Файл: Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 385
Скачиваний: 3
Рис. 5.5. Кривые скоростей поршня
126
Р е ш е н и е. Для определения |
искомого угла ср используем приближенное |
|
выражение для скорости |
поршня. |
|
Фі, при котором vß = |
(ѵв)тах, |
вычисляем из уравнения |
^~°в = — rcù\ (cos фі -f- X cos 2rpx) = О dt
пли
cos q>! + X cos 2q>! = cos ф х + X (2 cos2 ф! — 1) = 0.
Получаем квадратное уравнение для cos Ф і , корни которого соответствуют
|
|
|
cos2 фх + |
c o s Фі — 2" = |
° - |
|
|
|
|
Решая его, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
со5Ф і = ^ ( У |
- 1). |
|
|
|
||
Перед радикалом положительный знак принят потому, что в противном |
|||||||||
случае абсолютное |
значение cos Ф |
получилось бы больше |
единицы. |
|
|||||
Для различных значений X получаем следующие значения Ф і , при которых |
|||||||||
»Д = (°й)тах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
3,4 |
3,5 |
3,6 |
3,7 |
3,8 |
|
4 |
со |
|
|
|
|
|||||||
Фі |
|
75°10' |
75°33' |
75°50' |
76°09' |
76°26' |
77° |
90° |
|
Ы т а х |
|
1,631 |
1,629 |
1,626 |
1,624 |
1,620 |
1,617 |
1,571 |
|
|
|
||||||||
Отношение максимальной скорости к средней скорости поршня можно вы |
|||||||||
разить следующим |
равенством: |
|
|
|
|
|
|
||
/„ \ |
ra/sin |
Фі+-?г |
sin 2ср.\ |
2 I81"Фі+ |
25Ш Ч |
|
|||
Ы 7 = |
|
|
|
= |
|
||||
я
Численные значения искомого отношения при различных значениях X при
ведены в таблице. |
|
|
|
П р и м е р 5.2. Найти значения ф2 угла поворота кривошипа, при |
котором |
||
ускорение поршня нормального кривошипно-ползунного механизма |
принимает |
||
экстремальные |
значения. |
|
|
Р е ш е н и |
е . Для определения значений угла ф, при которых |
ав |
прини |
мает экстремальные значения, используем приближенную формулу (5.30). daB
Дифференцируя ав и приравнивая -gj- нулю, получаем
daB
-— = rcûj (sin фа + 2Х sin 2фг) = 0
или
sin ф2 -f- 4Я sin фг cos ф2 = sin Ф г (1 -(- 4Я cos фг) = 0.
127
Отсюда sin ф2 = 0 |
или |
(фа)! = |
0 |
и |
(ф2 )2 |
= 180° . |
Второе уравнение |
1 + |
4 X cos ф2 |
= |
0 дает корни в том случае, если X ^ 1/4, |
||
при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
0 3 |
ф |
2 = _ і |
- . |
Теперь д л я А , ^ - ^ - максимальное и минимальное значения ускорения полу чаем из формулы (5.30), подставляя ф = (;ра)і=0 и ф = (ф2 )2 = 180е:
Ы т і п =• — " » ! о + * - ) ;
При ^ ^ - ^ - получаем дополнительно два минимума при углах (ф2 Ь,4 =
= 180°- ± arccos ~ |
: |
|
|
|
|
АК |
|
|
|
Ытіп |
= - ™'[ t c o s Фі + |
*- (2 COS* ф 2 - Г)] = |
- гш? | - ~ + X (jlp - 1 Yj. |
|
Окончательно |
|
|
|
|
Минимальные значения, определенные найденным выражением, легко от |
||||
метить на |
кривой |
ускорения |
для Я, = 5 - 5 (см. |
рис. 5.6). |
|
|
|
о,О |
|
§ 5.3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА КУЛИСНЫХ МЕХАНИЗМОВ
На практике приходится рассчитывать разнообразные кулисные механизмы, отличающиеся один от другого количеством звеньев и конструктивной реализацией кинематической схемы. Простейшим кулисным механизмом является четырехзвенный. На рис. 9, а
Рис. 5.7. Механизм строгального станка |
Рис, 5.8. Ротативный двигатель |
128
была показана конструктивная схема пневмати ческого насоса, в котором кривошипом является эксцентрик /, а кулисой — звено 2. Аналогич ный механизм использован в масляном насосе (рис. 9, б). Отличается он от предыдущего нали чием кривошипа, заменяющего собой эксцен трик. На рис. 9, г изображена конструктивная схема тестомешалки, в которой качательное движение тестомесителю 2 сообщается от вра щающейся шестерни /. Все эти механизмы, от личающиеся как конструкцией, так и исполь зованием в рабочих машинах, могут быть пред ставлены одной и той же кинематической схемой (рис. 5.9) и, следовательно, могут быть рас считаны по одним и тем же формулам.
Рис. 5.9. Четырехзвениый кулисный
механизм
Более сложными являются шестнзвенные кулисные механизмы (рис. 5.7), получившие применение в металлорежущих станках для обработки плоскостей (продольно-строгальные, долбежные станки и др.). На рис. 5.8 приведена схема ротативного двигателя.
Угловые перемещение, скорость и ускорение кулисы. Кулису 3
(рис. 5.9) можно координировать углом <р, отсчитываемым от линии центров Л и С вращения кривошипа 1 и кулисы 3.
Проектируя длину кривошипа AB и переменную длину СВ ку лисы на линию центров АС, легко установить связь между извест ным для любого момента времени углом а поворота кривошипа и углом ф:
|
|
|
г sin а |
(5.33) |
|
|
|
tgq>= е -f- г cos а ' |
|
Если |
ввести |
отношение X = - , то уравнение (5.33) можно пред |
||
ставить |
в |
виде |
|
|
|
|
|
sin а |
(5.34) |
|
|
|
tg<P = X + cos а * |
|
В зависимости от величины X получим кулисный механизм с вра |
||||
щающейся |
или |
качающейся кулисой. Для качающейся |
кулисы |
|
Ф < 90° |
и |
tg ф < оо, следовательно, знаменатель ни при |
одном |
|
из значений а не должен принимать значения, равного нулю, т. е.
должно быть X, > |
1. Аналогично рассуждая, получим для вращаю |
|||||
щейся кулисы X < |
1, т. е. е < |
г. |
|
|
|
|
Дифференцируя |
уравнение |
|
(5.34) и имея в виду, что |
|
||
|
da |
|
|
dtp |
8> |
|
|
d t = ( ° l |
И |
dt" |
|
||
получим окончательно |
|
1 - f X cos |
a |
|
||
|
0),, = © ! |
|
(5.35) |
|||
|
1 + 2 Я |
cos a + AT |
||||
|
|
|
||||
б С. Н. Кожевников |
129 |
Отсюда передаточная |
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
. |
а>з |
|
1 - f - A c o s a |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Продолжая дифференцирование, |
найдем формулу для определе |
|
|||||||||||||
ния углового |
ускорения |
кулисы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е3 = е І / 3 1 |
+ т ^ І |
|
|
|
|
|
(5.37) |
|
|
|||
пли |
|
1 + A . cos а |
. |
„ |
А ( 1 — A . 2 ) s i n а |
|
,г |
|
«й \ |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
е 3 |
— e i |
1 + 2 |
A c o s a |
+ |
A -+ |
CÙÏ |
( l + |
2 A c o s |
а + |
Ä*)* |
• |
|
|
||
Если кулиса является начальным звеном и вращается равно |
|
||||||||||||||
мерно, как это имеет место в ротативных двигателях и насосах, то |
|
|
|||||||||||||
© з = const и е3 = |
0. В таком случае угловое ускорение |
кривошипа |
|
||||||||||||
|
_ Л і > і _ _ |
„ |
|
А ( 1 — A 2 ) s i n а |
|
|
|
|
|
||||||
E l |
dt |
a ' 1 |
(1 + . A |
cos a ) |
(1 + |
2A c o s a + |
A=) |
' |
|
|
|
||||
Подставляя al |
из формулы (5.35), получаем |
окончательно |
|
|
|
||||||||||
|
с _ |
|
ы ; А ( І — A - ) s i n a |
( |
l + 2 A c o s K + |
A 2 |
) |
• |
|||||||
|
1 |
3 |
|
|
(1 + |
A cos |
a |
) |
3 |
• |
|
\ |
|
||
В том случае, когда начальным звеном является кривошип AB,
причем |
cùj = const, |
следовательно, е1=~ |
= 0, получаем |
|||||||
углового |
ускорения |
кулисы |
из формулы |
(5.37) |
|
выражение |
||||
|
|
£ з = |
„ |
|
А (1 — A 2 ) s i n a |
|
- |
|||
|
|
coj .. , |
„ . — - |
— |
T T S T F |
|
||||
|
|
J |
1 (1 - f - 2 A c o s |
a |
+ |
A - ) |
a |
|
||
для
/ r
(5.40)'
v
Относительные перемещения, скорость и ускорение камня и кулисы. В механизмах двигателей и насосов часто требуется опре делять не только относительный ход поршня (камня 2) и цилиндра (кулисы 3, рис. 5.9), но и закон изменения относительного перемеще ния, от которого зависит, например, неравномерность подачи масла в гидравлическом насосе, а также скорость и ускорение поршня при движении относительно цилиндра.
Положение камня относительно кулисы можно координировать отрезком Xß (рис. 5.9), который нужно рассматривать как сумму проекций межцентрового расстояния GA = е и кривошипа AB =г на направление кулисы:
xB = ecos ф + r cosa[) = e^cos ф + у cosчр^, |
(5.41) |
где тр = a — ф.
Сравнивая формулы (5.41) и (5.16) для координаты поршня кривошипно-ползунного механизма, видим их полное совпадение, если е заменить на г. Это вполне естественно, потому что кулисный
130
