Файл: Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 436

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Глава десятая Н Е К Р У Г Л Ы Е З У Б Ч А Т Ы Е К О Л Е С А

§10.1. ПРИМЕНЕНИЕ НЕКРУГЛЫХ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС

Для осуществления переменного передаточного отношения при­ меняют некруглые зубчатые колеса с замкнутой или незамкнутой начальной кривой.

Вмашиностроении используют главным образом некруглые зуб­ чатые колеса с замкнутой начальной кривой (эллиптические или производные от них, так называемые овальные), создающие периоди­ чески изменяющееся передаточное отношение. В качестве примеров применения некруглых зубчатых колес можно привести станок для фрезерования шпонок, в котором вращение кривошипу кривошипно-

шатунного механизма сообщается от некруглых зубчатых колес с целью осуществления подачи с приближенно постоянной ско­ ростью. В токарных автоматах эллиптические колеса применяют для медленного вращения распределительного вала при испол­ нении рабочих операций и быстрого — во время холостых ходов. Некруглые колеса используют также в полиграфических машинах — в механизмах транспортеров самонакладчиков, в текстильных ма­ шинах — для периодического изменения плотности утка и основы с целью получения тканей с определенным рисунком, в шелкомо­ тальных машинах для изменения скорости нитеводителя, закон изменения которой определяет бочкообразную форму катушки,

ив ряде других механизмов.

Вприборостроении некруглые зубчатые колеса применяют, на­ пример, в счетчиках жидкости, в механизмах для воспроизведения заданных функций одного независимого переменного.

Использование некруглых зубчатых колес ограничивалось труд­ ностью их профилирования и изготовления. В последнее время раз­ работаны производительные способы изготовления некруглых зуб­ чатых колес методом обкатки при использовании долбяков, червячных фрез или реек. Теория расчета и проектирования некруглых зубчатых колес в основном разработана советскими учеными и инженерами (Литвин Ф. Л., Скуридин М. А., Малкин Л. А.).

269

§ 10.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРОИД НЕКРУГЛЫХ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС

При проектировании некруглых зубчатых колес в первую оче­ редь должны быть определены центроиды их, катящиеся при пе­ редаче движения колесами друг по другу без скольжения.

Ранее было установлено (§ 7.3), что полюс Р мгновенного отно­ сительного вращения лежит всегда на линии центров зубчатых колес и делит ее на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям. Следовательно, центроиды в относительном движении всегда касаются в полюсе зацепления Р.

Если через і\ и / 2

обозначим переменные радиусы-векторы цент­

роид,

то при постоянном

расстоянии А между

осями вращения

некруглых

зубчатых

колес можно написать

 

 

 

 

П + гг

= А и й =

^

=

^ ,

(10.1)

 

 

 

1

1

3

 

r 2

(ùi

d q V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

— угол

поворота

 

ведущего

некруглого

зубчатого колеса

 

(рис.

10.1).

 

 

 

 

 

 

 

Угол ф 2

поворота зубчатого колеса является некоторой функцией

угла ф х :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фг =

/ ( ф і ) -

 

 

 

В

таком

случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«а =

^

=

/ ' (Фі)

и

/і2

=

—|—.

 

 

 

 

 

Фі

 

 

 

 

I

Ы

 

Воспользовавшись равенством (10.1), можно по заданному рас­ стоянию между центрами и функции передаточного отношения определить радиусы центроид в функции угла ф х :

Гі = 1 +'1 2

І,2А

(10.2)

 

Выражая уравнения центроид в полярной системе координат, необходимо, кроме радиуса-вектора, задать еще и угол. Для веду­ щего колеса угол ф х является независимой переменной. Для вто-

рого зубчатого колеса ф 2 мо-' жет быть определен из выра­ жения

dq>2. dtpx

dq>2 .

~df' dt ~

dql~~Hb

 

 

откуда

ФІ

 

 

 

 

 

 

 

Фг;

]i21d^.

(10.3)

Рис. 40.1. Центроиды

эллиптических зуб­

Таким

образом,

для по­

чатых

колес

строения центроид сопряжен-

270

иых зубчатых колес представляется возможным воспользоваться уравнениями (10.2) и (10.3) в параметрической форме.

Здесь полезно отметить некоторое свойство кривых, принимае­ мых за центроиды. Из формул (10.1) имеем

Г і Йф1 = іг2 й?ф2 ;

 

 

(а)

 

аг! = — dr2.

 

 

(б)

Разделив уравнение (а)

на уравнение

(б),

получим

 

Если r x ^ = tgLii и ra

^j^tgfXa, то

tg цг

= —tg

j . i 2 .

Полученные выражения представляют собой не что иное, как тангенс угла между радиусом-вектором точки центроиды и каса­ тельной к ней в этой же точке (рис. 10.1). Из уравнения (10.4) также видно, что центроиды касаются в полюсе зацепления, т. е.

йі = 180°—LI2.

Нетрудно показать, что при удовлетворении условий (а) и (б) центроиды катятся друг по другу без скольжения. Действительно, возводя в квадрат выражения (а) и (б) и складывая почленно, бу­ дем иметь

 

dr\ + r\ dy\ = dr\-f- r\ d(p2

 

 

или, иначе,

 

dsx=ds2,

 

 

 

 

 

 

 

 

где dsx и ds2 — бесконечно

малые дуги

качения

на

каждой из

 

центроид.

 

 

 

 

Таким образом, если задается функция положения ведомого

колеса в виде

ц>2 = f (фі)

или функция

передаточного

отношения,

то, пользуясь уравнениями

(10.2) и (10.3), представляется возмож­

ным построить

центроиды

некруглых зубчатых

колес.

Для выбора метода обработки некруглых зубчатых колес важно знать, будет ли радиус кривизны менять знак на противополож­ ный, т. е. будет ли центроида очерчена выпуклой кривой, ари которой возможно нарезание колес рейкой и червячной фрезой, или же она будет иметь выпуклые и вогнутые участки. Вопрос этот можно решить анализом выражения для радиуса кривизны кривой, представленной в полярной системе координат. Наличие точки перегиба, в которой выпуклость переходит в вогнутость или на­ оборот, характеризуется тем, что радиус кривизны р = со, т. е. в выражении радиуса кривизны

(10.5)

271

знаменатель обращается в нуль. Таким образом, анализ выраже-

" + 8 ( * ) ' - г & - °

< 1 0 ' 6 )

дает возможность судить о том, будет ли центроида некруглого колеса для заданной функции положения ведомого колеса или функ­ ции передаточного отношения иметь вогнутые участки.

Для ведущего колеса.

Г і = / ( ф і ) = Л п і - ;

dCi

——А

'"13

•

 

^ = -

Л ( 1

+ ^ -

^ ,

(10.7)

Подставляя в уравнение (10.6) значения производных, получаем

1 " ':12 + hi = 0-

Для ведомого колеса

_

.

fl s

dr% _ drt

гіфг

_

dr„

 

 

. ( 1 а і ; 3 _

'2

^ i l , - . ,

J"

d<pt

j " -

• лт

— j m ~

'12 — Л

 

 

1 + і , з '

d<?2

 

гіф2

 

1

2

( 1 + і ' і г ) * '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d_(drt\.

 

 

л(i+/ta)[<;.a+iwrJ-2'W»'.-

гіфі

"~

dtpi \ d f ä ;

1 2 ~ Л

 

 

(1 +

( 1 2 ) 3

 

 

1 2 '

Подставляя значения r2 и rô в формулу (10.6), получаем после упрощения для ведомого некруглого колеса условие существования точки перегиба, выраженное через функцию передаточного отно­ шения и ее производные:

1 + ' і 2 + hi - іі2 іІз = 0.

(10.8)

Таким образом, в зависимости от вида функции передаточного отношения отдельные участки центроиды ведомого или ведущего некруглых зубчатых колес могут оказаться вогнутыми. В последнем случае зубья могут быть нарезаны только долбяком.

В машиностроении применяют преимущественно замкнутые центроиды, позволяющие передавать непрерывное вращательное движение. В таком случае, если передаточное отношение перемен­ ное, то радиус-вектор гх центроиды ведущего колеса должен быть периодической функцией угла поворота фг ведущего колеса. Пе-

' 2л

риод этой функции должен быть равен —, где іц = 1,2 и т. д., т. е.

"і

в течение одного оборота ведущего колеса должно уложиться целое число периодов. Следовательно, периодической функцией, с тем

2ІТ

же периодом-^- , будет и функция t'12 передаточного отношения. Для ведомого колеса можно сделать аналогичное заключение:

г2 должно быть функцией периодической, с периодом — , где /:.» —

"г

целое число.

272

§ 10.3. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КОЛЕСА И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ

Два равных эллипса с осями вращения, совпадающими с фоку­ сами, могут быть приняты за центроиды некруглых зубчатых колес, создающих определенную функцию передаточного отношения. В том, что приведенные выше условия (10.1) и (10.4) качения без скольже­ ния центроид в случае эллипсов удовлетворяются, нетрудно убе­ диться.

От точки Ра соприкосновения эллипсов

(рис. 10.2)

отложим

равные дуги

РаВ и Р0С и проведем в точках

В и С касательные

tytv и /2 /2

к

эллипсам.

 

 

на линию

При повороте центроиды / на угол ц>у точка В попадет

центров.

 

 

 

 

 

Условия чистого качения будут удовлетворены, если точка С

при этом

совпадет с точкой В и если

касательная к

эллипсам

в точке Р0, с которой должны совпасть точки С и

В, будет

общей.

 

 

 

 

 

Так как полуоси и расстояния между фокусами у эллипсов

одинаковы, то при равных <иР0В и <JP0C

будут также равны гх — г'г

и г2 = г\.

Кроме того, углы, образуемые касательными с радиусами-век­

торами г2 и г[ точек эллипсов, а также гх и г'г одинаковы,

поэтому

ц , = 1 8 0 ° - і і 8 .

(10.9)

Если длина большой полуоси а, то

 

г'і + Г! = rj -f- г2 = гу + г2 = 2а

 

или

 

Гу + г ^ А

(10.10)

Равенства (10.9) и (10.10) показывают, что два одинаковых эл­ липса, касающихся вершинами и вращающихся вокруг одинаковых полюсов, катятся один по другому без скольжения.

Рис. 10.2. Эллиптические зубчатые колеса

273

Смотрите также файлы