Файл: Литвин Ф.Л. Проектирование механизмов и деталей приборов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 209

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и (3.23) можно

придать

следующую

форму:

 

 

 

 

v i 1 }

+

+

V*1» =

v<2 )

+

v<2> +

v f >;

(3.24)

de^

+

de^>

+

d41} =

de<2)

- f de<2)

+

dt(e2).

(3.25)

Разъясним

принятые

обозначения:

 

 

 

 

 

Vg ' = д

dq>i

(і =

 

1, 2) — перемещение

точки

контакта

в переносном движении (вместе с поверхностью 2 £ относительно стойки);

v;- = ^ dut- Н — d ' & i (і = 1, 2) — перемещение точки

контакта в относительном движении (перемещение точки по по­ верхности 2; );

< - w d q [

+ - - + w d 4 " + w d e l + • • • + w > x

X de*1' — перемещение точки поверхности в неподвижном прост­ ранстве, обусловленное действием погрешностей dq[X), . . ., dq^ и dOi1 ', . . . , йдк' (неподвижное пространство жестко связано со стойкой механизма);

v » =

 

^

 

 

+

. . . +

^ >

+

| j > +

: . . +

 

| £ x

X d6s2) — перемещение

точки

по

верхности 2 2

в неподвижном

пространстве,

обусловленное

действием

погрешностей

afq|2 ) ,

. . .,

d ^

и

dQ?\

...,

dBja>.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично,

dt{e

 

—

—

d(pc (і

~

1,2)

— перемещение

конца

орта

нормали е( £ )

в

переносном

движении

при

вращении

вместе

с поверхностью

2t-

относительно стойки;

 

 

 

 

 

 

m

 

бе'1 '

 

 

 

де О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<іег

=

д и

 

dut

-\—d'&t

 

— перемещение конца орта нор­

мали е ( , )

в относительном движении

при

перемещении

точки

по

поверхности

2,.;

,Q

(i) .

 

 

 

 

,аП)

 

 

 

 

 

,

(1)

 

de( 1 )

 

,

д е ( 1 )

— перемещение

 

конца

dee

= — п Г "«і

+

• • • + — п г

 

 

 

 

 

 

дщ '

 

 

 

 

dQjf'

 

 

 

 

 

 

 

орта нормали е ( 1 ) в неподвижном пространстве, обусловленное

действием

погрешностей

dei1 ',

. . .,

dbi1};

ае9 = — d Q [ ' +

• • • + — T ^ r d Q i ' — перемещение конца

 

д в р

 

дв{/>

 

орта нормали е<2> в неподвижном

пространстве, обусловленое

действием

погрешностей

dei1 ',

. . .,

d6s2 ) .

Уравнению (3.25) можно придать иную форму, приняв во вни­ мание, что

 

de<° -

«4° X е ( 0 ;

 

= 4 °

X е<°

( і = 1 , 2).

 

Здесь

со*,0

-

dq><;

-

del1 '

+

• • • +

rfei!);

4 2 )

=

^6Ї2 )

^

• • • -Ь d6s2>.

Заметим

также,

что

в

точке контакта

е ( 1 )

= е < 2 ) .

С

учетом

приведенных

выражений

 

уравнение

(3.25) предста­

вим в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« >

+

4 1

1 ) X е(1> +

del1 ' =

К 2

)

+

«e 2 ) ) X е ( 1 )

+

 

( 3 _26)

Д л я определения ошибки положения можно воспользоваться только уравнением (3.24), правую и левую части которого ска­ лярно умножим на е ( 1 ) . В результате, так как e( 1 ) Vrt } г = 0 (г = = 1, 2), получим

 

( v i a > - v i 1 ) +

v i a ) - v « 1 ) ) e ( 1 ) = 0.

(3.27)

Условимся, что в дальнейшем ошибка положения звена 2

ищется при теоретическом значении параметра

ср1 ; определяю­

щем

положение звена 1. На этом основании можно принять, что

\ ( е 1 }

= 0, и уравнение

(3.27)

примет следующий

вид:

 

( v f

+ v

f ' - v ^ V ^ O .

(3.28)

Учитывая, что правая часть уравнения (3.28) тождественно равна нулю, это уравнение можно представить и в такой форме:

(vj a ) + v i 2 > - v < 1 ) ) n ( 1 ) = 0,

(3.29)

где п'1* — вектор нормали.

Уравнения (3.27) и (3.28) можно истолковать, используя сле­ дующие кинематические представления. Вообразим, что звено 1 занимает фиксированное положение, определяемое теоретическим

значением параметра ц>г, а погрешности установки

этого звена

и поверхности 2 j отнесены с обратным знаком звену

2. Вследст­

вие собственных погрешностей и погрешностей звена / звено 2

перемещается на величину v£2 ) — v£X )

и между

поверхностями 2 i

и 2 2

создается

нормальный

зазор,

определяемый

выражением

 

 

 

 

Asi, =

(v<a >-v?>)e<l ) .

 

 

 

(3.30)

Отрицательное значение

Asn

указывает на

то,

что

под

дей­

ствием погрешностей

звено 2 внедряется в звено

/ .

 

 

 

 

Для

того чтобы

снова

ввести

поверхности[21

и 2 2

в касание,

сообщим звену 2 перемещение Ve 2 \ допускаемое

кинематической

парой,

которая

соединяет

звено 2 со стойкой. Поверхности

2 2

и 2 Х

будут снова введены

в

касание, если окажется,

что в

ре­

зультате перемещения v f

будет

создан нормальный зазор,

рав-

76

ный по величине и обратный по знаку

нормальному

зазору Asnt

создаваемому

перемещениями v^2 ) — v^1 '. Следовательно,

 

—As„ =

vi 2 ) e ( 1 ) .

 

-(3.31)

Рассмотрев

совместно выражения

(3.30) и (3.31), придем

к уравнению (3.27).

 

 

 

Рассмотрим

более подробно,

как

используется

уравнение

(3.29) для определения ошибки положения звена 2, если звено связано со стойкой вращательной парой. Тогда вектор элемен­

тарного

перемещения

v f определится

уравнением

 

 

 

v f ) = A p < 2 > x ( r ( 1 ) - R < 0

° ) ) ,

 

(3.32)

где c?q>s2) — вектор элементарного поворота,

линия действия

ко­

торого совпадает с осью вращения звена

2;

г( 1 ) = г( 2 )

— радиус-

вектор

теоретической

точки контакта

поверхностей

2 Х и

2 2 ,

проведенный из начала неподвижной системы координат, жестко

связанной

со

стойкой;

R( °2 > — радиус-вектор

произвольной

точки 02

оси

вращения

звена

2.

 

 

 

Подставив

выражение

(3.32)

в

уравнение (3.29),

 

получим

 

[ачр<2> х ( r ( 1 ) -

R(0*>) +

v<2> - v ' 1 ' ] п ( 1 ) =

0.

(3.33)

В скалярном уравнении (3.33) неизвестной величиной яв­ ляется модуль вектора йц>(Р — угловая ошибка положения звена 2. Отрицательный знак dql2) указывает, что изменение положения звена 2 совершается в направлении, противоположном вращению звена 2 в механизме. После определения ошибки положения звена 2 ошибка его перемещения <іф<,2> определяется как разность ошибок положения в текущем и начальном положениях: Лр<2) = dq>(2) —

— <іф<2) (d4p<2) — ошибка положения при ф1 = ф1 0 ).

Отметим

особенность использования

уравнения

(3.27)

или

(3.29),

если

первоначальное

касание

поверхностей 2 І

и

2 2

является линейным. В этом случае при

фиксированном

значе­

нии ф х

существует множество

точек,

образующих

мгновенную

линию

контакта поверхностей

2 Г и

2 2 .

Уравнение

(3.27)

или

(3.29) нужно испытать для всех точек мгновенной линии

кон­

такта и найти ту из них, для которой ошибка положения

 

ока­

жется

минимальной.

 

 

 

 

 

 

Определение вектора v£'' (1=1, 2) смещения точки контакта по поверх­ ности 2(, обусловленного действием погрешностей. Рассмотрим систему урав­ нений (3.24) и (3.25), приняв, что v'1 ' = 0 и ю^1' = 0. Предполагается, что звено 1 занимает в механизме теоретически правильное положение и все погреш­ ности мы относим к звену 2; погрешности, которые нужно было бы отнести к звену /, вводятся с обратным знаком. В результате получим

v<2> — у*1 ' + v = 0,

(3.34)

где

v = v < 2 » 4 - v f > - v < 1 ) ;

 

 

 

 

fi)Xe M

+ dt™-dtp

= 0,

(3.35)

где

to = м<,2) + « є 2 ' — «є1 *.

 

 

 

 

Вектор v можно уподобить

вектору элементарного перемещения

теоретиче­

ской точки

контакта

М 2 поверхности 2 2 относительно точки Мх поверхности Хг.

Аналогично

вектор

to можно рассматривать как вектор

элементарного угла

поворота в относительном движении звена

2 по отношению

к звену

Векторы v^1 ', v( 2 £, v, dt^\ dt^}\ и Х е ( 1

) принадлежат касательной плоскости

к поверхностям в точке их касания. Векторные уравнения

(3.34) и (3.35) экви­

валентны четырем скалярным уравнениям, из которых должны быть определены

векторы v j 2 ' и v'1 ^; эти векторы определяют перемещения точки

контакта по

поверхностям 2 г и 2 2 , обусловленные погрешностями механизма.

В системе

уравнений (3.34) и (3.35) векторы v, to и е ( 1 ) известны [напомним, что вектор v*2 ) определяется из уравнения (3.27) или (3.28)]. Векторы de^1* и de*2> можно, как будет показано ниже, выразить через v^1 ' и v*2 ) ; если известны главные кривизны

поверхностей 2 Х и 2 2 в точке контакта. Следовательно,

система

уравнений

(3.34)

и (3.35) позволяет определить искомые векторы v^1* и \ ^

перемещений

точки

контакта по поверхностям 2 j

и 2 а .

 

 

Полезно отметить, что разность

v j 2 ' — vj.1 ' векторов

перемещений может

быть определена непосредственно из уравнения (3.34), если главные кривизны поверхностей Sj и 2 2 неизвестны. В частности, этим можно воспользоваться, если элементами высшей пары являются точка и поверхность, как это, например, имеет место в коноидном механизме. Тогда, если толкателем коноидного меха­

низма является звено 1, в уравнении (3.34) нужно принять v^1 ' = 0 и определить

из него v j 2 ' . Для раздельного определения v*.1' и v*2*

нужно использовать оба

векторных уравнения (3.34) и (3.35).

 

Рассмотрим подробнее, как определяются векторы

vj.1 ' и v*2 ' раздельно.

Будем считать известными в теоретической точке контакта главные кривизны х\

и Кц поверхности 2 1 ( главные кривизны и щ и щу поверхности 2 2 )

орты \\

и in главных направлений поверхности 2 1 ; угол а между ортами \\ и іц.

Спроек­

тировав векторы уравнений (3.34) и (3.35) на направления с ортами h и іц, при­ мем, что

v?\

=v?m c o s а —vr2\V s i n 0 ;

vr2)n

= "ми s i

n a

+v?\v c

o s °:

 

 

 

 

! cos a — de^y sin a;

de^u = de(^ni

 

sin a +

de^\v

cos

a.

Учтем

также, что на главных

направлениях deffl

= —

'

(т =

1 при

i = I , I I ; т =

2 при i — I I I , IV). Напомним, что знак

кривизны считается по­

ложительным,

если радиус кривизны и орт нормали совпадают по направлению.

Используя

векторные уравнения (3.34) и (3.35), получим систему из четырех

скалярных

уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и'1 /

— cos av<2}u

f

sin at)<2 ) v

— v{;

 

 

(3.36)

 

 

° м і

-

> i n avr2ui

~ c o s "»fiv

=

«и!

 

 

(3-3 7 )

 

 

« i i i c o

s a o M H + X i v s i n a o M V =

( e ( 1 ) >

'і) ;

 

(З-3 8 )

 

*uvrlh — * n i s

i n

 

— x I v cosay< 2 ) v

=

(e ( 1 ) , to, i „ ) .

(З.ЗЭ)

Нижние индексы (I , I I , I I I , IV) в обозначениях, приведенных в уравнениях (3.36)—(3.39) указывают, что рассматривается проекция вектора на орт с тем же

индексом. Так, например, v\ = vi[ представляет проекцию вектора v на орт i j '

Исключив из уравнения (3.36)—(3.39) v^u

и v^v,

получим

систему из двух

линейных уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« Ц І Ї +

«12І2 =

Ьі,

1

 

 

 

 

«21І1 +

«22І2 =

Ь„

J

 

( 3 - 4 0 )

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T К х ш + x i v ) + ( х ш - x i v ) c o s 2aY<

 

a i 2 = a 2 i = - 2 - ( x i n - x i v ) s i n 2 a ;

 

.0)

h) + ~T К х

ш + x i v ) + ( х ш - x i v ) c o s

2 ° ] +

 

 

 

+ -f- ( х ш —

x i v ) s i n

2 o ;

 

 

~22 ~ X I I +

" Г K X 1I1 + X 1V ) -

( X l l l -

X 1 V ) C 0 S

 

 

•o

, ) + - £ - s i n 2 a ( x U I - x I V )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K x m + x i v ) - ( x m -

x i v ) c o s 2 о Ъ

 

 

 

51 =

^

;

І2

' v i r

 

 

Искомые значения

и і>Ш определяются

из следующих

уравнений:

 

 

 

«12

 

 

 

h

«И

 

 

 

&2

«22

•

V I I —

&2

«22

(3.41)

 

 

«11

«12

«11

«12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«21

«22

 

 

 

«21

«22

 

Составляющие вектора v£2 ' определяются из следующих выражений:

„(2)

=

V

(1)

(3.42)

V I I

/•11

Пример 3.1. Определим ошибку положения

кулачкового механизма

(рис. 3.3, а), вызываемую погрешностью v ' 1 ' — смещением центра Ох вращения

кулачка

/ и погрешностью v(2)

изменением

радиуса

ролика толкателя 2.

Направление нормали п—п к профилю кулачка

и ролика в изображенном по­

ложении

звеньев определяется углом давления

ос12. Для

определения ошибки

положения воспользуемся уравнением (3.29), графический способ решения ко­

торого представлен

на рис. 3.2, б. Построив в выбранном масштабе векторы v*2*

и — v l 1 ' , находим

искомый вектор

из условия, что вектор pt=\^

—

— vq ~Ь V А о л ж е н быть коллинеарен вектору касательной t — t к

профилю

кулачка. У вектора

v£2 )

линия действия совпадает с направляющими

толкателя,

а модуль определяется

в результате

выполненного построения. Спроектировав

Смотрите также файлы