Перемножая все частные к. п. д., найдем
А*
= ЛиЛа • • • Ѣ,-1 k • (22.27)
Но отношение работы Ак мо мента сил сопротивления к ра боте Ах момента сил движущих равно полному к. п. д. машины, следовательно:
Ли — ШгЛгзТЫ... r\k-î, к- (22.28)
|
|
"ік |
|
и |
-im |
|
|
|
|
У/ШШ |
I |
|
|
шмш |
- я |
ш |
|
|
|
|
|
|
b |
|
1 |
a |
ѣ |
m |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
7Ш |
J j |
|
|
L |
|
m |
Каждый из частных к. п. д |
Рис. 22.5. Параллельное соединение |
меньше единицы, поэтому пол |
механизмов |
ный к. п. д. машины при после |
|
довательном соединении механизмов меньше единицы и меньше каждого в отдельности к. п. д. простого механизма.
Параллельное соединение. При параллельном соединении меха низмов (рис. 22.5) может быть два случая: от одного источника двигательной силы мощность передается нескольким потребителям, несколько источников параллельно питают одного потребителя. Рассмотрим первый случай.
Предполагая механизмы а, Ь, с и т. д. составленными из после довательно соединенных простых механизмов, на основании пре~ дыдущего можем написать
|
NJL |
ÄL |
|
•-Vim- |
|
Л* |
Nu |
Nu |
|
|
|
Полная мощность |
на ведущем звене машины |
Исходя из общего |
определения |
к. п. д. машины |
|
|
БЛГ _ Nk + |
N[+Nm+... |
(22.29) |
|
Ni - Nk_+NL |
+ NML + . . . ' |
7 1 |
|
Разделив числитель и знаменатель, например на Nk, формулу (22.29) приведем к виду
1 + ^ 1 + ^ 5 + ..
Для второго случая, при питании энергией одного потребителя от не скольких источников к, I, m и т. д., можно написать следующее:
1С
mm
Рнс. 22.6. Смешанное соедине ние механизмов
где Nkl, Nu Ny„ и т. д. — мощность, использованная на ведомом звене от
|
|
|
|
|
двигателей |
к, I, m |
и т. д. |
Полный |
к. п. д. |
в |
рассматривае |
мом случае |
выражается отношением |
|
|
Л ' і |
|
1 |
Nb |
+ Ni + |
Nm |
|
Nk |
+ Ni + |
(22.31) |
|
Nm |
Разделив числитель и знаменатель, так же как и в предыдущем случае, на Nk, получим
Смешанное соединение. Представим себе, что в машине от пер
вого до ("-го звена |
простые механизмы соединяются |
последова |
тельно, а от звена |
і получают ответвления |
цепи а, |
Ъ, с |
и т. д. |
(рнс. 22.6), |
|
і к звеньям |
к, |
I, m |
Рассматривая передачу мощности от звена |
и т. д., можно для |
параллельно присоединенных к звену |
/ |
меха |
низмов написать выражение для полного к. п. д. по формуле (22.30), а для случая передачи мощности от звеньев к, I, m к звену
і — по формуле |
(22.32). Пусть соответствующее |
значение |
к. п. д. |
будет т],-. При |
последовательном соединении |
звеньев от |
1-го до |
/-го путь |
к. п. д. будет |
т\и, определяемый |
по |
формуле |
(22.28). |
В таком |
случае |
полный |
к. п. д. при смешанном |
соединении будет |
выражаться равенством |
|
|
|
|
|
|
|
Л = |
|
|
(22.33) |
Рассмотренные случаи параллельного и смешанного соединений широко применяются в практике.
Глава |
К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т П О Л Е З Н О Г О Д Е Й С Т В И Я |
двадцать |
Ч А С Т Н Ы Х М Е Х А Н И З М О В |
третья |
|
§ 23.1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Указанное выше общее определение к. п. д. может быть кон кретизировано в частных случаях и, что особенно важно, могут быть получены формулы для определения к. п. д., выраженные через размеры звеньев и другие параметры механизма. В формулах для к. п. д. частных механизмов может быть также отображено качество изготовления трущихся поверхностей введением в расчет ные формулы коэффициентов трения, зависящих от обработки и материалов.
Следует отметить, что при вычислении к. п. д. частных меха низмов не принято различать технологического и других видов сопротивления. Если в механизме к ведущему звену приклады вается сила Л, а к ведомому — сила сопротивления Q, безразлично какого, технологического или вредного, то к. п. д. считается как отношение работы, производимой силой на ведомом звене, к работе на ведущем звене.
§23.2. КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ И ЕЕ МОДИФИКАЦИЙ
Одна из сил, действующих |
на тело, является силой движущей |
и, следовательно, производит |
полезную работу, вторая — силой |
сопротивления, на преодоление которой нужно затратить некото рую часть работы, производимой движущей силой. В процессе движения, кроме того, затрачивается некоторая часть работы дви жущей силы на преодоление сил трения.
К. п. д. наклонной плоскости зависит от того, движется ли тело вверх или вниз по наклонной плоскости.
Движение тела вниз по наклонной плоскости. Если тело по на клонной плоскости под действием силы G (рис. 23.1) переместилось
Рис. 23.1. Определение к. п. д. наклонной плоскости
вниз на расстояние s, то на преодоле ние силы Р затрачивается полезная работа
Ap=Ps cosß .
Полная работа, производимая силой тяжести G,
Л 0 = СЛ,
отсюда к. п. д.
Ps cos ß
Gh 1
Если |
принять |
во внимание, |
ч т о — = sin а и сила Р согласно |
уравнению |
(18.29) |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
P = G sin (а — р) |
' |
ТО |
|
|
|
|
|
cos(ß + p) |
|
|
|
|
|
cosß |
sin (а —р) |
(23.1) |
|
|
|
sin а |
cos (ß + |
|
Р) |
|
|
|
|
|
Полагая |
силу Р направленной горизонтально, т. е. считая, что |
ß = — а , |
получаем формулу |
|
|
|
|
|
|
|
1] |
_ t g |
( а - р ) |
|
|
(23.2) |
|
|
|
|
tg а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выше было указано, что наклонная плоскость самотормозящаяся,
если а =с р. |
|
|
|
Поэтому к. п. д. самотормозящейся |
наклонной плоскости, |
как |
это следует из выражения |
(23.2), меньше или равен нулю. Тем, что |
при самоторможении к. п. д. п sg: 0, |
можно пользоваться |
при |
оценке работы и других |
механизмов. |
|
|
Движение тела вверх по наклонной плоскости. При движении тела вверх по наклонной плоскости полезную работу производит сила Р, a G является силой сопротивления. Полезная работа AQ = Gh, а полная работа АР = Ps cos ß.
Отсюда к. п. д.
|
•ц |
|
Заменяя — |
sin а и Р-- |
„ sin (g + р) |
s |
формулу |
= U c o s ( ß - p ) ' |
ления к. п. д. |
|
sin а |
cos (ß — p) |
' c o s ß |
s i n ( a + p ) " |
(23.3)
получаем для опреде-
(23.4)
При горизонтально действующей силе Р соответствующее выра жение для к. п. д. получаем из формулы (23.4) заменой ß на — а:
|
t g а |
(23.5) |
|
tg ( а + р ) * |
|
|
Самоторможение возможно и в этом случае. Для определения
|
|
|
|
|
|
|
|
угла |
наклона самотормозящейся плоскости необходимо |
положить |
t] = |
0. Из |
формулы (23.5) следует, |
что ч\ — 0 при tg а |
= 0 или |
tg (а + |
р) = оо. Первое решение |
не имеет смысла, потому что |
при tg a |
= |
0 угол а = 0 и, следовательно, |
сила Р никакой полез |
ной |
работы |
не производит (Ch = 0), преодолевая |
лишь |
силу тре |
ния. Из tg(a + р) = оо получаем а + Р = у |
или |
— у — Р- |
Таким образом, наклонная плоскость при подъеме груза вверх |
самотормозящаяся, если угол подъема a = |
у — Р • |
|
|
К. п. д. является функцией угла подъема плоскости. Из усло вия, что к. п. д. равен нулю при углах подъема a = 0 и у — р = а,
надо полагать, что в промежутке между указанными значениями угла подъема к. п. д. имеет наибольшее значение.
Значение ат, при котором т] максимален, может быть определено
известным способом. Если |
|
приравняем нулю, то получим урав |
нение, из которого легко определяется |
am . |
|
|
|
|
|
При движении |
тела вверх |
по наклонной |
плоскости |
|
|
|
|
|
|
• |
d\\ |
_ |
d |
Г |
t g « |
I , . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
da |
— |
da|_tg(a + p) J |
|
|
|
|
|
Производя |
дифференцирование, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
а ц |
^ t g |
( a + P |
) ^ - t g a c |
o s |
^ + |
p ) |
|
|
|
|
|
da |
|
|
|
|
t g » ( a + p ) |
|
|
|
|
|
или отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t g ( « + p ) _ _ J g _ £ _ = o |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 a |
|
c o s a ( a + p ) |
|
|
|
|
|
Заменив |
тангенсы |
отношением |
sin |
и cos |
и |
приведя |
слагаемые |
к общему знаменателю, получим после |
преобразований оконча |
тельно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
sin 2 (a + |
р ) - s i n |
2а = |
0. |
|
(23.6) |
Уравнение |
(23.6) |
удовлетворяется |
только |
при условии, |
что |
2 (а + |
р) = л — 2а, |
потому |
что |
sin 2а = |
sin (я — 2а). |
|
Таким |
образом, |
максимальный |
к. п. д. |
соответствует |
углу |
подъема |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« » Н г ~ 2 - |
|
|
|
|
< 2 3 - 7 > |
При |
движении |
тела |
вниз |
по наклонной |
плоскости |
аналогично |
получаем максимальное |
значение к. п. д. при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а - = т + т- |
|
|
|
<23-8> |
