Файл: Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 389
Скачиваний: 3
ханнзма так, чтобы скорость долбяка в пределах большей части хода его оставалась постоянной.
При динамическом синтезе проектирование механизмов ведется по заданным силам, чтобы воспроизвести заданный закон движения или динамическую точность.
§ 6.2. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЧЕТЫРЕХЗВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ ПО НЕКОТОРЫМ ЗАДАННЫМ УСЛОВИЯМ
Проектирование механизма по двум и трем заданным положениям шатуна 1. Необходимость проектирования четырехзвенного меха низма по двум, трем и более заданным положениям шатуна может появиться во многих случаях практики, например при проектирова нии шлаковых стопоров доменных печей, механизмов кантователей, укладчиков и др.
Пусть задано два положения шатуна — и M2N2 и положе ния центров А и D вращения двух других звеньев четырехшарнирного механизма (рис. 6.2, о). Требуется отыскать положения центров ß и С шарниров, при полощи которых шатун 2 присоединяется к звеньям ) и 3. При плоскопараллельном движении шатун из поло жения Mth\ можно перевести в положение M2N2 вращением вокруг центра Р12, который найдется как точка пересечения перпендикуля ров, восстановленных в середине отрезков MjM ^ и Л^ЛЛ^. Положе ния ß 2 и В2 искомой точки В, в связи с этим, всегда будут на окруж ности некоторого радиуса.
Рис. 6.2. Построение четырехшарнирного механизма по заданным положениям шатуна:
а — двум; б — трем
1 Синтез четырехшарнирного механизма по большему числу заданных по ложений шатуна и другим условиям см. [1] и [5J.
142
Если положение |
В |
на шатуне задано, |
то перпендикуляр ß 1 2 |
||
к середине отрезка |
ВХВ2 |
пройдет через точку Р12. Углы а 1 2 |
между |
||
лучами т 1 2 |
и р.1 2 , п12 |
и ѵ1 2 , b12 и ß 1 2 равны половине угла поворота |
|||
звена при |
переходе |
его из положения M1N1 |
в положение |
M2N2. |
Если положение центра А задано, то, найдя полюс Р 1 2 , соединяют его с точкой А и от полученного луча ß 1 2 откладывают угол а 1 2 в направ лении, противоположном вращению звена. Точка Вх может быть взята в любом месте полученного луча bl2.
Аналогично может быть найдено положение точки С. Возмож ных механизмов, осуществляющих заданные условия, — бесконечно много. Если AB должно быть кривошипом, то при выборе длин AB и CD необходимо удовлетворить условиям существования криво шипа. Если положения центров Л и о не заданы, то их можно выби
рать на перпендикулярах |
р.1 2 |
и ѵ1 2 . При этом центры шарниров В |
и С совпадут соответственно с точками M и N. |
||
Если задано три положения шатуна (рис. 6.2, б), характеризуе |
||
мых положениями MxNlt |
M2N2 |
и M3N3 отрезка MN и положения |
центров А и D, то положения центров В и С шарниров на шатуне |
||
можно найти следующим |
образом. Прежде всего найдем полюсы |
|
Р12 и Р13, относительно которых необходимо вращать шатун, чтобы |
перевести его из первого положения во второе и третье, как пересече
ние |
перпендикуляров ц 1 2 и ѵ1 2 , восстановленных к серединам отрез |
ков |
МоМг и ІѴ.,УѴ2 , и перпендикуляров ц 1 3 и ѵ1 3 , восстановленных |
к серединам отрезков МгМ3 и N^3. При переходе из первого поло |
жения во второе шатун повернется на угол 2а1 2 , a при переходе из
первого в третье — на угол 2а13. |
Соединим центр шарнира А с по |
|
люсом Р12 и отложим угол а 1 2 |
в |
направлении, противоположном |
направлению вращения шатуна. |
Очевидно, центр шарнира Вг |
должен лежать на построенном луче Ь12. Далее соединим центр шар нира А с полюсом Р13 и отложим угол а 1 3 в направлении, противо положном вращению шатуна. Точка Вг должна лежать на построен ном луче bis. Очевидно, что точка Вх будет совпадать с точкой пере сечения лучей Ь12 и Ь13. Аналогично может быть найдено и положение точки Сх на шатуне.
Описанное построение дает возможность определить длины звеньев AB, ВС и CD, которые во многих случаях должны удовлет ворять условиямсуществования кривошипа. Если при заданных положениях центров Л и D условия существования кривошипа не удовлетворяются, то необходимо выбрать новое положение их и вновь произвести описанное выше построение.
Размеры механизма по трем заданным положениям шатуна опре делить значительно проще, если не заданы положения центров не подвижных шарниров. В этом случае, соединив точку Мх с точками М2 и М3 и восстановив в середине этих отрезков перпендикуляры, в точке их пересечения получим центр неподвижного шарнира А. Все три заданных положения — М1г М2 и М3 — точки M будут рас полагаться на окружности радиуса AM. Если соединить точки
143
с N% и Nn с N$ H восстановить из середины полученных отрезков перпендикуляры, то в точке их пересечения получим центр непод вижного шарнира для звена DC.
Проектирование четырехшарнирного механизма по крайним поло жениям коромысла и коэффициенту увеличения скорости обратного хода (метод Г. Г. Баранова). Предположим, что размеры четырех шарнирного механизма заданы (рис, 6.3, а). Тогда крайние положе ния коромысла для этого случая находим следующим образом. При
построении правого крайнего положения коромысла из центра |
А |
на дуге, описываемой точкой С, делаем засечку дугой радиуса / + |
г |
и находим точку С'0, а при построении его левого крайнего положе ния — дугой радиуса / — г и находим точку С0 . Угол между на правлениями шатуна обозначим через т>. Угол а поворота кривоши па при вращении его по часовой стрелке, в пределах которого коро
мысло переходит из левого |
положения в правое, ар = 180° + |
|
а при ререходе из правого |
положения в левое — а ѵ = |
180° — ft. |
Коэффициент увеличения средней, скорости обратного |
хода |
ѵр |
~ ах ~ 1 8 О ° - 0 • |
|
откуда |
|
|
fl=180°jb{-. |
(6.1) |
|
Через точки А, С„ и С'0 |
можно описать окружность |
с центром |
в 0.2, при этом получим центральный угол C0O2CÔ, равный 2т>, где Ф — вписанный угол, опирающийся на дугу С0С'й. Угол при вер шине С0 между хордой С0С'0 и радиусом С0 О2 равен 90° —
Пользуясь этой связью между углами, можно отыскать размеры механизма. Для этого поступаем следующим образом. Вычислив предварительно $ по заданному значению k, из произвольной точки Ох описываем дугу C0CÔ и делим хорду С0С'а, стягивающую заданный
Р и с 6.3, Проектирование четырехзвенного механизма:
а — по коэффициенту увеличения обратного хода; б — по трем заданным положениям
крнвошнпа н коромысла
144
угол ß, пополам. Проводя из середины хорды перпендикуляр, а через точку С0 — прямую под углом 90° — т}, находим, центр 02 . Радиусом О2 С0 описываем окружность и на ней выбираем точку А. Описав из найденного центра через С0 дугу до пересечения с линией АС а, найдем
C0A-C0À = (t + r)-(l-r)=*2r.
Длина шатуна / будет равна АС'п — г — I.
Проектирование четырехзвенного шарнирного механизма по трем заданным положениям кривошипа и коромысла. Пусть известны длина кривошипа 1 и его три положения, соответствующие заданным
положениям прямой 03D, |
определяющим |
позиции |
коромысла |
3 |
||||
(рис. 6.3, б). Расстояние между неподвижными осями Ох |
и 0 2 пред |
|||||||
полагаем заданным. Требуется |
определить |
длины |
1АВ |
шатуна |
и |
|||
Іо3в |
коромысла. |
|
|
|
|
|
|
|
Предположим, что всему механизму задается движение в направ |
||||||||
лении, противоположном вращению коромысла, |
т. е. прямой 0 3 D . |
|||||||
В таком случае прямая 03D |
неподвижна, а Ог03 |
вращается вокруг |
||||||
03, |
последовательно занимая позиции, координируемые относительно |
|||||||
03Dlt |
т. е. в плоскости коромысла углами |
ß l T |
ß2 и ß3 ; |
кривошип |
||||
ОгА |
относительно вращающейся |
стойки координируется |
при этом |
|||||
заданными углами ctj, а 2 и а 3 |
соответственно. Так как длина шатуна |
постоянна, а точка В в преобразованном механизме неподвижна, то все три положения Ах, А* и А'3 центра шарнира А лежат на окруж ности с центром в В. Проведя через середины отрезков AiA't и А'^А'. перпендикуляры, в точке их пересечения можно поместить ось В шарнира. Этим самым размеры звеньев 1АВ и Івог будут определены.
§6.3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ФУНКЦИЙ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮ ЩИХСЯ ОТ НУЛЯ, К ЗАДАЧАМ СИНТЕЗА МЕХАНИЗМОВ
Точное воспроизведение заданных условий синтеза плоских механизмов с низшими парами, как это указывалось выше, не всегда необходимо. Во многих случаях приближенный синтез может дать значительно лучшие результаты. Приближенный синтез развивался сначала применительно к так называемым направляющим механиз мам, одна из точек звеньев которых на некотором участке траекто рии перемещается по дуге, мало отличающейся от прямой линии, а затем получил более общее значение благодаря использованию в других областях и при усложнении условий синтеза.
Наибольшее значение из известных методов синтеза имеет метод акад. П. Л. Чебышева, разработавшего теорию функций, наименее уклоняющихся от нуля, и применившего их в области синтеза на правляющих механизмов [20]. Советские ученые разработали идеи П. Л. Чебышева и в применении к другим случаям синтеза механиз мов, например к случаю синтеза механизмов, приближенно воспро изводящих движение звена с постоянной скоростью и др.
«45
Метод приближения функций П. Л. Чебышева заключается в сле дующем. Допустим, что в системе координат х, у траектория шатунной
|
точки С может быть выражена |
в фор |
|||
|
ме (рис. |
6.4) |
|
|
|
|
Р (х) = РіФі (х) + рафа (х) + |
...+ |
|||
Рис. С.4. Функция наилучшего |
|
+ |
Ді+іФя+і (•*)• |
(б-2 ) |
|
приближения |
Допустим, |
что |
задана алгебраи |
||
|
|||||
|
ческая |
кривая / |
(А- ), изображенная |
в той же системе координат, к которой должна быть приближена шатунная кривая. Пусть, как это показано на рис. 6.4, траектория точки шатуна механизма, размеры которого должны быть опреде лены, не совпадает с заданной кривой. Поставим задачей подобрать параметры механизма так, чтобы траекторию шатунной точки наи лучшим образом приблизить к заданной кривой.
Согласно теореме Чебышева, для того чтобы полином
Р (х) = ріФі (х) + р2фг (х) + •. • + /W 4 W (*)
системы функции Чебышева наименее уклонялся от заданной непре рывной функции f (х) в интервале а < х < Ь, необходимо и доста точно, чтобы разность
F(x) = |
f(x)-p(x) |
|
(6.3) |
|
не менее п + 2 раза достигала |
своих предельных |
отклонений |
± |
А |
с последовательно чередующимися знаками в интервале а < х |
< |
Ь. |
Функции фх (х), ф2 (х) ит. д. образуют систему функций Чебышева, если полином (6.2), составленный из этих функций, имеет не более
п |
корней в интервале |
а <Сх <Zb. |
|
|
Для составления |
уравнений, позволяющих определить п + 2 |
|
корней х-,, при которых F (х) достигает своих предельных |
значений, |
||
п |
+ 1 неизвестных коэффициентов полинома (6.2) и А, |
т. е. всего |
2п + 4 неизвестных, можно воспользоваться следующими сообра жениями.
Из формулы (6.3) получаем п + |
2 уравнений, полагая F (х) — |
|
— dz Д при X = ХІ. |
|
|
/ ( х , ) - р ( х , ) |
= ± Д . |
(6.4) |
Вследствие того, что при хг, хя,..., |
лг„+1 разность F (х), |
достигнув |
своего предельного значения, не должна переходить за это значение, F' {х) в этих точках обращается в нуль. Это дает возможность соста вить п дополнительных уравнений:
F(*,) = 0 (і = 2, 3, . . . . л + 1 ) .
146
|
Принимая |
крайние точки ин |
|
|
|
||||||
тервала |
хх |
= |
а и х л + 2 — Ь, |
по |
|
|
|
||||
лучаем |
еще |
два |
уравнения: |
|
|
|
|||||
(хі — а) = |
0 |
и |
(х,- — |
6) |
= |
0. |
|
|
|
||
Таким |
образом, |
общее |
|
число |
|
|
|
||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и |
|
|
F{xi) = ±à |
|
(6.5) |
|
|
|
|||
F'(xi) |
(xi — a)(xt — b) = |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
(i = |
l, 2, |
/і + |
2) |
|
|
|
|
|
||
соответствует числу 2/г + |
4 неиз |
|
|
|
|||||||
вестных |
Хг, |
Хо,..., |
Хп+о, |
Pl-..РдЧ-І Рис. |
6.5. |
Наилучшее приближение |
|||||
и |
А. |
|
|
|
|
|
|
траектории |
точки |
Х-образного меха |
|
|
Определив |
из |
этой |
системы |
|
низма к |
прямой |
||||
уравнений |
коэффициенты |
|
р1... |
|
|
|
|||||
рпП, |
получим |
наибольшее |
уклонение |
А от заданной функции / (х) |
минимальным, т. е. приближение для выбранной системы функций фх(х) ... ф„+ 1 (х) наилучшее.
Та же задача может быть решена более просто при использовании основной идеи Чебышева о наилучшем приближении [61. Допустим, что необходимо определить соотношение между размерами К-
образного механизма |
Чебышева, шатунная кривая которого в пре |
||
делах длины L наилучшим образом приближается к прямой. |
|
||
Для этого выразим координаты х и у точки M в функции |
угла |
||
поворота ф кривошипа OA (рис. 6.5). |
|
||
Из |
треугольника |
CAD |
|
|
|
COS \р : a -f- г cos ф |
(6.6) |
Из |
треугольника |
CAO |
|
|
и? — а2 + г2 + 2ar cos ф. |
(6.7) |
Угол АСМ при любом положении шатуна — прямой, потому что через точки Л, С и M можно описать окружность радиуса ВС, поэ тому
ѵ=УИ2-и2 |
(6.8) |
у = ѵ cosi|). |
(6.9) |
Производя последовательно замену переменных в формуле (6.9), получим
АР |
1 . |
(6.10) |
y = {a-t г cos ф) У&+?2 + 2аг cos ф |
147