деформацию в направлении действующей на каждый из шариков силы можно принять также изменяющейся по закону косинуса, т. е. можно считать, что
AI = A 0 C O S Y ; /V2 = A.0 COS2Y.../\,„ = A,0 COS/ZY. |
(19.10) |
Для шариков, катящихся в желобе, можно принять следующую зависимость между силой и деформацией:
1 3 |
1 3 |
1 3 |
(19.11) |
^ |
= - ^ = - £ V = .. . = const. |
Совместное решение уравнений (19.10) и (19.11) дает для сил, воспринимаемых шариками, следующие значения:
_з
=cos2 у;
P2 = p 0 cos 2 2 Y . . . P „ = P 0 C O S 2 ny. |
(19.12) |
Проектируя каждую из сил Pt на направление силы Q и прирав нивая сумму проекций сил РІ к внешней силе Q,-, получаем после упрощений
Q = P 0 \ l + 2 c o s 2 Y + 2COS"2 2Y + ... + 2 COS 2 ny)' (19.13)
Для числа шариков от 10 до 20 выражение, стоящее в скобках в формуле (19.13), можно считать в среднем равным г:4,37.
Если есть влияние радиального зазора и прогиба колец, то выра жение, стоящее в скобках в формуле (19.13), можно принять равным
В таком случае сила, действующая на наиболее нагруженный ша рик, может быть определена по формуле
а сила, действующая на любой шарик, расположенный относительно максимально "нагруженного в пределах угла ± 9 0 ° , — по формуле
Вслучае роликового подшипника отношение деформации ролика
ксиле, действующей на него, может быть выражено формулой
-p7 = -pf = p7 = -.. = const, |
(19.16) |
что совместно с формулами (19.10) дает возможность выразить силу, действующую на каждый из роликов:
pi = |
PoCOSy- |
p 2 = = p o C O S 2 Y ; |
|
Pn = P0COSny. |
(19.17) |
Условия |
равновесия |
внутреннего |
кольца дают |
|
Q = P0 |
+ 2P1cosy |
+ 2Р2 cos 2у +... + 2Рп cos пу |
|
или после подстановки значений Рг, |
Р2, |
Рп |
|
Q = р0 |
(1 + 2 cos2 у + 2 cos2 2 Y |
+ . . . + 2 cos2 ny). |
(19.18) |
Выражение в скобках для числа роликов от 10 до 20 может быть
принято приближенно р а в н ы м - ^ - , |
поэтому |
|
4 |
4,6 |
|
|
или |
|
|
|
Яо = і т 5 |
- . |
(19.19) |
Таким образом, сила, воспринимаемая каждым из нагруженных
роликов, может быть определена по формуле |
|
Pl = i | l c o s / v . |
(19.20) |
Теперь перейдем к определению момента, который нужно при ложить к внутренней обойме для преодоления сопротивления при * качении шариков или роликов. К каждому из роликов или шариков радиуса г со стороны внутренней обоймы должна быть приложена
касательная сила F,-, момент которой равен моменту реакции при качении ролика по обоймам
2 / Ѵ = 2 Р Д
откуда
Для преодоления момента силы Fi и момента реакции Р; при наличии только одного шарика к внутреннему кольцу должен быть приложен момент (рис. 19.6, б)
Mi = Fi^- + |
PiÔ^Pi8[l+-^), |
|
где -^- — радиус желоба внутреннего |
кольца, по которому |
катятся |
шарики или ролики. |
|
|
Суммируя все моменты М{, получим полный момент MF, |
который |
нужно приложить к валу для преодоления сопротивления при каче нии шариков или роликов по обоймам:
M f = ô ( l |
+ - £ - ) ( P 0 + 2P1 |
+ 2P2 |
+ . . . - f 2P,,) = ô ( l |
+ - 2 ~ ) Р . |
(19.21) |
Арифметическая сумма Р реакций, действующих на шарики |
подшипника, |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р=Р0Л |
-f-2 cos2 |
Y + 2 cos2 |
2Y-b---r-2cos~2 пу)' |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
3 |
3 |
|
|
3 |
\ |
|
|
Р |
( 1 + 2 cos"2 у + 2cos~2 2 у - Ь . .-f-2 cos пу) • |
(19.22) |
Арифметическая сумма реакций, действующих на ролики под |
шипника, |
Р ^ |
І ^ - (1 + 2 cos у + 2 cos 2y +... + 2 cos пу). |
(19.23) |
|
Сумма |
тригонометрических |
функций, |
заключенная в |
скобки |
в выражении |
(19.22), |
приближенно |
может быть |
принята |
равной |
|
|
|
1 |
|
і |
2Y + |
|
|
|
|
|
1 + 2 c o s 2 |
Y + 2COS'2 |
. . . ^ ~ |
, |
|
асумма, стоящая в скобках в выражении (19.23), равной —.
Всоответствии с этим, арифметическая сумма реакций, прило женных к шарикам, может быть определена по формуле
Р ш — ~~ • 3~g = 1AQ — A uiQ-
Аналогично для роликового подшипника
P P = ^ - £ = - l , 4 6 Q = M p Q .
Теперь нетрудно момент трения Мр выразить через заданную нагрузку на подшипник. Заменяя Р в формуле .(19.21) найденным значением, имеем
MP=AQô{l+~). (19.24)
Момент сил сопротивления шарикового подшипника можно представить в такой же форме, как и момент трения цапфы, т. е.
MF=iimQ^, |
|
(19.-25) |
где цш — приведенный коэффициент |
трения, |
равный |
ц ш = ^ і ( і + |
| - ) . |
(19.26) |
Аналогичное выражение получаем для роликового подшипника. Сравнивая выведенное выражение для момента трения подшип ника качения с выражением (18.39), находим, что сопротивление подшипника качению будет меньше, чем трение в цапфе, если
н-ш < F> т - е - если
|
И>^И-(і+-£-). |
(1 9 -27) |
где d — диаметр |
цапфы; |
|
D — диаметр |
беговой дорожки внутренней |
обоймы; |
г— радиус шарика;
А= 1,4 или А = 1,46 соответственно для шарикового или ро ликового подшипника.
