Файл: Литвин Ф.Л. Проектирование механизмов и деталей приборов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 235
Скачиваний: 3
|
|
|
|
є *' |
= |
sin |
|
|
|
sin фі |
|
+ |
cos 'б'і cos фі sin Yb |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
,(1) |
_ |
sin |
§ 1 COS фі |
|
|
cos •&! sin ф х |
sin Yb |
|
|
(5.72) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„0> |
|
COS t>! COS Yb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
X(2) |
— РгC |
0 |
S ^2 C 0 |
S |
Ї 2 |
W 2 |
|
|
Ї 2 |
+ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
г/<2> |
= |
— p 2 |
cos # 2 |
sin ф 2 |
sin Y2 + |
P2 sin ^2 C |
0 S |
|
Ф2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
— ы 2 sin Ф2c |
o |
s Y2 — (A + |
|
d sin ф 2 ) ; |
|
|
|
|
|
(5.73) |
||||||||||||||||
|
|
z<2 ) |
= |
— p 2 |
cos |
ft2 |
c o |
s |
Ф2 s i n |
Ї 2 — P2 sin ^2 s |
i n |
|
Ф2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
— |
«2 c |
o s |
Ф2 c |
o s |
V2 + |
a |
— d cos ф 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e(P |
= —COS &2 cos Y2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
ef |
= |
cos $2 |
sin ф 2 |
sin Y2 — sin 0 2 |
cos ф 2 ; |
|
|
|
(5.74) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
2 ) |
= |
cos # |
2 |
cos ф |
2 |
sin Y2 + |
sin тЭsin ф |
2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В |
точке |
к а с а н и я |
поверхностей |
2 Х |
и 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
г*1» ( " і , |
К |
|
Фі) - |
г(2> («2 ) |
|
К Ф |
2 |
) ; |
|
|
|
|
|
|
(5.75) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e(i) |
(0l t |
Ф і |
) = |
е<2> (*а ,-ф а ). |
|
|
|
|
|
|
|
(5.76) |
||||||||||||
|
В е к т о р н ое |
равенство |
(5.75) э к в и в а л е н т н о |
|
трем |
|
н е з а в и с и м ы м |
||||||||||||||||||||||||
с к а л я р н ы м |
у р а в н е н и я м , |
а |
(5.76) |
— т о л ь к о |
|
д в у м |
|
|
независимым |
||||||||||||||||||||||
с к а л я р н ы м у р а в н е н и я м , т а к к а к | е*1* | = | е ( 2 ) |
|. И с п о л ь з у я п я т ь |
||||||||||||||||||||||||||||||
независимых |
с к а л я р н ы х |
у р а в н е н и й , м о ж н о найти |
их |
(фх ), Фх (фх ), |
|||||||||||||||||||||||||||
« 2 |
(фі), |
*2 |
(Фі) |
и |
ф 2 |
(Фі). |
|
|
(5.70)—(5.76) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u l t |
|||||||||||
|
Н а |
основании |
у р а в н е н и й |
после |
исключения |
||||||||||||||||||||||||||
•&2 |
и |
иг |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
^ |
ф |
|
sin tpj sin ф2 |
sin Yi — cos ф2 cos Yi — cos фх sin Yi tg Y 2 |
;. |
(5.77) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
^ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
cos ф! sin фа |
+ |
sin фх |
tg Y 2 |
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
||||||||
|
|
|
& sin ц>х — Л cos ф! — (Pi 4- P2) sin bx |
— d cos фх sin ф2 |
_ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
Y 2 |
s i |
n Фі |
+ |
c |
o s |
Фі |
s i n |
Ф 2 |
c |
o s |
Y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
k [b sin Yi — (Pi + |
p2 ) (sin ЇЗІ sin фх sin Yx + |
cos $ г |
cos фх) -f- |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
-f- CL cos фх cos Yx — с cos фх sin Yx — d cos ф х |
cos ф 2 cos |
Yx], |
(5.78) |
|||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin Y 2 s i n |
Yi + |
cos фх cos ф2 cos Y 2 |
cos Yi |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ЛеГКО удостовериться, |
ЧТО ЄСЛИ А — Рх + р 2 |
, |
|
ТО При фг = |
0 |
|||||||||||||||||||||||||
имеем: T3J = |
—2~ , |
# j |
|
= |
у |
|
и |
|
(fj = |
0 (см. рис . 5.19). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Д л я |
определения |
|
в |
табличном |
виде |
ф у н к ц и и |
|
перемещений |
||||||||||||||||||||||
Фг — Фг (фі) |
н у ж н о |
|
рассмотреть |
совместно |
у р а в н е н и я |
(5.77) |
и |
||||||||||||||||||||||||
(5.78). |
П р и этом, |
ф и к с и р у я |
з н а ч е н и я |
ф ь |
|
н у ж н о |
найти |
т а к и е |
з н а |
||||||||||||||||||||||
чения |
•&! и |
ф 2 , пр и |
|
которых |
будут |
у д о в л е т в о р я т ь с я |
у р а в н е н и я |
(5.77) и (5.78). Дл я этого необходимо воспользоваться методом последовательных приближений. В частных случаях, рассматривае мых ниже, функцию положения удается представить в явном виде.
Для определения передаточного отношения поводкового меха низма (см. ниже) нам понадобятся координаты точки контакта поверхностей цилиндров и проекции орта нормали. Д л я этого помимо уравнений (5.77) и (5.78) нужно воспользоваться следую щими зависимостями:
|
|
|
b sin фі — A cos фх |
— (рх - f р2 ) sin •&1 — dcos фх |
sin ф2 . |
|
,r 7 C j ^ |
|||||||||||||||
|
|
W 2 |
|
|
|
sin фх sin у2 |
+ COS фх |
sin ф2 |
COS Y 2 |
|
|
' |
' |
|||||||||
|
|
|
cos ft = |
|
s i " ^ |
s i |
n |
ф і + c |
o s Q l |
c |
o s ф і s |
i n |
Y l |
• |
|
(5 80) |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
cos Y 2 |
|
|
|
|
|
' |
|
|
' |
|
|
|
u |
— |
(Pi + Pa) c |
o s |
c |
o s |
Yi — a |
+ ( " 2 |
cos Y 2 4- d) cos ф2 |
|
(5 81) |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin Yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
При Л == Pt + p 2 |
и значениях ф х = ф 2 |
= |
0 для определения |
||||||||||||||||||
ы2 |
|
следует воспользоваться |
вместо |
зависимости |
(5.79) |
формулой |
||||||||||||||||
|
|
|
|
и |
= |
(« —d |
) cos Yi + |
(6 — с) sin Yi |
|
|
|
/5 g 2 \ |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
cos(Y! — Y«) |
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив |
значения |
ф ь |
|
« 1 ( |
ftj |
в |
выражения |
(5.71) |
и |
(5.72) |
||||||||||
либо ф2 , ы 2 |
и Ф 2 в (5.73) и (5.74), найдем |
проекции |
г( ( ) |
и e('> (/ = |
||||||||||||||||||
= |
1, 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция передаточного отношения. В рассматриваемом меха |
|||||||||||||||||||||
низме передаточное отношение является переменным, т. е. |
|
|||||||||||||||||||||
|
Функцию |
/ 2 1 (фх ) |
можно |
|
определить, |
если |
продифференци |
|||||||||||||||
ровать функцию перемещения ф 2 (фх ), однако этот способ |
является |
|||||||||||||||||||||
громоздким. Более целесообразно воспользоваться для |
этого од |
|||||||||||||||||||||
ним |
из следующих |
уравнений: |
|
|
|
|
(і = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
П Ш У ( 1 2 ) = |
0; |
|
e<"v<12> = 0 |
|
|
1, 2), |
|
|
(5.83) |
|||||||||
где |
v ( 1 2 ) — скорость относительного движения; п('> и е ( 1 ) |
— вектор |
||||||||||||||||||||
и |
орт нормали. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Это уравнение |
вытекает |
|
из основного |
положения теории |
оги |
||||||||||||||||
бающих поверхностей, согласно которому в точке |
контакта |
поверх |
||||||||||||||||||||
ностей вектор |
скорости |
относительного движения должен |
лежать |
|||||||||||||||||||
в |
касательной |
плоскости |
к |
поверхностям. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
В развернутом виде уравнение (5.83) можно записать в такой |
|||||||||||||||||||||
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
„(О [(e)(1) |
_ о)(2))Х |
r (0 _ RХ |
а ( 2 ) ] = |
о . |
|
|
(5.84) |
В этом скалярном уравнении со( 1 ) и © ( 2 ) скоростей вращения звеньев 1 и 2 (см. рис. вектор точки М контакта поверхностей;
— векторы угловых 5.22); r ( t , ) — радиус- R — ООа — радиус-
10 ф. Л . Литвин |
145 |
вектор текущей |
точки линии действия <Й(2). Радиусы-векторы |
г(1> |
||
и R проведены |
из точки О, принадлежащей линии действия |
век |
||
тора |
При выводе уравнения |
(5.84) принято, что |
|
|
v ( 1 2) |
_ у ( 1 ) |
_ у(2) _ ш ( 1 ) х Г (і) _ |
[(^(2) х r (0) + R X (0(2)]. ( 5 - 8 5 ) |
При определении скорости точки v ( 2 ) скользящий вектор ©<2> приведен к точке О, в результате чего и появляется вектор-момент RXCO<2>.
Удостоверимся теперь, что уравнение (5.84) действительно позволяет определить мгновенное передаточное отношение i21.
После решения системы уравнений (5.75) и (5.76) становятся известны координаты точки контакта и проекции вектора нормали (орта нормали) в этой точке. Следовательно, в уравнении (5.84) известны векторы п<1) и г( '>. Радиус-вектор R известен, поскольку заданы линии действия векторов ю*1* и ш ( 2 ) , направленных по осям вращения звеньев. У вектора со( 1 ) известны не только направление, но и величина, так как мы можем назначить любую скорость вра щения звена / . У вектора о)( 2 ) известно только направление, вели чина же этого вектора должна быть найдена из скалярного урав нения (5.84). Это и позволяет определить мгновенное передаточное
ш ( 2 )
отношение i21 — —rjT-. В рассматриваемом примере целесообразно воспользоваться такой формой записи уравнения (5.84):
" п[Чх12) |
+ п<<41 2 ) + |
п № |
= 0 |
(г = |
1, 2). |
(5.86) |
||||
Проекции орта нормали были ранее представлены |
выражениями |
|||||||||
(5.72) и (5.74). Проекции вектора скорости имеют такие выражения: |
||||||||||
t,<12) = |
co(1 V; |
v(yl2) |
= - о ) ( 1 |
) х - |
о><2) (г - |
а); |
|
|||
|
v ^ |
= |
^ ( y |
+ |
A). |
|
|
|
(5.87) * |
|
Д л я упрощения |
записей положим |
в выражениях |
(5.87) |
со*1) = |
||||||
= 1 рад/с. Тогда |
со*2) = |
/ 2 1 |
рад/к. |
|
|
|
|
|
|
|
Используя зависимости |
(5.86), |
(5.87) |
и (5.72) |
либо |
(5.74), |
найдем / 2 1 (фл).
Частные случаи поводкового механизма. Довольно широкое распространение получили поводковые механизмы, у которых оси цилиндров кинематической пары перпендикулярны осям вра
щения звеньев. Положив в уравнениях (5.77) и (5.78) у І = |
у2 = О, |
||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
= |
—cos фі tg ф2 ; |
|
(5.88) |
|
|
tg 2 |
ф 2 [(Pi + |
Pa)2 — a2] cos2 |
<pt — |
|
|
|
— |
2a (A cos ф х — b sin фх ) cos ^ |
tg ф 2 |
+ |
|
|||
+ |
(Pi + |
Pa)2 |
— (A cos q>t — b sin фі)2 = |
0. |
(5.89) |
Выражение (5.89) определяет искомую функцию перемещения. Продифференцировав зависимость (5.89), найдем функцию пере
даточного отношения i n = |
= f (фі)- |
Если пренебречь радиусами цилиндров, получим следующие приближенные зависимости для функций перемещения и переда точного отношения:
ЧЩ= |
Ь * Ъ - А |
; |
(5.90) |
, |
J c o * ^ |
|
( 5 9 1 ) |
Перейдем теперь к рассмотрению |
поводкового |
механизма, |
у которого оси цилиндров параллельны осям вращения звеньев^
Такой механизм применен в измерительной головке |
[12]. Положив |
|||||
в зависимостях |
(5.77) и (5.78) vx = |
^ - , у 2 = |
, получим |
|||
|
|
*і |
= |
- х - - Ф і ; |
(5.92) |
|
|
|
8 І П ф 2 = " t a i f a - m ^ |
( 5 9 3 ) |
|||
где m = A — (pi + |
pa ); |
|
|
|
|
|
|
|
#2 = |
- J - + |
ф 2 - |
|
|
Передаточное отношение |
|
|
|
|
||
. |
= |
CCOSTt |
_ |
|
С COS (ft |
Q . |
Д л я случая, |
когда А = р х |
+ р 2 , в зависимостях |
(5.93) и (5.94) |
нужно положить т = 0.
5.8. УНИВЕРСАЛЬНЫЙ Ш А Р Н И Р
Схема механизма. Из пространственных механизмов в прибо ростроении помимо поводкового механизма нашел довольно широкое применение универсальный шарнир, известный также под названием шарнира Гука, карданова шарнира. Такой шарнир является четырехзвенным механизмом, используемым для пере
дачи |
вращения между |
пересекающимися осями (рис. 5.23). |
|
Звенья |
1 я 3 механизма, |
называемые |
вилками (рис. 5.23, г) со |
единяются между собой крестовиной 2 |
(рис. 5.23, в). Вилки J и 3, |
имеющие одну и ту же конструкцию, вращаются вокруг осей O t и 0 3 . Ниже будет показано, что, если звенья механизма будут соеди нены посредством одной вращательной пары (класса V) и трех ци линдрических пар (класса IV), в механизме не будет пассивных связей и определение реакций в парах будет статически определи мой задачей.
10* |
147 |
Кинематике и статике универсального шарнира посвящены работы М. И. Лысова [82], 3. Ш. Блоха [14], Н. Ф. Утехина [120] и другие [135, 148].
Функции перемещения и передаточного отношения. Зависи мость между углами поворота ведущего и ведомого звеньев уни версального шарнира — нелинейная, а отношение их угловых
скоростей — переменное! Функцию перемещения механизма можно определить, используя построения рис. 5.23, б.
Выберем на крестовине 2 и вилках /, 3 точки Л и В, одинаково
удаленные от точки О пересечения осей Ох |
и 0 3 (рис. 5.23, |
а). |
||
Свяжем СО СТОЙКОЙ |
ЗВеНЬЯМИ / И 2 СИСТеМЫ КООрДИНаТ |
S, St и |
s2 . |
|
В начале движения |
систем кооординат s, st |
и s2 совпадают друг |
||
с другом, точки Л и В занимают положения |
Л 0 и В0 |
(рис. 5.24). |
||
Разъединим мысленно крестовину 2 (рис. 5.23, а) с звеном |
3, |
оставив его соединенным с звеном / . Крестовина 2 совершает пере носное вращение вместе с звеном 1 вокруг оси z и относительное вращение вокруг оси OA, совпадающей с осью хг. Перемещение точки В в абсолютном движении Asa = Ase + As,, где Asa =
= В0В, Ase = В0В' — перемещение в переносном и As, = В'В — перемещение в относительном движении (рис. 5.24). Проекцией
точки В на плоскость D (на плоскость х, у) является точка В", принадлежащая-оси ух. Отметим, что лучи OA и ОВ" образуют угол в 90°, что будет использовано в последующих рассуждениях.
Обратимся теперь к рис. 5.23, б, на котором изображены тра ектория точки А звена / на плоскость D, проекция траектории
точки В звена 3 на ту же плоскость. В плоскости D |
траектория |
|||||||||||||||||||
точки А представляет окружность радиуса |
ОА0. |
В плоскости |
Я , |
|||||||||||||||||
перпендикулярной |
оси вращения |
г р |
звена 3 (рис. 5.23, а), |
траек |
||||||||||||||||
тория |
точки |
В |
представляет |
окружность |
радиуса |
|
ОВ0 |
= |
ОА0. |
|||||||||||
Проекция |
этой |
траектории |
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
плоскость |
D |
|
представляет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
эллипс. Точка |
В — общая |
точ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ка |
крестовины |
2 |
и |
вилки |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Перемещение |
точки В |
вилки |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в абсолютном |
движении |
(отно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
сительно |
стойки) |
совпадает |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
перемещением |
|
в |
абсолютном |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
движении |
точки |
В |
крестови |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ны |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Z, |
|
Представим, |
что |
звену |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
сообщен |
поворот |
на |
угол |
ф 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(рис. 5.23, |
б) и точка А0 |
заняла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
положение |
А. |
Звено |
3 |
повер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
нется |
на |
угол |
фзо и |
точка |
В0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
займет в плоскости Я положе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ние В. Проекцией точки В на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
плоскость |
D |
является |
В". |
Как Ц2А |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
уже было |
установлено |
выше, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
угол между лучами OA и ОВ", |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
измеренный |
в |
плоскости |
D, |
|
|
|
Рис. |
5.24 |
|
|
|
|||||||||
является |
|
прямым. |
Д л я |
того |
|
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
чтобы |
найти |
угол |
поворота |
ф з 0 |
звена |
повернем |
плоскость Я |
|||||||||||||
вокруг прямой |
ОВ0 |
(рис. 5.23, б) до совмещения ее с |
плоскостью |
|||||||||||||||||
D. |
Тогда |
на |
рис. 5.23, |
б |
эллипс |
совместится |
с |
окружностью |
||||||||||||
и точка |
В" перейдет |
в |
положение |
В. |
Угол В0ОВ |
|
представит |
|||||||||||||
истинный |
угол |
-поворота ф 3 0 |
вилки 3. |
Учитывая, |
|
что |
СВ" — |
|||||||||||||
= |
СВ cos а, |
где а — угол |
между плоскостями D и Я , получим |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tg<P3Q |
|
СВ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Следовательно, |
|
tg Фю |
|
СВ" |
cos а |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg<P3o |
= |
tg Фю |
|
|
|
|
|
(5.95) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos а |
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
График |
функции |
перемещения |
ф 3 0 |
= |
ф 3 0 (фю) |
|
представлен |
||||||||||||
рис. |
5.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
. Найдем |
выражение для |
/ 3 1 = |
|
, для чего |
продифференци |
|||||||||||||||
руем |
(5.95). |
|
|
j |
|
|
|
|
0 ) 3 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
cos2 фзо ( ° 3 0 |
cos a cos2 фю < ° 1 0 ' |