|
|
|
JO |
|
|
|
\x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 |
f/^jo |
x |
(го |
/зо |
|
|
|
|
|
|
|
|
&° |
) |
|
|
|
|
|
|
|
JA |
|
|
|
|
|
/10Л. |
/ |
|
|
|
60\- |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
' |
0 |
|
10 |
20 |
30 |
ifO |
50 |
60 |
7Q |
80 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-+90-ßnp |
|
|
|
|
|
|
|
|
— * - |
& |
Р и с |
23.8. Кривые изменения к. п. д. центрального |
кулачкового |
механизма |
денным выше формулам, если вместо угла трения р 1 2 на профиле кулачка ввести приведенный угол трения р ' 1 2 , определяемый из равенства
|
|
t g p i ^ T f |
+ T j - , |
(23.49) |
где R — радиус |
ролика; |
|
|
|
|
г2 — радиус |
цапфы ролика; |
каченин;_ |
|
ô — коэффициент |
трения |
при |
|
р, — коэффициент |
трения |
в цапфе |
ролика. |
|
§ 23.8. КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО |
ДЕЙСТВИЯ |
МЕХАНИЗМОВ |
С НИЗШИМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ПАРАМИ
Точный кинетостатический расчет механизмов с низшими кине матическими парами с учетом силы трения затруднен тем, что неизвестны силы трения, возникающие под действием искомых реакций. В том случае, когда при определении реакций учитываются силы трения, каждую из сил, действующую между элементами поступательно^ пары, нужно отклонить на угол трения, а во вра щательных парах направлять их по касательной к кругу трения. Такой метод расчета весьма сложен, поэтому на практике предпо читают пользоваться приближенными методами расчета.
Приближенный метод расчета обычно заключается в следующем: сначала определяют реакции в кинематических парах без учета
сил трения, а по ним находят силы трения. |
Работа появляющихся |
при |
относительном |
скольжении |
элементов |
кинематической пары |
сил |
трения определяет к. п. д. механизма. |
|
|
|
Допустим, что реакции в кинематических парах, |
определенные |
без |
учета трения, будут Р12, |
Р23 |
и т. д., |
а |
скорости |
скольжения |
элементов кинематических пар — ѵ12, ѵ23 |
и т. д. Тогда мощность |
трения, |
развиваемая |
в каждой |
кинематической паре, |
будет |
|
|
N 1 2 |
= |
uP1 2 i>1 2 , |
N23 |
= LlP23V23 |
|
и т. д., |
|
а общая |
мощность |
трения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NF=ZNik. |
|
|
(23.50) |
Если, кроме того, к звеньям механизма приложены силы сопро тивления Plt Р2 и т. д. и моменты сил сопротивления Ми М2, М3 и т. д., то полезно используемая мощность (эффективная мощность) может быть выражена равенством
А'э = £ PiVi cos а, + V м(щ. |
(23.51 ) |
Полная мощность, которую необходимо ввести в механизм, равна сумме мощностей, расходуемых на преодоление сил и моментов сил сопротивления и на преодоление сил трения на элементах ки нематических пар, т. е.
N = Nt + NP.
К. п. д. механизма, определяемый как отношение эффективной мощности к полной мощности, введенный в механизм, будет равен
" Ч = л П р ѵ 7 = TT* • |
(23.52) |
где
Полученное выше выражение для мощности трения NF не совсем точно. В каждой машине всегда имеется дополнительное трение, не зависящее от реакций, действующих в шарнирах, но которое определяется характером и точностью сборки и т. д. Его часто называют сборочным. Величина силы этого вида трения зависит от затяжки подшипников, точности и напряженности клиньев напра вляющих, вязкости смазки и т. д. В результате правильно было бы полную мощность, вводимую в механизм, определять суммой
N = NB + Nt + N0
в соответствии с чем к. п. д. может быть представлен так:
где N0 — мощность так называемого сборочного трения.
Силы, действующие на элементы кинематических пар, являются функциями положения механизма, поэтому и к. п. д. машины также является функцией положения начального звена. Следовательно, если изменением кинетической энергии внутри цикла работы машины пренебрегать нельзя, то при практической оценке машины необхо димо пользоваться некоторым средним значением ее к. п. д.
Глава |
Д В И Ж Е Н И Е М Е Х А Н И З М О В |
двадцать |
П О Д Д Е Й С Т В И Е М З А Д А Н Н Ы Х С И Л |
четвертая |
|
§ 24.1. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА
При проектировании машин или анализе их работы нередко по является необходимость вычислять действительные скорости и ускорения точек звеньев механизма или их перемещения, соответ ствующие заданным положениям начального звена. Естественно, что методы анализа механизмов, рассмотренные в кинематике меха низмов, при решении такого рода задач не могут быть использованы, потому что там при определении скоростей и ускорений предпола гался закон движения начального звена заданным.
Соотношение между приведенными к начальному звену момен тами движущих сил и сил сопротивления, установленное в § 22.3, определяет состояние движения машины — установившееся или неустановившееся. Однако для получения ответа на то, каковы скорости и ускорения точек механизма, необходимо составить урав нение движения машины и решить его относительно искомой вели чины. Решение поставленной здесь задачи затруднено тем, что приведенный мо.чент инерции механизма является сложной функ цией неизвестного положения звена, в то время как моменты внеш них сил могут быть заданы в функции времени или угловой ско рости.
Отыскание действительного закона движения механизма, обла дающего одной степенью свободы, значительно упрощается, если механизм заменить механической моделью, состоящей из одной приведенной массы, на которую действуют приведенные внешние силы, изменяющиеся по заданному закону.
Наиболее простым и удобным методом составления уравнений движения механизмов является метод лагранжевых уравнений. При составлении уравнений Лагранжа второго рода предполагается, что движение механизма исследуется в системе обобщенных коорди нат, в качестве которых должны быть приняты независимые пара метры, определяющие положение механизма, например, углы по-
ворота вращающихся вокруг неподвижных осей начальных звеньев или перемещения некоторых их точек.
Так как число начальных звеньев равно числу степеней свободы
механизма, то и число |
уравнений Лаграижа |
равно числу степеней |
свободы механизма. |
|
|
|
|
|
Уравнение Лагранжа во второй форме, вывод которого приво |
дится в курсе теоретической механики, |
имеет следующий вид: |
где Е — кинетическая |
энергия механизма, |
зависящая от масс его |
звеньев и от скоростей начальных звеньев и их положения; |
Qi — обобщенная |
координата; |
|
|
|
С/І — обобщенная |
скорость; |
|
|
|
V — потенциальная энергия системы; |
|
|
Qi — соответствующая |
обобщенной |
координате qi |
обобщенная |
сила. |
|
|
|
|
|
Если механизм обладает |
одной степенью |
свободы, |
то кинетиче |
скую энергию механизма можно заменить равной ей кинетической энергией, приведенной к начальному звену массы. В таком случае в качестве обобщенных координат можно взять угол поворота ср начального звена, если приведенная масса считается распределен ной, или перемещение sA точки А приведения масс, если механизм заменяется сосредоточенной массой тА. В первом случае обобщенная сила равна приведенному к начальному звену моменту M всех сил, действующих в механизме, а во втором случае — при
веденной силе |
Р. |
|
|
Таким образом, если ме |
ханизм |
(рис. 24. |
1, а) |
заме |
няется |
эквивалентной |
схе |
мой (рис. 24.1, б), то |
|
Яг- •-SA, |
4І = |
ѴА; |
Qi = |
P |
|
и |
E- |
MAVA |
|
|
|
|
|
|
Если заменить этот ме ханизм эквивалентной схе мой (рис. 24.1, в), то будем иметь
<?* = Фъ Ф = ЮІ; QI = M
и Е = - ^ .
Третий член в уравнении Лагранжа появляется
Р и с 24.1. Механическая модель шестизвенного механизма
в том случае, когда на механизм действуют силы, имеющие потен циал, например, силы тяжести, силы упругости звеньев и др. Иногда этими силами пренебрегают, если их влияние на закон движения невелико. Такого рода допущение можно сделать при малом весе деталей по сравнению с другими действующими внешними силами и большой жесткости звеньев, при которой влияние деформации звеньев на закон движения незначительно.
В дальнейшем не будем учитывать силы веса и силы упругости,
имеющие потенциал, т. е. будем предполагать, что -д— = 0. oqi
В таком случае уравнение Лагранжа принимает вид
Если механизм заменяется сосредоточенной приведенной массой (рис. 24.1, б), то
Приведенная масса тА |
от скорости точки приведения не зависит, |
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
/тАѵл |
|
|
|
|
и |
|
d |
|
|
do. |
|
dm, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
——• можно |
исключить, воспользовавшись |
преобразованием |
|
|
dmA |
dmA |
|
dsA |
dmA |
|
|
|
|
dt |
ds. |
|
dt |
ds. |
|
|
|
|
|
'A |
|
U* |
"°A |
|
|
Кроме |
того, VA зависит только |
от |
времени, следовательно, |
|
|
д (mAvA\ |
|
dmA |
|
v\ |
|
|
|
|
dsA\ |
2 |
/ |
dsA |
|
2 |
' |
|
Заменяя |
производные |
их |
значениями, |
получаем |
окончательно |
|
|
dv. |
|
|
ïdrn. |
|
|
|
|
|
|
l i r m * |
+ -2-dsjv* |
= |
P ' |
|
|
В случае замены механизма распределенной приведенной массой, |
имеющей |
кинетическую энергию Е = ^2 |
, |
получаем |
аналогично |
|
|
Ы |
+ ъ'%<*І = М. |
|
(24.4) |