Файл: Литвин Ф.Л. Проектирование механизмов и деталей приборов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 206

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Орт нормали к поверхности 2{ определяется уравнением [72]

 

 

Є ' = * ( & Х Ж ) = Є ' (

В " * Л

 

 

( З Л З )

где

k

1

— нормирующий

множитель.

 

 

 

Отметим,

что при перемене множителей

в векторном

произве-

 

/ дті w дті \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дении ( д и

х -g^r) изменяется и направление

орта

нормали.

ной

Радиус-вектор и орт нормали

к

поверхности

2 £ в

неподвиж­

системе

координат

определяются

уравнениями

(i

= 1, 2)

 

 

г")

=

г«>

(«,-,

О,-, Ф і ) ;

 

 

(3.14)

 

 

е«>

=

е«>

(«,-,

ft,,

<р,),

 

 

(3.15)

где ф; — параметр, определяющий движение системы s(- относи­ тельно стойки. Д л я перехода от уравнений (3.12) и (3.13) к урав­ нениям (3.14) и (3.15) нужно воспользоваться формулами связи между системами s и s{.

Представим, что звенья J и 2 совершают вращательные дви­

жения

относительно стойки;

параметры

движения

ф х и ф 2

—

углы

поворота звеньев

/ и 2 относительно

осей,

смонтированных

в стойке. Пусть после поворота на углы

ф 2

и ф 2

поверхности

2 Х

и 2 2 вступают в касание друг

с другом

в

точке

М.

Очевидно,

что в точке касания

М должны быть равны радиусы-векторы

г ( 1 )

и г<2)

поверхностей

2j

и 2 2 в неподвижной

системе

координат

s (х, у, z) и орты нормалей

е*1* и е ( 2 )

поверхностей (рис. 3.2,

с);

в точке М поверхности 2 Х и 2 2

имеют

общую

касательную пло­

скость

П. В аналитической форме касание поверхностей

2 Х

и 2 3

определяется

следующими

уравнениями:

 

 

 

 

 

г( 1 )

("і,

<>і,

Фі) =

г<2) (и2,

#2 ,

Ф а

) ;

 

(3.16)

 

е<1) ( И і ,

^ ,

ф 1 )

=

е(2) ( И а ,

0а ,

ф2 ).

 

(3.17)

Спроектировав векторы уравнений (3.16) и (3.17) на оси ко­ ординат системы s, получим шесть скалярных уравнений, из ко­ торых, однако, независимыми являются только пять. Это следует из того, что векторное уравнение (3.17) приводит только к двум

независимым уравнениям, поскольку е ( 1 )

и

е ( 2 ) — единичные

ВеКТОрЫ И | e<!> \#= | е<2> |.

 

 

 

 

В полученных пяти независимых скалярных уравнениях со­

держатся ф х , их,

ф 2 , ы2 , Фа . Задаваясь

параметром ф х , опре­

деляющим положение ведущего звена, из

системы

уравнений

(3.16)

и (3.17) находим

функции ф 2

(фх ), ых

(ф2 ),

( ф ^ , w2 (фх )

и # 2

( ф ^ . Функция ф 2

(фх ) является

искомой функцией положе­

ния механизма.

Функции ut (ф,.) и О,- (ф,-) после

их

подстановки

в уравнение (3.12) определяют так называемые рабочие линии — совокупность на поверхностях 2 Х и 2 2 тех точек, в которых 2 Х и 2 2 будут вступать в касание друг с другом.

7 1

До сих пор мы предполагали,

что ищется функция

положения

идеального механизма. Погрешности изготовления и

сборки ме­

ханизма приводят к изменению

поверхностей

и

2 2 и изме-

менению их положений в не­ подвижной системе коорди­ нат по отношению к тео­ ретическим положениям. Радиусы-векторы поверхно­ стей 2 г и 2 2 и их орты нормалей в системе коорди­ нат s определяются следую­ щими выражениями

(1> =

г( 1 >("ь

* ь

Фи А9І4 .

(1)

. . , Д ^ ; л е ' Л

2

 

 

 

 

д е ^ ) ;

 

 

("2,

* 2 , ф 2 , Д 9 1 2 ) ,

Д ^ 2 ) ,

 

Д ^ ;

Дві8 »,

Д в Г ,

 

дв?>);

 

 

Рис. 3.2

 

 

е(1> =

е( 1 ) («х,

* ь Ф 1 ,

Д в Р ,

Д в і 4 ,

ДВІ1»);

е<2) =

е( 2 ) (из,

<fe, ф2, ДЄІ2 \

Д0^2 ) ,

. . . . Дв<2>).

Здесь A q i ! ) , . . .,

А.ц(п}

и Д6І1 ',

. . .,

Д6І1 '

— погрешности, отне­

сенные к звену / и заданные в виде векторов конечно малых ли­ нейных перемещений A q ^ [d = 1, 2, . . ., п) и векторов конечно

малых углов поворота ДОс» (с = 1, 2, . . ., k); аналогичным об­

разом

обозначены векторы погрешностей

Aqj2 )

(т =

 

1, 2,

. . .,

т),

А0р2 )

(р

=

1, 2,

. . ., s),

отнесенные

к звену 2.

 

 

 

 

 

 

Вследствие

погрешностей

поверхности

2 Х

и 2 2

уже не могут

вступать в касание друг с другом, если углы

поворота

q>! и ф 2

будут связаны друг с другом теоретической

функцией

положе­

ния ф 2

(фі). При такой зависимости между

Фі и ф 2

поверхности 2 Х

и 2 2

не

касаются

друг

друга;

между

ними

образуется

зазор,

как это изображено

на

рис. 3.2, б,

либо

они внедряются

друг

в друга.

Обозначим через

М ( 1 )

и

М ( 2

) — точки

 

поверхностей,

в которых они коснулись бы друг друга при фиксированном

зна­

чении угла поворота ф : звена / и отвечающем ему значении

ф 2

,

если бы механизм был идеальным. Вследствие погрешностей

ока­

зывается, что радиусы-векторы

г ( 1 ) — 0 М ( 1 )

и г ( 2 ) =

0 М ( 2

) не

равны

(рис. 3.2, б);

не

равны

и

орты

нормалей

в

точках

М ( 1

)

и М (

2 ) ; касательная плоскость

П к поверхности 2 !

в точке

М ( 1

>

не

является

касательной

 

плоскостью

к

поверхности

2 2

в точке М < 2 ) . Поверхности 2Х

и 2 2

можно

снова

ввести

в

каса­

ние друг с другом,

если

хотя

бы одному

из звеньев

/ или 2 сооб­

щить дополнительный поворот вокруг соответствующей оси вра­ щения (/—/ или / / — / / ) . Этот дополнительный угол поворота и представит ошибку положения звена, вызванную погрешностями.

Условие

касания

поверхностей

2 Х и 2 2

при наличии

погреш­

ностей

определяется

следующими

уравнениями:

 

г ( 1 Ч « ь

* ь

Фь

 

. . . . А ^ ; Дві»

Дві»

Д в і » ) -

= r<2 ) («2 , * 2 , ф 2 ,

Ьд?\

. . . .

A?<2>;

A 9 | 2 \ ДЄ<2>

ДЄ<2>);

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.18)

 

 

e( 1 )

(«і, К

ФЬ ДбГ1 , Д Э ^ ,

. . . ,

Д9І1 ') =

 

 

 

= е ( 2 ) («2 ,

К Ф 2 , Д 0 Р \

Д 9 | 2

\ . . . , Д9<2 ) ).

(3.19)

Система векторных уравнений (3.18) и (3.19), как и система, составленная из (3.16) и (3.17), эквивалентна пяти независимым скалярным уравнениям, из которых можно определить функции

Фа(фі). " і (фі). * і (Фі). «а (Фі) и *а(Фі)- Функция Ф 2 ( ф х ) оп­ ределяет действительную функцию положения механизма с уче­

том его погрешностей. Разность функций положения

идеального

и реального механизмов представляет функцию

Д ф 2 (фх )

ошибок

положения реального механизма. Функции

ut (q>x)

и

(фх )

(і = 1, 2) после подстановки их в уравнение (3.12) поверхности t i определят действительную траекторию перемещения точки кон­

такта по этой поверхности. Сравнение действительной

и идеаль­

ной траекторий

позволяет найти смещение точки контакта по

поверхности 2 f ,

вызванное

погрешностями.

Значительные труд­

ности, возникающие, как

правило, при

определении

функций

ф 2 (фі), их (фі),

. . .,

0 2

(фі), требуют применения

электронно-

цифровых

вычислительных машин.

 

 

Определение

функции

ошибок

положения

реального меха­

низма. При втором методе раздельно находятся:

а) теоретическая

функция

положения

ф 2

(фі); б)

ошибки функции

положения,

вызванные действием погрешностей. Теоретическая функция по­ ложения в большинстве случаев задана заранее, еще на стадии проектирования механизма. Д л я зубчатых механизмов с несо­ пряженным зацеплением (например, типа Глисон) условимся

понимать под теоретической функцией положения ф 2

(ф2 ) функ­

цию, определяемую после ввода исходных корректур

настройки

станка. Под ошибками функции положения при несопряженном зацеплении будем понимать ошибки, вызываемые погрешностями установки станка, инструмента и самих колес. В основу второго метода определения ошибок положения положены уравнения,

описывающие условия

касания

поверхностей в точке контакта.

Так как уравнения (3.18) и (3.19) соблюдаются во всех положениях

звеньев J и 2, мы имеем право их продифференцировать.

В ре­

зультате получим

 

 

 

 

 

drw

=

dri2);

(3.20)

 

tfe(1)

=

de<2).

(3.21)

Уравнения (3.20) и

(3.21)

можно представить в такой

форме:

 

 

^ +'

-our

 

 

" дії,Ж "

 

^

 

+

 

ж ^( 1

^

+ '

• •

 

 

d

 

да,

 

dUl

1

d

 

 

1

 

 

 

 

 

~ ~ ' +

 

 

 

 

 

I

 

а г ( 1 >

dam

 

I

д т ( 1 )

,ffl(1>

 

I

 

 

 

I

а г

< 1 )

 

 

 

 

 

^Ф2 +

- - Г Г - d " 2 +

- 7

 

5

5

-

+ —

^

1 М

 

' • • + " И г ^

 

 

+

 

л

 

Р

>

+ • • • +

 

d 9 f ) ;

( 3 - 2 2 )

 

 

де*1»

,

 

 

.

де' 1 ' .

 

 

,

 

де*1»

 

 

.

 

 

+ -^7T7

* 4

 

 

 

V - WTT

 

 

=

—

'2

d<P>

+

- ж -

du*

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

de<2>

.J j 0 .

,

ae(2)

J q ( 2 )

 

,

 

 

 

.

dtW

.f l (2)

 

 

При записи уравнений (3.22) и (3.23) было принято, что модули векторов погрешностей являются конечно малыми величинами и они отождествлены с дифференциалами. Уравнениям (3.22)

Смотрите также файлы