Файл: Литвин Ф.Л. Проектирование механизмов и деталей приборов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 203
Скачиваний: 3
Рис. 2.17
В обозначении М{тр (k = 2, 3) верхние индексы указывают, что это момент, передающийся от втулки номера k валу 1. Мо мент трения Мір1 * направлен против угловой скорости вра щения вала в его относительном движении по отношению к втулке
(оз1к |
= |
— щ). |
Это отражено введением |
в уравнения |
(2.63) |
|||
символа |
sign ((okl) |
— з н а к а ((nkl). |
Через |
fnplk |
{k = 2, |
3) |
обозна |
|
чен |
приведенный |
коэффициент |
трения вала / |
в опоре |
номера k. |
|||
|
Д л я |
преодоления моментов |
трения |
М т р ! ) |
к валу |
/ |
нужно |
приложить внешний момент, определяемый при (о1 = const вы ражением
M < 1 ) = - ( M f p 1 ) + M T p 1 ) ) =
При неподвижных опорах 2 и 3 sign (со)12 — sign (со1 3 ) = 1 (направления относительных угловых скоростей о 1 2 и со1 3 сов падают). Поэтому для приведения вала / в движение к нему нужно приложить момент
M ( I ) = ( f „ p l 2 + f n p l 3 ) t f ^ - . |
(2.66) |
Представим теперь, что в то время как вал / совершает мед ленное вращение с угловой скоростью сох втулкам 2 и 3 сооб щаются быстрые вращения с равными по величине угловыми ско ростями в противоположных направлениях (рис. 2.17, б). В этом случае относительные угловые скорости 2 и со1 3 имеют противо положные направления; противоположные направления будут
иметь и моменты М{ср], М^р1] (рис. 2.17, в). При равенстве при веденных коэффициентов трения согласно уравнению (2.65) ока жется, что М^Х) = 0. Это означает, что вал / при вращающихся опорах может быть приведен в движение сколь угодно малым внеш ним моментом. Моменты трения Мгрг) и Мір1 *, приложенные к валу, приведут к его закрутке, но не будут препятствовать его вращению (рис. 2.17, б). С первого взгляда это может показаться парадоксальным: вращение вала 1 может совершаться под дей ствием ничтожного по величине внешнего момента, несмотря на наличие трения. Оказывается, что значительный внешний мо мент должен быть приложен к валу 4, приводящему в движение
втулки 2 и |
|
3. |
|
|
||
|
Из построений рис. 2.17, г очевидно, что к втулкам 2 и 3 |
|||||
будут приложены |
передающиеся от вала / моменты трения Мт р2 ) |
|||||
и |
Лїт р3 ) , определяемые следующими |
выражениями: |
||||
М?р |
= ( f |
n |
p |
12 4 |
г) sign (со ); М. |
(fnp із - ^ - r ) sign (сом). (2.67) |
2) |
|
|
12 |
|
При неподвижных опорах Мт ( р 1 2 ) и М[\ являются реактив ными моментами, воспринимаемыми заделкой втулок. При вра щающихся опорах к ним должны быть приложены внешние мо менты для преодоления моментов трения.
Представим для простоты, что передаточные отношения |
от |
||||
вала к втулкам 2 и 3 равны единице. Если |
пренебречь |
потерями |
|||
на трение зубчатых передач, связывающих вал 4 с втулками 2 |
и |
3, |
|||
окажется, что к валу 4 нужно приложить |
момент |
|
|
|
|
М<4> |
(fnP 12 + /п Р із) ~Y R\ s j g n |
Ю - |
( 2 |
- 6 |
8 ) |
Это означает, что, избавляясь почти полностью от потерь на трение вала / во вращающихся втулках, для преодоления со противления движению втулок приходится прикладывать внеш ний момент М<-А). Однако этот момент прилагается от энергети ческого источника, дополнительного по отношению к гироскопи
ческому устройству. Моменты трения М[рХ) |
и Mfvl), |
действующие |
при неподвижных втулках (рис. 2.16, а), |
преодолеваются за |
счет энергии гироскопа и поэтому являются причиной увода гиро скопа. Так как при вращающихся втулках уменьшается сопро тивление движению вала 1, то тем самым устраняется и причина увода гироскопа.
Приведенные коэффициенты трения /П р 12 и / п р із в общем слу чае могут оказаться не равными; нельзя рассчитывать и на пол ное равенство нормальных давлений в опорах 2 и 3. По этой
причине |
может |
оказаться, |
что |
моменты трения Літр1 * и |
Mjp1} |
|
не равны |
друг |
другу. Д л я |
того |
чтобы работа, совершаемая |
мо |
|
ментами Мтр1 } и М{?р} |
за некоторый промежуток времени t, |
ока |
||||
залась равной |
нулю, |
предусматривается, что через промежуток |
||||
|
t |
|
|
|
|
|
времени |
-j- вращения |
втулок |
реверсируются. |
|
В гироскопических устройствах опорами осей карданова под веса являются трехколечные шарикоподшипники (см. рис. 15.68). Принудительные вращения в- противоположных направлениях
сообщаются внутренним кольцам |
обоих шарикоподшипников, |
на которые опирается ось подвеса. |
|
2.9. ВЛИЯНИЕ |
ТРЕНИЯ |
НА П Л А В Н О С Т Ь ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Замечено, что при малой скорости перемещения и недостаточ ной жесткости звеньев механизма движение ведомого звена ста новится скачкообразным (с периодическими остановками), дви жущее усилие, требуемое для поддержания движения, заметно колеблется по своей величине. При скачкообразном характере движения ведомого звена становится весьма затруднительной его точная установка. Движение с периодическими остановками
вызывается, как будет показано ниже, непостоянством сил тре
ния, и |
является автоколебательным |
процессом. Возникающие |
при этом |
колебания — разрывные или |
релаксационные; их изу |
чению в механических системах посвящены работы М. Е. Эльясберга [139], Я. Г. Пановко [92], Д . Р . Меркина [86], В. Э. Пуша [99] и других исследователей.
Обратимся к физической модели механической системы, изо браженной на рис. 2.18, а. Тело 2 массы т перемещается по шеро ховатой плоскости от ведущего звена 1 (массой ведущего звена
пренебрегаем). Звено 2 связано со звеном ) |
пружиной, |
имитирую |
||||||
щей |
податливость |
звена |
|
|
. |
|||
2. Звено / движется с по- |
а ) - |
|
|
|||||
стоянной скоростью |
v0. |
|
|
|
||||
Рассмотрим |
такое |
на |
|
|
|
|||
чальное положение |
звень- |
' |
|
|
||||
ев, когда пружина не ежа- |
б) |
|
|
|||||
та и |
звено |
1 движется |
со |
|
|
|
||
скоростью v0 |
(рис. 2.18, а). |
|
|
|
||||
Перемещение |
звена |
/ |
со |
|
|
|
||
провождается |
сжатием |
><? |
|
|
||||
пружины и звену 2 от пру |
|
|
|
|||||
жины |
сообщается усилие |
I I |
Ч |
Рис. 2.18 |
Р.Тело 2 будет находиться
впокое до тех пор, пока
усилие Р не окажется |
равным |
наибольшей |
силе |
трения покоя |
|||||||
F 0 . При Р = |
Fо |
произойдет срыв звена 2 (оно будет |
мгновенно |
||||||||
приведено |
в движение), и |
сопротивление |
движению |
звена 2 |
|||||||
будет вызываться не |
трением |
покоя, |
а трением |
движения. |
|||||||
Сила трения |
скольжения |
F < |
F0 |
и тело |
2 в |
начальный мо |
|||||
мент движения |
имеет |
скорость х |
= 0 |
и ускорение х |
= |
F ° ~ F . |
При перемещении звеньев 2 и / , поскольку они, как это можно
сразу |
предположить, движутся с различными скоростями (х ф |
Ф v0), |
расстояние между звеньями, а следовательно, длина и |
натяжение пружины будут изменяться. Ускорение звена 2 в те-
.кущий момент времени |
t определяется выражением |
|
|
x = - ^ - L , |
(2.69) |
где Р — усилие, сообщаемое звену 2 от пружины; |
F — сила тре |
|
ния скольжения. |
|
|
Натяжение пружины является переменным и определяется |
||
уравнением |
|
|
Р = |
с8 + с (v0t — х). |
(2.70) |
Здесь с — жесткость пружины; б — первоначальное сжатие пру жины; v0t — перемещение левого конца пружины (вместе с зве ном 1); х — перемещение правого конца пружины (вместе с зве ном 2).
За начало отсчета перемещений х звена 2 примем момент его срыва, который происходит после сжатия пружины на величину б;
при этом с8 = |
F0. |
|
|
трения |
Подставим выражение (2.70) в (2.69) и обозначим силу |
||||
скольжения в виде некоторой |
функции F (х). Движение |
звена 2 |
||
будет описано |
дифференциальным |
уравнением такого вида: |
||
|
х + кЧ + |
= |
k%t + 1 * - , |
(2.71,) |
где k2 — —.
т
Решение этого уравнения затруднено тем, что в настоящее время нет достаточно точных сведений о характере функции F (х). Зависимость силы трения скольжения от скорости скольжения определялась до сих пор экспериментально только для устано вившихся процессов. При каждом единичном эксперименте ско
рости скольжения |
х придавалось |
фиксированное |
значение, |
и |
|
F (х) выражалась таким образом в виде функции, |
связывающей |
||||
изменение силы |
трения скольжения |
при вариации |
значений |
х, |
|
фиксированных |
при единичных экспериментах. Распространение |
||||
результатов таких |
экспериментов |
на неустановившиеся про |
цессы, сопровождающиеся значительным колебанием скорости
скольжения х, было бы необоснованным. |
|
|
|
|||||||
В работах Д . Р. Меркина и Я- Г. Пановко |
при решении диф |
|||||||||
ференциального |
уравнения |
(2.71) |
была |
принята упрощенная |
||||||
характеристика силы трения скольжения |
F = |
const (рис. 2.18, б). |
||||||||
Использование такого выражения для F, существенно отличаю |
||||||||||
щегося от реального закона, позволяет |
тем |
не менее |
выявить |
|||||||
качественные особенности автоколебательного |
процесса. При F = |
|||||||||
= const дифференциальное |
уравнение (2.71) |
примет вид |
|
|||||||
|
|
|
х + k2x - |
. |
|
|
|
(2.72) |
||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.73) |
|
|
|
|
cv0 |
' |
|
т |
|
|
|
Из теории колебаний |
[79] известно, |
что решение дифферен |
||||||||
циального |
уравнения |
(2.72) |
при |
начальных |
условиях |
х = 0 |
||||
и х = 0 |
имеет |
вид |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) = |
-^lQ(l)sink(t-I) |
|
|
d\. |
(2.74) |
о
Раскрывая выражение (2.74), следует учесть, что t |
входит |
под знак интеграла не как переменная интегрирования, |
но как |
параметр, который считается постоянным при интегрировании; переменной интегрирования является | , изменяющаяся в проме жутке [0, t]. После преобразований на основании выражений (2.74) и (2.73) получим
|
|
|
x(f) = v0\t |
— -^~- |
+ — (l—coskt)]. |
|
(2.75) |
||||||||
Скорость перемещения х (t) звена 2 определяется |
выражением |
||||||||||||||
|
|
|
|
Х |
(0 = vo |
(1 —c o s kt |
+ a sin kt). |
|
(2.76) |
||||||
Период |
автоколебательного |
процесса |
Т = tx + |
t2, |
где tx |
||||||||||
и t2 |
— время движения |
и выстоя |
звена 2. Д л я определения вре |
||||||||||||
мени |
tx |
будем |
исходить |
из того, |
что в конце |
движения |
(начале |
||||||||
выстоя) |
скорость |
X (tj) |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из выражения |
(2.76), приняв, |
что х = 0 при t — tlt |
получим |
||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
sin ktx |
+ |
1 — cos ktx |
— 0. |
|
(2.77) |
||||
Отсюда |
следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
sinktl = — 1 |
^ |
; |
cosfe^= |
j+ |
°2 , |
|
(2.78) |
||||
Для |
определения |
/ х |
нужно |
воспользоваться |
выражением |
||||||||||
(2.77) или (2.78). Приближенное |
выражение |
дл я tx |
при малых |
||||||||||||
значениях |
v0 |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
^ J L = J t |
j / Z . |
|
|
|
(2.79) |
||||
Это |
следует |
из выражения |
(2.78), |
согласно |
которому |
|
|||||||||
|
|
|
|
cos&/1 =—-. |
|
= — 1 |
при a - >оо . |
|
|
а2
Втом, что уменьшение значений v0 сопровождается увеличе
нием |
а, |
можно удостовериться, |
рассмотрев |
выражение |
(2.73) |
|||||||
для а . |
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
Д л я |
определения времени |
воспользуемся |
тем, что за пе |
|||||||||
риод Т звенья |
1 и 2 совершат равные перемещения. Очевидно, что |
|||||||||||
|
|
х? |
= v0(h + t2); х?] = х$? = о ь ( * і |
+ |
- ^ - ) . |
|
(2.80) |
|||||
Используя |
выражение |
(2.80), |
получим |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
L |
= ^ |
- |
= |
( / « - / ) . |
|
|
(281) |
||
|
|
|
1 |
|
k |
|
CV0 |
|
|
|
V • |
/ |
На |
рис. 2.19, a — г |
изображены графики функций х |
= х (t) и |
|||||||||
x = x(t), |
построенные |
при двух значениях v0. |
|
Уменьшение |
зна |
|||||||
чения |
vQ |
сопровождается увеличением времени |
t% покоя |
звена |
2 |