Файл: Литвин Ф.Л. Проектирование механизмов и деталей приборов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 290

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

или накопленной погрешности окружного шага близок к значё- 2Де-

нию — щ размаху функции (8.69).

го

Погрешности шага и профилей зубцов приводят при пере­ сопряжении зубцов (при смене профилей, участвующих в зацепле­ нии) к так называемой циклической погрешности. При цикличе­ ской погрешности имеет место разрыв угловой скорости ведомого

колеса в момент пересопряжения зубцов; функция

передаточного

отношения і 2 1 принимает вид, изображенный

на

рис. 8.30. Цик­

лическая

погрешность

 

характеризует

плавность

зацепления.

К

преимуществам

эволь­

 

 

 

 

вентного

зацепления

можно

 

 

 

 

отнести

то, что эксцентриси­

 

 

 

 

тет колес

не приводит

к по­

 

 

 

 

явлению

циклической

по­

 

 

 

 

грешности. Это

объясняется

 

 

 

 

тем,

что

эвольвентные

про­

 

 

 

 

фили

являются эквидистант­

 

 

 

 

ными и сменяющиеся в за­

 

 

 

 

цеплении

профили

имеют

 

Рис.

8.30

общую

нормаль. Мгновенное

 

 

 

 

 

передаточное

отношение

г 2 1

полюса

 

зацепления —

определяется

положением

мгновенного

 

точки

пересечения нормали

к профилям с линией

 

межцентрового

расстояния.

Так

как

нормаль к двум парам профилей эксцент­

ричных

колес — общая,

пересопряжение

профилей не сопро­

вождается

разрывом

угловой скорости ведомого колеса. Зацеп­

ление

 

профилей

зубцов

эксцентричных

колес

сопровождается

плавным изменением передаточного отношения, "циклическая погрешность отсутствует.

Вероятностная оценка ошибок перемещения кинематической цепи. Функция (8.69) ошибки перемещения эксцентричного колеса

представляет случайную функцию

от аргумента ср(-; eL = Де£ и

УІ

— возможные

значения двух

случайных величин,

которые

в

последующем

будем обозначать

через Е{ и Г,-. С учетом

этого,

рассматривая выражение (8.67) как уравнение случайной функции,

функцию ошибок

перемещения

запишем

в таком виде:

 

Х [

( ф ь

Е ь

Г | ) =

*,rsln(4* + r,

I H L l i L .

(8.70)

 

 

 

 

 

 

 

 

Ошибка перемещения ведомого колеса п кинематической цепи

определяется

уравнением

такого

вида;

 

 

 

Х(П)

( Ф Ь

Е И

Е2,

 

ЕП,

Г ь

Г

Гя ) = -

 

 

п

 

 

п

[sin (ер, +

Tf) — sin Г,-]

 

 

 

 

 

Ej

(8.71)

 

 

 

 

 

 

, ( 0

In

1=1

1=1

Функция (8.71) представляет сумму случайных функций, периоды которых равны периодам соответствующих колес кине­ матической цепи. В дальнейшем будем предполагать, что случай­ ная величина Г; подчинена закону равновероятного распределе­ ния в промежутке [0, 2зі], т. е. угол р о г , определяющий начальное положение вектора эксцентриситета, может с одинаковой вероят­ ностью принимать любое значение от нуля до 2я . Имеются осно­ вания принять, что случайная величина Et подчинена закону распределения Релея [54].

Определим числовые характеристики

(математическое ожида­

ние^ среднее квадрэтическое

отклонение

и

предельное

значение)

 

 

модуля

случайной

величины

 

 

\*Х{п)

|. Абсолютное

значение

 

у=0

| Х{п)

\ ошибки

перемещения

 

рассматривается

при

этом

 

 

как некоторый

дефект, знак

 

 

Х<"> во внимание не прини­

 

 

мается.

 

 

 

 

 

 

 

Если

при

определении

 

 

числовых

характеристик

 

 

ошибки перемещения Х<"> она

 

 

рассматривается

как

алгеб­

 

 

раическая величина, это при­

 

 

водит

 

к

искаженным

пред­

Рис.

8.31

ставлениям о ее среднем зна­

чении

(о

ее математическом

 

 

ожидании) и рассеянии отно-

сительно среднего

значения. Обратимся к

построениям

рис. 8.31,

на котором представлены реализации случайной функции Xt.

При

равновероятном законе распределения yt значения случайной фун­ кции X,- (ф,-, Eh Г,) распределены симметрично в положительной и отрицательной областях; это справедливо при любом законе рас­ пределения Е{. В силу симметричного распределения Xt ее мате­ матическое ожидание равно нулю; будет равно нулю и математиче­ ское ожидание суммарной погрешности Х("К Такой результат, хотя он является формально правильным, не пригоден для оценки среднего значения дефекта — ошибки перемещения. Неверное

представление

о математическом

ожидании

ошибки перемещения

Х(п) возникло

только потому,

что Х<">

рассматривалась как

алгебраическая величина. Поясним сказанное на примере. Пусть по результатам обследования группы населения ищется матема­ тическое ожидание дефекта зрения. Как известно, близорукость оценивается положительным числом диоптрий, а дальнозоркость — отрицательным числом диоптрий. На этом основании дефект зре­ ния X может рассматриваться как алгебраическая величина. Примем для простоты рассуждений, что закон распределения X — равновероятный в симметричном интервале (хт, —хт). Тогда вероятность числа лиц, страдающих близорукостью с величиной

диоптрий х = xlt равна вероятности числа лиц, страдающих дальнозоркостью с величиной диоптрий х = —хх. Математическое ожидание дефекта зрения окажется равным нулю. Этот ошелом­ ляющий результат был бы исключен, если бы дефект зрения рас­ сматривался как абсолютная величина, либо, если бы раздельно определялись математическое ожидание близорукости и математи­

ческое ожидание

дальнозоркости.

 

 

 

 

 

 

 

Приводимые здесь выводы числовых характеристик

| Х<"> |

основываются на

работе

[77]. Предполагается, как

уже

было

упомянуто, что случайные величины Et

подчинены

закону

рас­

пределения

Релея,

а случайные величины Г,- — равновероятному

закону распределения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем

 

сначала закон распределения

случайной

величины

Х ( (ф £ , Elt

Гг ),

определяемой

выражением

(8.69). После простых

преобразований

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X, =

4 £ ( . c o s ( - f

+

Г , ) ,

 

 

 

(8.72)

где неслучайный коэффициент Л,- =

 

^ — ;

неслучайная

величина

в

слагаемом (~2~+Г,-^ и

в

коэффициенте

А(;

 

Г£ —

случайная величина с равной плотностью в промежутке

[0; 2 я ] .

Правую часть выражения (8.72) можно рассматривать

как

проекцию релеевского вектора в декартовой системе

координат.

Из теории вероятностей [17, 98] известно, что проекции

в декарто­

вой системе координат релеевского вектора модуля Et

являются

случайными

величинами,

подчиняющимися

нормальному

закону

с плотностью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8J3>

 

 

 

 

« е ' > = ; ^ Г г е Ч - | ) '

 

 

 

где et — возможное значение случайной

величины

Е{.

 

 

 

Для случайной

величины

(8.72) получим

 

 

 

 

 

 

 

/(*,.) =

1 — = ехр (

 

.

 

 

 

(8.74)

Найдем

теперь

закон

распределения

случайной

величины

 

 

 

 

 

Xм

= £ Х{1щ.

 

 

 

 

 

(8.75)

В этом выражении i n i

— неслучайная

величина,

a Xt

— неза­

висимые случайные величины, подчиненные нормальному закону. На этом основании

где

о=у^2о?&; ст(- = | Л 4 2 & 2 .

(8.77)

Найдем закон распределения случайной величины Y = | Х<п ) |, считая известным закон распределения / (%<"'). Используя метод решения такой задачи, изложенный в теории вероятностей [98], получим

/ (у) = 2/ (*»>) =

ехр ( - Ц^) •

(8.78)

Основываясь на выражении (8.78), можно найти числовые характеристики случайной величины Y. Из литературы [54] известно, что если случайная величина Et подчинена закону рас­ пределения (8.73),' параметр k{ распределения можно выразить через предельное значение е1пр следующей зависимостью:

kt**0,2&5einp. (8.79)

Используя известные из теории вероятностей способы опреде­ ления математического ожидания и среднего квадратического отклонения, найдем, что

 

М [Y] =

y

~~а^0,79о;

(8.80)

 

a[Y]

=

Y 1 ^ - ^ 0-^0,60.

(8.81)

Случайная величина Y (модуль ошибки перемещения кинема­

тической цепи)

с вероятностью

0,997 не превысит значения

 

 

Упр =• Зо.

(8.82)

Для определения параметра о, входящего в выражения-(8.80)—

(8.82), нужно

воспользоваться

уравнениями (8.77).

Учитывая,

 

 

sin

щ

 

 

 

 

2

 

 

что коэффициент А( =

щ—

является функцией от ф,-, следует

иметь в виду, что математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и предельное значение упр является функциями от угла ф£ поворота ведущего колеса.

8.11. КОМПЕНСАЦИОННЫЙ С П О С О Б С Б О Р К И ЭКСЦЕНТРИЧНЫХ КОЛЕС

Зацепление полных 1 эксцентричных колес. В ряде случаев зубчатые колеса используются в качестве привода для механизма, у которого имеется фиксированное нулевое положение. Примером может служить использование зубчатых колес в качестве привода

1 Под" неполным зубчатым колесом понимается зубчатый сектор.

для синусно-косинусного вращающегося трансформатора, крйво- шипно-ползунного механизма и т. д. Если привод осуществляется эксцентричными колесами, ошибка перемещения привода может быть уменьшена определенным расположением векторов эксцен­ триситетов по отношению к нулевому положению механизма. Это требует соблюдения при сборке расчетных значений углов 60l-, определяющих начальные положения векторов эксцентриситета колес. Такой способ сборки может быть назван компенсационным, поскольку он позволяет уменьшить предельное значение | Дф<") | п р , не изменяя степени точности колес. Излагаемый ниже способ

сборки эксцентричных

колес был предложен автором в 1940 г.

[73]. В настоящей книге этот способ излагается в уточненном

виде.

Рассмотрим сначала

компенсационный способ сборки

для

одной пары эксцентричных колес, после чего полученные резуль­ таты можно будет распространить на кинематическую цепь. Ошибка перемещения ведомого колеса 2 на основании выражения (8.68)

определится

так:

 

 

 

 

 

Д ф ( 2 , = 2 ^ Д ф / М * ' «

 

 

 

Aeii

[sin ( Ф (

+ Ъ ) - sin Yi]

(і = 1, 2).

(8.83)

 

 

 

[=1

 

 

 

 

Функцию

Дф<2> ((fj) можно представить

как результат

сложе­

ния двух синусоид различного периода с фазовыми углами гар­ моник Yi и Y2 - В общем случае при значении Yi, не равном нулю ИЛИ Я, ФУНКЦИЯ Дф4 - (ф( ) Несимметрична ОТНОСИТеЛЬНО ОСИ фі, ее экстремальные значения не равны по абсолютной величине. Сим­

метричное распределение

значений функции Дф,- (фі) В

положи­

тельной

и

отрицательной

 

областях

наступает

при у(

= 0 или

Yi = я ;

при

этом наибольшее

значение функции

Д ф г (ф4 ) опреде­

ляется

выражением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|ДфЛф/)Циб =

Й і .

 

 

( 8 - g 4)

 

 

 

 

 

 

' о

 

 

 

 

При значениях Y< = 0

и я

достигается

минимизация

функции

Дфі (ФІ)- Действительно, при

Yi ¥= 0

и Yi

л

 

 

 

 

I Аф«

(Ф«) Інаиб >

Чк

•

 

 

 

Функция

 

 

 

 

 

 

 

І2 2

 

 

 

Дф(2) = д ф

і

( ф і ) j 2 1 +

д ф

2

( ф 2 )

 

при значениях yt = 0 или я (і = 1, 2) представляет сумму двух симметричных относительно оси ФІ функций. При этом

Д ф т _ ± A e i s i n Фі ± А е з s i n Ф2 ^

(8 85)

Смотрите также файлы