Файл: Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 440

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

вектор v = [щі]. Вектор V имеет направление, перпендикулярное к плоскости расположения осей AtAt и А[А[, и определяет скорость поступательного движения первого звена преобразован­ ного механизма в направлении, перпендикулярном к плоскости

расположения

осей

АхАг

и

А\А\\

I — гг + г2

— кратчай­

шее расстояние между осями АхАг

и

В„В2.

 

 

Угловая скорость ш1 2 первого тела при вращении вокруг оси

С'С,

связанной

с ним, определяется

как

диагональ

параллело­

грамма, построенного

на векторах %

и —й«:

 

 

 

 

C ù 1

2 = ] / C ù j +

Cùj +

2(B1CÛ2C0S ô,

(11-1)

где 8 — угол скрещивания

осей.

 

 

 

 

Углы

и ф2

между векторами угловых скоростей

cDj и и 2 , а

также — ©2

и ö 1 2 , направленных

соответственно вдоль

осей А\Аи

С'С

и В2В2,

могут

быть

определены

(рис. 11.7) из

выражений

,со > sin б

*Cû[ + Ш., COS Ô

,Ш, Sill Ö

sin 6 >

I 1 2 +

COS ô '

!,o Sl'n Ô

/1 1 n\

іЁФ»= г

г = i I " т~>

О»-2)

0 1 -

û)., -f- Cüj COS 0 I l+l,oCOSO

v

'

Вектор v = UoJ] скорости точек оси АхАг при вращении отно­ сительно оси А\А\ разложим на направление оси С'С и направле­

ние,

перпендикулярное

к последней. Имея в виду, что угол между

осью

С'С

и вектором

ѵ равен 90° — ф ь

получаем

 

 

Ѵ2 =

Ѵ C O S ф1 = Ш1/ СОБф!

II

Vi — V S i n ф = ЩІ S i n фі.

 

Так как

 

Sin фі

 

 

 

 

 

 

 

 

Wo

 

 

 

 

 

 

 

Sin 5

Q)]2

'

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ü = = / ^ s i n o .

(11.3)

Вектор

дает представление о скорости скольжения тела

вдоль

оси С'С

или любой другой оси, ей параллельной.

 

Первое тело можно представить себе такжевращающимся с угло­

вой скоростью со,2 вокруг мгновенной

оси СС, положение

кото­

рой

нужно

определить.

 

 

 

 

Этот вопрос может быть легко решен, если иметь в виду, что

скорость

02

является не чем иным, как скоростью точек оси

С'С,

связанной с телом /, при ее вращении вокруг параллельной ей

мгновенной

оси СС, т. е.

 

 

і>2 = ш1 2 г2 =а>1 / cos срх.

(П-4)

Этот же результат можно получить при параллельном

переносе

вектора о)а 2

с мгновенной оси СС относительного вращения

первого

280

и второго тел на параллельную ей ось С С. Действительно, произ­ ведя указанный перенос Еектора w1 2 в точку В, необходимо прило­ жить вектор ѵг = [ш1 2 г2 ].

Используя равенство (11.4), определяем расстояния г2 и гх между осью СС мгновенного относительного вращения и заданными осями

вращения А1А1

и В2В2

первого и второго тел

 

 

 

 

 

г2

=

^ с о 5 ф і

;

 

 

(11.5)

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

= / — г2 = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соІ 2 — ft>i cos щ

 

 

 

 

 

 

 

 

Wj2

 

 

 

Из отношения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sin

фх

û>2

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

б

Cû1 2

 

 

 

 

 

определяем sm

ф1 ( следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

F 1

/ м а

sin б \ 2

 

 

 

Подставляя

полученное

значение

cos срх в

уравнение

(11.5),

пользуясь уравнением (11.1),

имеем

 

 

 

 

 

 

/о»! -1 Г j

/Û ) . 2 sin ô \ 2

 

j mt (tO] +

<a2 cos ô) _

 

 

 

,

•

. Cû2

(w-j + C^COS 6)

 

 

 

 

Гг — 1-Г2

— 1

^

 

.

 

 

 

Отсюда следует, что ось СС мгновенного относительного

враще­

ния делит расстояние / между осями в отношении

 

 

 

гі

_ _ .

M 2 + » » i cos 8

_

tg ф і

 

 

( 1 1 6 )

 

Га

Щ '

&),+(!>.; COS б

tgft'

 

 

'

Из изложенного следует,

что при вращении двух

находящихся

в непосредственном соприкосновении тел вокруг

непересекающихся

осей с угловыми скоростями ю1 и <в2

их относительное движение

состоит из вращения

вокруг

мгновенной оси СС, делящей расстоя­

ние между осями АХАХ

и В2В2 в отношении, выраженном формулой

(11.6), и скольжения

вдоль оси СС со скоростью vlt

определяемой

равенством (11.4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя

равенство (11.6), можно

 

установить также

вид по­

верхностей, которыми следует ограничить тела, служащие для передачи вращательного движения непосредственным соприкосно­ вением.

При неизменном положении осей АХАХ и В2В2 углы

ц>х и <ра

остаются постоянными, следовательно, при заданном і1 2 =

const ось

СС мгновенного вращения в относительном движении остается той же. В таком случае тела, передающие вращательное движение,

281

должны быть ограничены линейчатыми поверхностями, общая образующая которых совпадает с направлением мгновенной оси СС. Поверхностью, удовлетворяющей этому условию, является гипер­ болоид вращения, полученный вращением вокруг данных осей

АгАх или В2В2 мгновенной оси СС относительного вращения, обра­

зующей с ними неизменные углы срх и ф3 и находящейся от них на кратчайших расстояниях гх и г2. Горловые сечения гиперболоидов имеют радиусы і\ и г2.

Радиус любого круга, параллельного

горловому сечению гипер­

болоида,

равен

 

 

 

# = У / - 2 + ^ 5 І П 2 ф >

где b

длина

образующей, определяющей положение параллель­

 

ного

круга;

 

Ф — угол

между осью и образующей

гиперболоида.

Движение между заданными осями при помощи гиперболоидальных катков (см. рис. 11.1) может передаваться только при наличии трения между ними, возникающего на линии касания под действием прижимающей силы, и, следовательно, при некоторых условиях может быть неопределенным. Неопределенность в передаче движения будет исключена в том случае, если гиперболические катки будут снабжены зубьями. В качестве боковых поверхностей рабочей части

зуба использованы линейчатые

поверхности того же типа,

что и

гиперболоиды,

которые

должны

быть

взаимно огибаемыми,

т. е.

сопряженными.

Касание

зубьев

будет

происходить по линиям,

что благоприятно сказывается на распределении удельного давле­ ния и, следовательно, на величине износа.

Поверхности, очерчивающие рабочие части зуба, должны иметь

линию

пересечения с гиперболоидом

вращения, совпадающую

с его образующей.

 

Если

оси гиперболоидов сделать

параллельными, т. е. угол

скрещивания осей принять равным нулю, то гиперболоидальная передача обращается в подробно рассмотренную выше передачу круглыми цилиндрическими зубчатыми колесами, потому что ка­ ждый из двух гиперболоидов обращается в цилиндр.

В случае пересечения осей расстояние / между ними обращается в нуль и вместо гиперболоидов получаем конусы. Таким образом, и коническую зубчатую передачу, служащую для передачи враща­ тельного движения между пересекающимися осями, можно также рассматривать как частный случай гиперболоидальной передачи.

§ 11.3. ВИНТОВЫЕ ЗУБЧАТЫЕ КОЛЕСА

Для передачи вращательного движения между скрещивающи­ мися валами получили широкое распространение приближенные гиперболоидальные зубчатые колеса, известные под названием винтовых или геликоидальных зубчатых колес. Последнее назва-

282

ние им присвоено

в соответствии с той линейчатой поверхностью

(развертывающимся геликоидом), при помощи которой очерчи­

ваются боковые стороны зубьев. Рассмотрим сначала некоторые ки­

нематические параметры, характеризующие работу этой зубчатой

передачи.

 

 

 

 

 

 

В передаче

из

винтовых колес начальные цилиндры радиусов

Гу и г2

касаются в точке Р0,

лежащей на общем

перпендикуляре

к осям

АА

и

ВВ

(рис.

11.8).

 

 

Пусть

Ѵ]_

=

C Û ! ^

и ѵ2

= co2r2 — окружные

скорости начальных

цилиндров.

 

 

 

 

 

 

Векторы окружных скоростей, расположенные в общей каса­ тельной плоскости к начальным цилиндрам, разложим на напра­ вление оси скольжения зубьев СС и нормаль к последней. Нор­ мальные составляющие окружных скоростей начальных цилиндров должны быть равны, т. е.

Ш 2 Г 2 COS ß 2 — ffljTj. cos ß i .

Скорость скольжения точек профилей, лежащих на начальных цилиндрах, одна относительно другой определяется суммой

Асы = Vi Sin ß i - f 0 2 Sin ß 2 .

(11.7)

Вектор скорости скольжения лежит в плоскости,

нормальной

к кратчайшему расстоянию между осями и проходящей через по­ люс Р0, т. е. вектор о с к лежит в общей касательной плоскости к на­ чальным цилиндрам. Эту скорость не следует смешивать с полной скоростью скольжения зубьев, потому что первая представляет собой только одну из составляющих второй.

Если число зубьев сопряженных винтовых колес гх и z2, то зубья

делят окружность начального

цилиндра на соответствующее число

z равных частей, называемых торцовым шагом. Торцовые шаги двух

работающих в паре винтовых

колес могут быть различными, но

они должны находиться между собой в определенном

отношении.

A

A

A

Рис. 11.8. Кинематика винтовых зубчатых колес

283

Зацепление винтовых колес

будет возможно, если расстояния

между правыми или левыми

профилями, измеренные вдоль навер­

нутой на начальные цилиндры нормали к мгновенной оси сколь­

жения СС, будут одинаковыми.

 

Короче

говоря, винтовые колеса,

находящиеся- в зацеплении, должны иметь одинаковый

нормальный

шаг.

 

 

 

 

 

 

 

Из рис. 11.8 следует, что между нормальным и торцовым шагом

каждого

из винтовых

колес должна

существовать связь:

 

l!,1

= l ' n C O S ß i =

! ! s a C O S ß 2 .

 

Так

как длина окружности

каждого

из начальных

цилиндров

соответственно равна

 

 

 

 

 

 

 

z1tsl

= 2nr1

и

z2ts2 =

2nr2,

 

ТО

 

 

 

 

 

I

 

 

 

ri = V s t

_

Ч cos ß a

 

. . . „.

Передаточное отношение винтовых колес через число зубьев выражается так же, как и в случае цилиндрических зубчатых колес:

Если же принять во внимание формулу (11.8), то передаточное отношение винтовых колес можно выразить через радиусы началь­

ных цилиндров

следующей

формулой:

у

Полученное

выражение

показывает,

что в винтовой передаче

с одинаковыми начальными цилиндрами передаточное отношение

может

быть

отличным

от единицы, если ß x Ф

ß 2 . При, ß i -f- ß 2 =

= 90°,

когда

передача

движения производится

между осями, пере­

крещивающимися под прямым углом, передаточное отношение ста­

новится

равным следующей величине:

 

 

/ « ^ t g ß x .

(11.10).

Если

ßj, = — ß , , то угол, скрещивания

осей равен нулю, и вин­

товая передача обращается в передачу цилиндрическими зубчатыми колесами с косым зубом.

Очерчивание боковых поверхностей зубьев винтовых зубчатых колес производится так же, как и в случае цилиндрических зубча­ тых колес с косыми зубьями, при помощи развертывающегося ге­

ликоида, образуемого

прямой линией, взятой на касательной

к основному цилиндру

плоскости. Для получения 'сопряженных

профилей зубьев прямые на производящих плоскостях произвольно выбирать нельзя. Прямая, произвольно выбранная на производя-

284

/

Смотрите также файлы