линейки. Наконец, уже в XIX в. было установлено, что все эти три задачи неразрешимы, т. е. что решить их невоз можно.
Невозможность в математике означает не совсем то же самое, что и в повседневной жизни; поэтому наше утверждение нуждается
в некотором |
пояснении. |
мы имеем |
Обычно |
когда |
мы говорим, что что-то невозможно, |
в виду только то, что это очень трудно, подобно тому |
как «не |
возможно» найти |
иголку в стоге сена. Часто мы подразумеваем, |
что мы не знаем, |
как это сделать, и сомневаемся, можно ли это |
сделать вообще. |
Именно в этом смысле люди говорили, что ле |
тать по воздуху невозможно, и, утверждая это, они были правы, пока не был построен первый аэроплан и он не поднялся в воз дух. Математическая невозможность —это нечто иное. В математике есть вещи, которые действительно невозможно сделать, и можно доказать, что сделать их нельзя.
1°. Как бы вы ни были умны, вы не сумеете найти целого числа, заключенного между числами 2 и 3, потому что такого числа нет.
2°. Если этот пример показался вам слишком плоским, чтобы отнестись к нему серьезно, то рассмотрим следующую ситуацию. Мы исходим из целых чисел: положительных, отрицательных и нуля. Мы позволяем их складывать, вычитать, умножать и де лить. Назовем число «допускающим построение», если мы можем получить его, отправляясь от целых чисел, за конечное число таких действий. Например, следующее число «допускает построе ние»:
1 Рассказывают |
также, |
что, |
когда |
жители |
города |
обратились с просьбой |
о помощи к знаменитому |
Платону, он сказал, |
что Аполлон карает их за не |
знание математики, |
но, впрочем, |
сам |
не сумел |
решить |
предложенную задачу. |