Файл: Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов.pdf

§ 23.1 КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МЕХАНИЗМА И РАБОТА СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В МАШИНЕ

В движении каждое из звеньев механизма обладает определен­ ной кинетической энергией, зависящей от массы звена, ее распре­ деления, от скорости центра тяжести и угловой скорости звена. При определении кинетической энергии звеньев механизма необ­ ходимо принимать во внимание характер движения звена: посту­ пательное, вращательное или сложное.

Если выделенное звено і механизма имеет массу пи, момент инерции JSi относительно оси, проходящей через центр тяжести S,-, скорость центра тяжести vsi и угловую скорость звена со,-, то его кинетическая энергия Еі может быть вычислена по формуле

(22.1)

При поступательном движении звена угловая скорость ш,- равна нулю, поэтому в выражении (22.1) сохраняется только первое сла­ гаемое. Кинетическая. энергия звена, вращающегося вокруг не­ подвижной оси, проходящей через центр тяжести Si, выражается вторым членом уравнения (22.1). При вращении звена вокруг оси О,, смещенной относительно центра тяжести на расстояние rsi,

ш? т

кинетическая энергия его £j=-g-«/o. где

Joi=Jsi + nirlt.

Если в механизме имеется k звеньев, то их кинетические энер­ гии складываются, и для кинетической энергии механизма можно написать выражение

Е = Е1-\~Еі-\-,,.-}-Еь

450

или, подставляя значение каждого из слагаемых, можно получить

к„ k

11

Впервой сумме выражения (22.2) исчезают слагаемые, соответ­ ствующие звеньям, вращающимся вокруг осей, проходящих через центр тяжести, а во второй сумме — слагаемые, соответствующие звеньям, совершающим поступательное движение.

Вмеханизмах с двумя степенями свободы кинетическая энергия механизма является функцией двух независимых скоростей. Для упрощения выражения кинетической энергии механизма с двумя степенями свободы целесообразно каждое из звеньев, как физиче­ ское тело, заменить системой размещенных в шарнирах дискретных масс. Тогда после определения скоростей каждой из точек меха­ низма можно без труда вычислить кинетическую энергию через угловые скорости двух начальных звеньев.

Пусть дан механизм (рис. 22.1, а) с начальными звеньями 1 и 2.

Предположим сначала, что угловая скорость ©2 = 0, а юх = 1. Тогда, приняв вектор скорости ѵА = /о,л = ід с помощью плана скоростей, найдем значение скорости точки В (вектор iß,). Если

щф\, то, умножив вектор івх на colt получим вектор ѵв1 = t's,^.

Аналогичное построение мож«о выполнить при условии, что

(оц = 0, а а>2 = 1. В результате определится вектор ѵв,.

Если одновременно отличны от нуля щ и а>2, то вектор скорости точки В определится как геометрическая сумма векторов ѵв1 (при toa = 0) и ѵв, (при щ = 0), т. е.

ляется из плана единичных скоростей. Действительно, так как (рис. 22.1, б)

іЪ = ів1 + ів, -f 2іВіів, cos іВіів,,

то

2/'в,/д, cos ÏBJB, = i% — (ißt + ів,).

Можно убедиться в том, что для скорости любой точки меха­ низма можно получить аналогичное выражение, если при помощи единичных планов скоростей, построенных сначала для % = 1 и

и» = (o\t\ + шЦо, + 2(ù1<ù2iXliXt cos О*, •

Имея возможность представить скорость каждой из точек меха­ низма, в которой сосредоточены дискретные массы, заменяющие

Рис. 22.1. Определение передаточной функции механизма с двумя степенями свободы

массы звеньев, в функции щ и со.,, выражение кинетической энергии можно представить в форме

Если на звенья механизма не действуют никакие внешние силы (движущие, технологического сопротивления, механического со­ противления) и работа внутренних сил равна нулю, то кинетиче­ ская энергия механизма остается постоянной (Е = const).

В реальных механизмах, выполняющих заданные функции в ма­ шинах, к ведомым звеньям прикладываются силы технологического сопротивления, к ведущим — движущие силы, а к отдельным звеньям механизма — силы тяжести, механические сопротивления Б виде сил трения на элементах кинематических пар, аэродинамиче­ ские сопротивления и др. Каждая из перечисленных сил произво­ дит работу положительную или отрицательную, а зависимости от ее направления относительно скорости точки приложения силы. Как правило, силы, приложенные к ведущим звеньям, производят положительную работу, а силы, приложенные к ведомым звеньям, и силы технологического сопротивления — отрицательную.

Изменение кинетической энергии механизма равно работе внеш­

452

К внутренним силам, действующим в механизме, следует отнести силы трения на элементах кинематических пар, силы упругости деформируемых звеньев и др. В подавляющем числе случаев рабо­ той внутренних сил пренебрегают. Однако в ряде машин этого сде­ лать нельзя. Например, расчет рессорного молота, включающего пружинящее звено, нельзя выполнить без учета изменения энергии деформации. Расчет механизмов транспортера перегрузочных мо­ стов без учета сил трения в шарнирах цепи (внутренние силы) производить нельзя, потому что ввиду особых условий работы цепей момент трения велик.

Взависимости от закона изменения сил, действующих в машине,

иизменения скоростей точек звеньев соответствующим образом

будет изменяться кинетическая энергия механизма.

§ 22.2. ПРИВЕДЕНИЕ МАСС И СИЛ

При анализе работы машины и определении закона движения начального звена механизма с одной степенью свободы удобно оперировать не действительными массами, которые движутся с пе­ ременными скоростями, а массами, им эквивалентными, условно перенесенными на какие-либо из звеньев механизма. .Точно так же силы или моменты, приложенные к отдельным звеньям механизма, могут быть условно заменены силами или моментами, приложен­ ными к какому-либо звену механизма.

Аналогичная замена может быть сделана и в механизме с числом степеней свободы более чем одна, в результате которой вместо меха­ низма можно рассматривать движение эквивалентных масс, свя­ занных с начальными звеньями.

Метод замены масс и сил механизма массой и силой, им экви­ валентными, носит название приведения масс и сил. Звено, на ко­ торое переносятся массы и силы, называется звеном приведения.

Условием эквивалентности механизма и его приведенной массы является равенство их кинетических энергий. Вследствие того, что изменение кинетической энергии механизма равно работе внешних сил, работа приведенного момента сил или приведенной силы должна быть равна сумме работ приводимых сил и моментов. Это будет соблюдено, если для любого момента времени будут равны мощности приводимых и приведенной сил.

Формулированные здесь условия эквивалентности дают воз­ можность определить приведенную массу и приведенную силу.

Пусть в состав механизма входит k звеньев, тогда выражение для кинетической энергии всего механизма может быть записано так:

453