Файл: Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 380

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Значения передаточных функций и их производных

Веду­

щее

звено

/ —

 

 

 

1

cos 'ф

. -, .

2

 

' » = 5 1

-coscp'

Ч> = ^ » 5

,

1

sin г])

1

cos2 ір sin <р

 

1S

К

COS ф

I?

COS8 ф '

 

.

1

COS ip

.

 

 

i l a

J.'sin(q>-H»;

t p

= < 7 f i 3 '

3

 

1 Г COS2

ф

 

J 8

Я . [яп»(ф+і|))

1

 

,

COS2

1J3 COS (ф -f- lp)^ ^

 

1

X s m % + i p ) J '

 

 

Ведомое

звено

 

 

2

 

 

.

. COS ф

;

. .

,

sin ф

,

,s

cos2 ф sin ip

l a l _

cosip 1

K

 

cos>i|> •

—

,

 

COS ф

•

 

' 2 a =

Stafo +

lp)'*

^ -

a ' « -

 

 

Г

cos2 яр

 

 

' 2 3

~ ~

l.X.sin3(9 + ip)

'

 

, COS2

ф cos (ф +

ір)]

 

+

ВІП» (ф + Ф>

J'

 

 

^ =

ä/'2 3 -f-aa /;.,

 

3

 

 

 

.

sin (ф-т-яр)

•

l 3

1

~

x

costp v ; ;

° - Ф ' з і ;

 

 

 

 

Гсо8(ф+г(1)

, cos 2 V l

' 3

1

_

л [

cos^p 1

cossipj'

,

_ ' З

І

_ sin ( ф + r p ) .

z . r „ .

 

'гі

 

COS ф

 

 

 

 

Гсоз(ф+яр)

1

COS2 lp]

3

5

L

COS ф ' 1

X

C0S3 <pj '

о = $ » з 3 + і І > 2 » м

—

угловой скорости

 

 

(5.14)

углового ускорения при щ = const

 

ф = В а

Л,со5(1

(5.15)

Точные формулы для перемещения, скорости и ускорения поршня.:

Координата Sß, определяющая положение центра В пальца поршня относительно оси вращения кривошипа с заданным законом движе­ ния «>! = ф = const, может быть найдена как сумма проекций кривошипа и шатуна на ось х. При этом получаем, как было пока­ зано, выражение

Sß = r^cosq) - f -j-costyj,

(5.16)

где ^ = y , а связь между <p и \p осуществляется равенством (5.2).

Ход поршня можно было бы найти как разность между макси­ мальным и минимальным значениями координаты sB. Однако неудоб­ ство этого общего метода заключается в том, что уравнение (5.16) является трансцендентным. При определении хода поршня, по­ этому, целесообразно воспользоваться иными соображениями, а именно тем, что максимальное и минимальное значение для sB получаются в случае совпадения направлений кривошипа и шатуна. Из рис. 53 получаем

 

М п , а х = ОВ0

= У(1 + гу-е*;

1

 

 

(SBUn =

OB-0

= V(l-r)2-e\

j

 

Отсюда ход поршня в

механизме со смещенным

кривошипом

 

H = (5в)г а а х -

(s ß ) m l n = У ( / + г ) 2 - е а -

V(l- rf

- е \ (5.18)

В

нормальном

кривошипно-ползунном

механизме смещение

= 0,

поэтому

 

Н = 2г.

 

(5.19)

 

 

 

 

Скорость поршня находим из уравнения (5.8) подстановкой

ѵв

о= т :

Sin (ф + Ф)

,г nm

ѵ в ^ - г щ

(5.20)

а ускорение — из уравнения (5.10) подстановкой уравнения (5.11) и

 

 

ст=

 

 

ав

 

г

 

 

 

 

 

 

 

Т ' Я

= =

Т :

 

 

 

а в =

_ т

\

 

L

cos ip

+

Я

.

(5.21)

 

 

 

 

1

 

'

cos? tpJ

4

1

122

Полученные

формулы

 

справедливы как для

меха­

 

низма со

смещенным

кри­

 

вошипом, так и для нор­

 

мального кривошипно-пол-

 

зунного

механизма

при

 

стационарном движении.

 

Приближенные формулы

 

для скорости и

ускорения

Рис. 5.3. Определение хода поршня

поршня.

Вывод

формул

 

для приближенного вычисления скорости и ускорения ведомого звена имеет смысл только для стационарного движения, когда начальное звено (1 или 2) совершает вращение с постоянной или эпизодически изменяющейся угловой скоростью. Если начальным

является звено /, то это возможно

при Я. <; 1

и 1 — Я, > Я,х.

Если в качестве начального принято

звено

2,

то

заданные

условия могут

быть воспроизведены

при

Я, >

1 и Я, — 1 >

Ях.

Рассмотрим случай, когда звено /

начальное.

 

 

 

Передаточную

функцию і31 [формула

(5.8)] можно

представить

в виде .

 

 

 

*Sincy} =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« s i

=

-

-

*• (sin ф +

COS ф tg fr) =

 

 

 

 

 

» / .

.

 

 

sin ф

 

 

 

 

(5.22)

 

 

 

=

— Я

s i n q > +

C O S < p -

7 = = £ =

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

У 1 — sin2 TJ)

 

 

 

 

Выражение

- p = = L = =

можно

разложить

в

ряд

 

 

 

.

1

 

=

1 -Ь — sin2 ib-

1- 3

sin4 -ф -

1-

3-5

sin6 ijj.,

 

V1 — sin2

гр

 

2

 

г

2- 4

 

 

2-

4 - 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользовавшись выражением (5.2) и приведенным разложе­

нием, в уравнении

(5.22)

можно

исключить sin т|з:

 

 

 

/З і =

— Я, |sin ф -f- cos

ф [я, (sin ф — х) +

Я,3 (sin ф — х)3

-f-

 

+

А.» (sin ф -

 

х)» +

 

 

Я,7 (sin ф -

х)? ... ]} .

(5.23)

Дальнейшие преобразования ряда (5.23), с целью выделения простых гармоник, представляются такими. Каждый из биномиаль­ ных членов в разложении (5.23) раскрывают и группируют члены, содержащие одинаковые степени sin. При этом і 3 1 приобретает вид

/ З і = — Я, (sin ф + a ï cos ф + 62

cos ф sin ф + a3

cos ф х

 

Xsina 9 + 64 cos ф sin3 ф - f аъ cos

ф sin4 ф +

. . . ) .

 

 

Если теперь cos ф sin" ф заменить

в

зависимости от

п

чет­

ного или нечетного суммой членов,

пропорциональных

sin

или

123

cos кратных углов, то

і31

можно

выразить

суммой простых

гар­

моник:

 

 

 

 

 

 

h i = ^ ( ^ і s i n Ф +

A c o

s Ф +

&ъ sin 2ф +

А 3 cos Зф

ВІ X

 

X sin 4ф + Л 5 cos 5ф + 5„ sin 6ф - f . . . ) .

(5.24)

Все коэффициенты В содержат по одному слагаемому, зависящему

только от параметра X. Остальные зависят от произведения

Хк.

Что касается коэффициентов А , то все они зависят от Хк,

поэтому

при X = 0 все члены cos исчезают и передаточная функция

зависит

только от первой и остальных четных гармоник sin. Появление косинусоидальных гармоник зависит от параметра х.

Таким образом, принципиально каждая из передаточных функ­ ций может быть разложена в тригонометрический ряд, коэффициен­ ты гармоник "которого выражены посредством степенных рядов. Для этих коэффициентов могут быть составлены таблицы в зависи­ мости от параметров X и х.

После разложения передаточной функции в ряд легко определить

также

и ее производную по углу ф

і п

= X (Вх cos ф — Ai sin ф -f- 2B2 cos 2ф — ЗЛ3 sin Зф + . . . ) , (5.25)

позволяющую выразить ускорение поршня в форме гармонического ряда.

Для нормального кривошипно-ползунного механизма х = О (е = 0). В соответствии с этим значением х нетрудно получить коэф­ фициенты разложения передаточной функции:

Bi = -U

Л 1 = Лз = Л5 = ... = 0.

J

Иногда возникает необходимость выяснить закон изменения ско­ рости и ускорения поршня в первом приближении. Если обратиться вновь к разложению (5.23), то, ограничившись в квадратных скоб­ ках первым членом, будем иметь

і3- — — X (sin ф + X sin ф cos ф — Хк cos ф)

или

/ 3 1 = — А^ІПф-І-— Sin 2ф —ÀX СОБф).

124

В таком случае приближенное значение скорости поршня

ѵв = 1а>1і3і = — /чох ^sincp-l-у sin2cp — hxcosyj

(5.27)

и ускорения при ©х = const

 

flß = — ral (cos ф + К cos 2ф + Ум sin ф).

(5.28)

Для нормального кривошипно-ползунного механизма

к = О,

поэтому

 

Ѵв = — гсоі ^іпф + "2"S M 2ф]>*

(5.29)

ÜB — — reof (cos ф + Я, cos 2ф).

(5.30)

Эти две формулы дают достаточно точные для кинематических расчетов результаты.

При расчете на уравновешивание необходимо определять со­ ставляющие силы инерции, имеющие частоту, в 12 и более раз пре­ вышающую число оборотов вала. В этом случае необходимо исполь­ зовать формулы (5.24) для і31 и (5.25) для ig, с целью представить

ßß —

ускорение поршня в форме тригонометрического ряда. При

этом

имеем

 

 

 

 

 

 

ѵв = — rcoi (Sx sin ф + B2

sin 2ф + Б 4

sin 4ф +...);

(5.31)

 

ав

= — т\ (Вг

cos ф + 2В2

cos 2ф -f 4 ß 4 cos 4ф + • • •)•

(5.32)

Если

принять Л =

0, что соответствует

бесконечно длинному

шатуну, то перемещение, скорость и ускорение будут иметь только

первую гармонику:

перемещение и ускорение будут изменяться

по закону косинуса,

а скорость — по закону синуса.

Механизм с теоретически бесконечно длинным шатуном (Я = 0) известен под названием синусного механизма (рис. 5.4). Уменьшение длины шатуна до конечных размеров приводит к отклонению зако­

нов

изменения sg, ѵв и ав для синусного механизма тем больше,

чем больше параметр X. На рис. 5.5

приведены кривые скоростей для X = 0,

X =

и Я = -^-, а на рис. 5.6 — кривые

ускорений поршня для X = 3-îg и 1 = ^ ,

по которым можно судить об искажении

гармонического

движения поршня вве­

дением шатуна

конечной длины.

Пример 5.1. Найти угол ср, при котором скорость поршня имеет максимальное значение,

("в)шах

 

и отношение •

fie. 5.4. Синусный механизм

ср

 

128

Смотрите также файлы