или, введя вместо коэффициента трения угол трения р, получаем формулу для определения силы Р на рукоятке:
P = ^ p Q t g ( a 4 - p ) . (18.36)
При противоположном на правлении движения винта эле ментарные силы трения меняют направление, а это соответствует изменению знака угла трения р. Заменив в выражении (18.36) р на — р, получаем в этом случае следующую формулу:
Р = 2^Qtg(a — р). (18.37) |
Р и с _ , 8 , 0 Трение на винте |
Выведенными формулами можно воспользоваться для определе ния силы Р, которую следует приложить для вращения винта с ост роугольной нарезкой или червячной передачи, если силы трения вычислять по так называемому приведенному коэффициенту трения
|
|
fi |
(18.38) |
|
|
cos ß ' |
|
|
|
где ß — половина угла профиля |
нарезки |
(рис. 18.11). |
Сравнивая |
полученные формулы (18.36) и (18.37) для случаев |
завинчивания |
и отвинчивания винта с формулами (18.31) и (18.33) |
для подъема |
и опускания тела |
по наклонной плоскости, видим |
|
|
2аР |
|
полное их совпадение, если силу |
Р' — — |
отнести к средней винто- |
вой линии. Очевидно, что в таком случае и условия самоторможения
|
|
|
|
|
|
|
|
винта и наклонной плоскости будут совпадать, т. е. |
|
винт будет самотормозящимся, если угол подъема |
|
средней винтовой линии меньше угла трения. |
|
В большинстве винтов, как, например, в кре |
|
пежных |
болтах, |
в винтах грузоподъемных |
машин |
|
и др., а иногда |
и в червячной передаче, |
должно |
|
быть удовлетворено условие самоторможения, при |
|
котором гайки в болтовых соединениях не будут |
|
отвинчиваться под действием осевых сил, а в чер |
|
вячной |
передаче — под действием момента, |
прило |
|
женного к червячному |
колесу, не будет |
вращаться |
|
червяк. Это требование удовлетворяется, |
если угол |
Рис 1 8 П Тре- |
п ° Д ъ е м а |
средней винтовой линии а > р. |
|
угольная ' на- |
Увеличения |
угла подъема винтовой линии са- |
резка |
тормозящегося |
винта |
при данном коэффициенте |
412
Р и с 18.12. Трение в цапфе с за-
зором
Q
Часть вала, трущаяся во втулке подшипника, носит название цапфы. Если цапфа располагается где-либо в промежутке между концами вала, то ее называют шейкой, а при расположении ее на конце вала — шипом.
При относительном скольжении элементов кинематической пары на трущейся поверхности под действием нормальной силы возникает распределенная или сосредоточенная на линии касания поверхно стей сила трения, направленная по касательной к окружности цапфы. Величину сопротивления, появляющегося при вращении различных цапф, можно сравнивать по значению момента сил тре ния относительно оси цапфы, зависящего от закона распределения давления по опорной поверхности, наличия зазора между поверх ностями, качества изготовления поверхностей и их состояния, от материалов цапфы и вкладыша и др. Ниже рассмотреныслучаи сухого и полусухого трения элементов вращательной пары при на личии зазора между цапфой и вкладышем, а также трения во враща тельной паре с приработавшимися поверхностями.
При наличии зазора между втулкой и цапфой, реакцию, дейст вующую со стороны Етулки на цапфу, можно считать распределен ной по линии касания цилиндрических поверхностей, а их равно действующую — приложенной в некоторой точке линии касания. В дальнейшем будем полагать, что полная реакция приложена
в точке А касания окружностей, представляющих собой поперечное сечение поверхностей втулки и цапфы (рис. 18.12).
При установившемся движении цапфы во вкладыше полная реакция может быть разложена на нормаль ную составляющую N, проходящую через центры втулки и цапфы, и силу трения F = iiN, направленную по ка сательной к окружности цапфы про тивоположно скорости скольжения ее во втулке.
Точка' А касания окружностей цапфы и вкладыша смещена относительно линии действия внешней силы Q, прижимающей цапфу к втулке,
трения ц можно достигнуть путем наклона винтовой поверхности относительно оси винта на угол 90° — ß, вследствие чего увели чивается нормальная сила, а следовательно, и сила трения. Угол трения может быть определен через приведенный коэффициент трения.
§13.6. ТРЕНИЕ ВО ВРАЩАТЕЛЬНОЙ ПАРЕ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАЗОРА МЕЖДУ ЦАПФОЙ И ВКЛАДЫШЕМ. КРУГ ТРЕНИЯ
на величину плеча h, зависящего от коэффициента трения и. и радиуса г цапфы. . Нетрудно представить, что при неподвижной цапфе ее центр занимает наиболее низкое положение и линия дей
ствия силы |
Q проходит через точку касания |
окружностей |
цапфы |
и втулки, потому что при отсутствии скольжения сила трения F = О, |
и полная |
реакция направлена вдоль линий |
центров и |
втулки. |
Прикладывая к цапфе внешний момент М, заставим ее катиться по втулке до тех пор, пока не появится скольжение; при этом точка касания втулки и цапфы переместится в точку А. За время перека тывания цапфы в пределах дуги ВА касательная составляющая пол ной реакции изменится от нуля до своего предельного значения,
равного |
силе кинетического трения F = \іМ. Рассматривая усло |
вия равновесия цапфы, можно заключить, что полная |
реакция R |
и сила Q образуют пару сил, а нормальная составляющая N полной |
реакции |
с линией действия силы Q составляет угол, равный углу |
трения |
р. |
|
|
Вследствие того, что нормальная составляющая N полной реак |
ции проходит через центр цапфы, внешний момент М, |
приклады |
ваемый к цапфе, равен моменту силы трения F относительно оси |
вала: |
|
|
|
|
MF=rF=LiNr. |
(18.39) |
Полная реакция R может быть выражена следующим равенством: |
или |
R = yN* |
+ F2 = N ] / l + U 2 |
|
|
|
|
Заменяя N в выражении |
(18.39) для момента сил трения, имеем |
|
Mf=Hffe- |
(18-40) |
Как это следует из.рис. 18.12, момент сил трения можно предста вить так:
Mp=Qh. (18.41)
Сравнивая формулы (18.40) и (18.41), находим
+ 2
или, пренебрегая у по сравнению с единицей, получаем оконча тельно
Плечо h, перпендикулярное к линии действия полной реакции R, зависит только от размеров цапфы и коэффициента р трения, т. е. является константой для данной цапфы.
При кинетостатическом расчете механизмов направление полной реакции R неизвестно, поэтому нельзя указать заранее, каково положение точки А касания цапфы и втулки. Однако, вычислив по заданным \х и /' плечо h и описав окружность из центра цапфы ра диусом, равным h, можно направить по касательной к ней полную реакцию R; ее величина и линия действия определяются в результате кинетсстатнческого расчета элементарной статически определимой группы. Круг, имеющий радиус, равный Ii, получил название круга трения.
При кинетостатическнх расчетах, производимых с учетом сил трения в шарнирах, полную реакцию в шарнире считают проходя щей не через центр шарнира, а направленной по касательной к кругу трения, радиус которого определяют по формуле (18.42).
Если цапфа должна быть самотормозящейся, то полная реакция должна проходить внутри круга трения, потому что только в этом случае касательная составляющая полной реакции R будет меньше р/Ѵ и, следовательно, угол между силами N и R будет меньше угла трения. Это приводит к тому, что сила, стремящаяся вывести цапфу из равновесия, проходит внутри угла трения, т. е. движение, как это было показано выше при рассмотрении движения тела по пло скости, невозможно.
Самотормозящиеся цапфы широко используют при устройстве эксцентриковых зажимов в приспособлениях, позволяющих быстро закреплять и освобождать обрабатываемые на станках изделия, и в других случаях.
Пример 18.1. Определить эксцентрицитет е эксцентрикового зажима задней бабки токарного станка (рис. 18.13, а), если радиус цапфы гх = 20 мм, радиус эксцентрика г, = 25 мм и коэффициент трения и, = 0,1. Эксцентриковый зажим должен быть самотормозящимся при любом положении эксцентрицитета.
Рис. 18.13. Эксцентриковый зажим
Р е ш е н и е . Находим радиусы h± и /і2 кругов трения для цапфы и эксцен трика:
|
Л 1 |
= | л п = 0,1 -20 = |
2 мм; |
|
|
|
Л2 = |
дг 2 = |
0,1 • 25 = |
2,5 мм. |
|
|
Для выяснения пределов, в которых можно выбирать эксцентрицитет е |
самотормозящегося |
эксцентрикового |
зажима, |
предположим, |
что е > }ц + |
h2 |
(рис. 18.13, б). Сила |
Q, действующая вдоль стержня, равна сумме реакций |
R± |
и R2, т. е. Q = /?х + |
#2 , и направлена вертикально, поэтому |
при е > hx + |
/г2 |
ее линия действия будет касаться круга радиуса /г2, но не будет проходить внутри круга трения радиуса hlt если эксцентрицитет расположен горизонтально, т. е. цапфа эксцентрикового зажима не будет самотормозящейся при горизонтальном положении эксцентрицитета е. Повернув цапфу на некоторый угол так, чтобы общая касательная к кругам трения эксцентрика и цапфы была вертикальна, найдем границы самоторможения эксцентрикового зажима. На рис. 18.13, б показан угол 2ß, располагая в пределах которого эксцентрицитет е, получим
самотормозящийся эксцентрик. Угол |
2ß может быть |
определен из равенства |
|
• |
по |
/'і + Лг |
|
|
|
sin |
2ß = — — - . |
|
|
|
|
r |
e |
|
|
Для получения самотормозящегося эксцентрикового зажима при любом |
положении эксцентрицитета е необходимо принять ß = |
90°, при котором |
hx + |
+ /і2 = |
е, т. е. поставленное выше условие будет удовлетворено, если е < hx |
-f- /і2 |
или е < |
4,5 мм. |
|
|
|
|
Если нужно воспроизвести в эксцентриковом зажиме больший эксцентри цитет при тех же условиях, то следует увеличить радиус цапфы или эксцентрика.
§18.7. ПРИМЕНЕНИЕ КРУГА ТРЕНИЯ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ МЕРТВЫХ ПОЛОЖЕНИЙ МЕХАНИЗМА
Мертвым называется такое положение механизма, при котором его звенья лишены возможности перемещаться вследствие тормозя щего действия сил трения. В мертвом положении механизм нахо дится в состоянии самоторможения, т. е. движение механизма невоз можно при любых значениях движущей силы. Следует иметь в виду, что механизм может не иметь мертвых положений, если движущую силу прикладывать к соответствующему звену механизма. Напри мер, кривошипно-ползунный механизм будет иметь мертвые поло жения в том случае, если движущая сила прикладывается к поршню; мертвые положения в нем отсутствуют, если момент сил приклады вается к кривошипу.
Покажем на конкретных примерах определение мертвых положе ний механизма.
На рис. 18.14 приведена схема кривошипно-ползунного меха низма, на поршень которого действует движущая сила Q.
Предположим, что размеры цапф В и С таковы, что моментом сил трения их можно пренебречь, а в цапфе А момент трения опре деляется реакцией Р41 и радиусом hA круга трения, равным hA =
=f i r д .
При трогании механизма сила Р, передающаяся от поршня к кривошипу, действует вдоль шатуна. Реакция Рл в шарнире А параллельна силе Р и направлена по касательной к кругу трения,
