Файл: Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов.pdf

сторона DB общая, а две другие попарно равны. Поэтому углы при вершинах А и С одинаковы. Отсюда также следует, что треуголь­

Большая полуось a —-^- — -^, а малая полуось

Если мгновенный центр Р м координировать относительно си­ стемы, связанной со звеном 2, то его положение будет определяться радиусами-векторами СР2І и ВР2І. Так как сумма этих радиусов-

У

Рис. 7.7. Механизм антипараллелограмма

159

векторов также равна 2а, то подвижная центроида описывается таким же эллипсом, как и неподвижная, но с фокусами в центрах шарниров С и В. Таким образом, движение звена 2 механизма анти­ параллелограмма можно воспроизвести качением подвижного эл­ липса по неподвижному, при этом расстояние между противопо­ ложно расположенными фокусами остается постоянным.

нетрудно доказать, что эти треугольники равны. Отсюда также вы­

ством обладает гипербола. Таким образом, центроидой в относи­ тельном движении звеньев 1 и 3, связанной со звеном 3, является гипербола с фокусами в D и С. Точно так лее можно показать, что центроидой, связанной со звеном /, будет такая же гипербола, но с фокусами в А и В. В процессе работы механизма ветви гипербол катятся друг по другу без скольжения, как катки.

Рассмотренные здесь примеры показывают, что движение одного звена стержневого механизма относительно другого можно осуще­

перекатывающихся рычагов, очерченных центроидами для вос­ произведения заданного движения. Кроме этого, центроидные катки, снабженные зубцами, могут быть дополнительно введены в механизм для перевода его через неопределенное положение. Подвижность механизма при точном изготовлении центроидных катков сохраняется, потому что центроиды в данном случае вносят пассивные условия связи (повторяющиеся). На рис. 7.8 показан механизм антипараллелограмма, в котором стойкой сделано боль­ шее звено. Центроиды относительного движения более коротких звеньев (эллипсы) оба вращаются вокруг фокусов. Для перевода

160

механизма через неопределенное положение при горизонтальном положении шатуна b вращающиеся звенья снабжены зубцами.

При синтезе механизмов с высшими парами широко исполь­ зуются не только отмеченные свойства центроид, но и понятия об огибаемых и огибающих.

Пусть кривая задана уравнением / (х, у, а) = 0, где а — пара­ метр. Изменяя параметр а, получим семейство кривых. Пусть далее две кривые отличаются параметром на величину Ла (рис. 7.9), т. е. близки друг к другу. В таком случае координаты точек пересечения кривых семейства будут удовлетворять уравнениям

f(x,y,*) = 0 и И х ' у ' а + й л £ Ч ( х ' у , а ) = 0 .

При Да -> 0 получим уравнения, определяющие так называемые характеристические точки, соответствующие выбранному значению параметра а:

Исключая из этих уравнений параметр а, получим уравнение характеристических точек, геометрическое место которых называют дискриминантной кривой. В дифференциальной геометрии доказы­ вается, что дискриминантная кривая и кривая семейства для ка­ кого-либо значения параметра в общей точке имеют общую каса­

чить функциональную зависимость у от х в явной или неявной форме. Рассмотрим на примерах вывод уравнения огибающих. Пусть неподвижная центроида задана в форме окружности ра­

диуса г0, а подвижная — в форме прямой. С подвижной центроидой связана прямая АС, ей перпендикулярная (рис. 7.10). При изме­ нении положения подвижной центроиды изменяется положение прямой АС, т. е. можно построить семейство прямых в зависимости от значения параметра В, определяющего положение мгновенного центра.

Координаты точки А, через которую проходит выбранная прямая

Уравнения (7.21) и (7.22) будут уравнениями огибающей в па­ раметрической форме для выбранного семейства прямых, но они являются также уравнениями эвольвенты в параметрической форме. Таким образом, эвольвенту окружности можно рассматривать как огибающую семейства прямых, перпендикулярных катящейся без скольжения по окружности прямой.

Пусть теперь с подвижной центроидой, катящейся по окруж­ ности радиуса г, связана прямая, составляющая с ее направлением угол 90° — а. Требуется найти уравнение огибающей семейства.

162