Файл: Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов.pdf

сечения.

Аналогично

мгновенный центр

вращения

Р13 совпадает

с точкой

пересечения

линий А>3 Р1 2 и Р

3 4 Р 1 4 .

кинематической

Рассмотрим еще пятизвенный механизм с одной

заданы постоянные центры относительного вращения Р1 Г ) , Рп,

Р 2 3 ,

РЗІ и Р 4 5 . Остальные пять мгновенных центров относительного

вра­

проведенной через А,

и на линии Р 2 3 Р Я 4 , т. е. в точке их пересечения.

Если

соединить найденный центр Р 2 4 с Р 1 2 , то

пересечение линии

Р і 2 Р 2 4

с линией Р1ЪРІ5

определит положение центра Ри.

Центр Р13

лежит

в точке

пересечения линий Р 1 2 Р 2 3 и Р 1 4 Р 3 4 . Далее находим

центр

Ръь

как

точку

пересечения линий Р13Р1Ъ

и Р4 5 Р3 4-

Наконец,

центр Р 2 5

получим как точку пересечения Р 1 2 Р 1 5

и Р 2 4 Р 4 5 .

Найденная

точка должна лежать также на линии Р 3 5 Р 2 3 , что может

послужить

Рис. 7.2. Четырехзвенный механизм

Рис. 7.3. Пятизвенный механизм

с двумя высшими парами

с высшей парой

полоиды. Так как мгновенный центр

в

каждом из положений определен­

ным образом

координируется

отно­

сительно заданного звена, то, оче­

видно,

можно построить

также

и

в

системе

координат,

связанной

с

подвижным звеном,

геометриче­

ское

место

мгновенных

центров,

получившее

название

подвижной

центроиды. Последняя

перемещает­

ся

определенным образом

относи­

тельно

неподвижной центроиды.

Для

выяснения характера

дви­

7.4. Определение

координаты

жения центроид рассмотрим движе­

мгновенного центра

ние

звена более детально.

Положение любого связанного со звеном отрезка AB

можно ко­

ординировать двумя векторами 1А

и 2В

(рис. 7.4), причем

ZB =

ZA

+ Z B A .

(7.1)

гв = гА + ІАВ?і0.

(7-2)

• zA + lAPé

^

= zA + /дРе<<Ѵ° = zA

+ gpe'e,

(7.3)

где

a — угол, координирующий отрезок АР

относительно от­

1Аре'а

резка AB,

т. е. в системе хгАух;

— можно рассматривать как вектор | Р ,

перемещающийся

вместе со звеном, т. е. вектор в системе координат,

связанной с рассматриваемым звеном. При этом вектор

Ер поворачивается относительно звена с изменением

a

Если

и изменяется

по модулю с изменением 1АР.

точки

А,

Р — мгновенный

центр вращения, то скорость

координируемой относительно Р вектором \р,

перпендикулярна

последнему и равна

(7.4)

С =

dZAlAB

(7.6)

D Z A — DZB '

Кроме этого,

из выражений

(7.2),

(7.3) и (7.6) имеем

dz

zi)dzA-zAdza

(7.7)

zP =

zA •

dz,

—dzB (г/г

'А.

dz,

—dz„

Геометрическое место концов вектора £р представляет собой

подвижную, а геометрическое место концов

вектора zp — непо­

движную

полоиду.

Вследствие того, что в каждый момент времени мгновенный центр

принадлежит обоим

полоидам

него

скорость

направлена по каса­

тельной к каждой из них в отдельности,

полонды

касаются

в по­

люсе Р.

Определим дифференциалы dzP

и dt,P:

dzp

(ZB~ZA)

( ^ А ^ П - ^ П

D~ZA)

(7.8)

(dzA-dzBf

dl5Р:

lARi**A**B-dzB**A)

(7.9)

( D Z A ~ D Z B ) 2

Так как разность векторов zn

— zA

по модулю равна lAß, то диф­

ференциалы dzp

и dÇ,P по модулю

также

равны. А это означает,

что

подвижная

полоида ка­

тится

без скольжения

по не­

подвижной.

Итак, показано, что любое

плоское движение звена меха­

низма

можно

реализовать в

результате

качения

полоид

друг по другу без скольжения.

Понятие

о

центроидах

можно

распространить

и на

относительное

движение зве­

ньев механизма. Действитель­

но, так как каждое из звеньев

кинематической

цепи

можно

сделать

стойкой,

то при по-

Р и с

7.5. Построение центроид механизма

строении . ИЛИ

аналитическом

с

двумя

поступательными

парами

выражении

центроид

В OT-

треугольника,

построенного

на зафиксированном отрезке AB, на

перемещающемся звене, то, перенося

все полученные

треугольники

на какие-либо

из положений

отрезка

AB, получим

в качестве по­

совпадает с точкой пересечения перпендикуляров,

восстановленных

к направляющим в точках А

и В. Угол ß и длина 1АВ неизменны,

угол а зависит

от положения механизма. Координата х точки

в неподвижной

системе

хОу

определяется

из треугольника

О AB:

x = lAАBSin(Ka)

sm ß

(7v

.10)

"

sin ß

'

Длина перпендикуляра ВС — lAB

cos (ß — а)

и.

У=^Цг

= 1АВС05®-а)

.

(7.11)

а

sin ß

л а

sm ß

v

'

R=-^%-

с центром

в точке О.

sm р

г

Координаты

точки Рі4

в

подвижной

системе координат ххАух

имеют следующие значения:

хх

i

= АР„ sin (ß -

а) =

ÄC1 xsin

ф -

а )

= 1л

"

А В cos а s i n ( ß

~ a>

;v

(7.13)

-4

\ r

/

sm ß

sin ß

'

yx

= TP и cos (ß -

а) =

lAB

cos a c o s ^ ~ g ) .

(7.14)

х] + У)-ІАвХі-ІАв&ё№і

= 0-

•

(7Л5)

»

х\ + у1- 2ах,-2ЬУі + а* + b2 — R2 = 0.

(7.16)

2д = /дя

или

а =

'-~;

2b = lABc[g$

пли

Z> =

- f c t g ß ;

/?2= u S + 62= ^ ( 1 + c l g 2 ß ) =

_ ^ _ .

движется по диаметру большего круга.

При ß =

90° длина звена

ІАВ

будет

равна

не

хорде,

а диаметру

подвижной

цен­

троиды

(рис. 7,6).

На рис. 7.5 и 7.6 подвиж­

ная

центроида

изображена

для

горизонтального

поло­

жения

звена

АВ.

Рассмотрим еще механизм,

известный

под названием ан­

типараллелограмма (рис. 7.7),

в

котором

длины

противо­

положных звеньев одинаковы.

Мгновенный

центр

относи­

тельного вращения

звеньев 2

и 4 лежит всегда в точке пе­

ресечения

линий

АВ

и

ВС,

а мгновенный центр Р13

отно­

Рис. 7.6. Эллиптический механизм

сительного

вращения

звеньев