Файл: Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин учеб. пособие для студентов вузов.pdf

Дифференциальные уравнения в форме (24.3) и (24.4) известны под названием уравнения движения машины. Каждое из слагаемых левой части уравнения (24.3) имеет размерность силы, а слагаемые уравнения (22.4) — размерность момента.

Более сложными получаются уравнения движения машины с двумя начальными звеньями, включающей стержневые механизмы.

Для такого типа механизмов было получено выражение (22.12) кинетической энергии

(22.19)]

i

приложенные к начальным звеньям.

Приведенные к начальным звеньям моменты инерции JT и J2 масс, аналог центробежного момента У1 2 и приведенные моменты сил являются функциями координат фх и ф2 начальных звеньев,

+«л+-(ЙМ'+^-$).-

J Кроме этого,

Заменяя в уравнении Лагранжа (24.1) каждое из слагаемых по­ лученными выражениями и преобразуя, будем иметь

< M i + V M + i - « S g £ + ^ ( ^ - Т - ^ + ^ ^ М х . (24.5')

489

Аналогично получаем второе уравнение для обобщенной коорди­ наты ф2 :

Совместным решением системы дифференциальных уравнений (24.5) могут быть найдены законы движения начальных звеньев / и 2, следовательно, скорости и ускорения любых точек механизма.

§ 24.2. ПЕРМАНЕНТНОЕ И НАЧАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МЕХАНИЗМА

При движении массы с моментом инерции J под действием мо­ мента M к ней следует приложить на основании принципа Д'Аламбера момент сил инерции

Сравнивая уравнения (24.4) и (24.6), найдем, что момент сил инерции приведенной массы механизма равен левой части уравне­ ния (24.4) с обратным знаком, т. е.

Если начальное звено вращается с постоянной угловой скоростью, то щ = 0 и, следовательно, момент сил инерции определяется только изменением приведенного момента инерции

В случае постоянной приведенной массы или в начале движения механизма, когда щ = 0, момент сил инерции будет равен

Правая часть уравнения (24.7) называется приведенным момен­ том сил инерции механизма. Приняв во внимание уравнения (24.8) и (24.9), формулу (24.7) можем представить так:

В связи с этим движение начального звена механизма можно рассматривать как сумму движений, в результате которых появ­ ляются моменты сил инерции Мі0 и М,-д.

Движение с постоянной угловой скоростью, в результате кото­ рого появляются приведенные силы инерции, обусловленные из­ менением приведенного момента инерции механизма, называется основным или перманентным движением. Движение же начального звена, порождающее момент сил инерции М;д , называется добавоч­ ным или начальным и происходит оно в предположении щ — 0.

490

В том, что слагаемые уравнения (24.7) представляют собой при­ веденные моменты сил инерции основного и добавочного движений, нетрудно убедиться.

Действительно, воспользовавшись общим выражением (22.10) для приведенного момента инерции механизма с одной степенью свободы, можем найти

Выполняя дифференцирование, имея в виду при этом, что

вольно выбранного звена ; механизма, следовательно,— представляет собой тангенциальную силу инерции рассматривае­ мого звена, т. е. проекцию полной силы инерции, приложенной в центре тяжести, на направление скорости центра тяжести звена. Отсюда следует, что произведение

dvsl

-mJ-dTvsj

представляет собой работу силы инерции Рі} звена /, а каждый из членов первой суммы выражения (24.11) — приведенную к началь­ ному звену силу инерции.

Аналогично можно показать, что каждый из членов второй суммы выражения (24.11), взятый с обратным знаком, представляет собой приведенный к начальному звену момент сил инерции звена /.

Таким образом, если начальное звено вращается с угловой ско­ ростью %, то в данный момент времени силы инерции, определяе­ мые угловой скоростью соІ5 дадут приведенный к начальному звену момент сил инерции

Л^ІО в дальнейшем будем называть приведенным моментом сил инер­ ции перманентного или основного движения механизма.

4 9 1

Для выяснения смысла первого слагаемого уравнения движения

добавочное ускорение, имеющее линию действия, совпадающую с направлением скорости, а план добавочных ускорений механизма будет подобен плану скоростей. Очевидно, что добавочные ускоре­ ния каждой из точек механизма относятся к скоростям этих точек,

Определяя для каждого из звеньев силу и момент силы инерции, можно написать выражение для приведенных к начальному звену моментов добавочных сил инерции и моментов сил инерции звеньев механизма, появляющихся при заданном угловом ускорении et начального звена:

Подставляя вместо asj и toу их значения, определенные из фор­ мулы (24.13), получаем

2т4|+2у^}=-еіЛ (24І4)

Выражение, заключенное в фигурные скобки, представляет со­ бой приведенный момент инерции механизма. Имея в виду полу­ ченные результаты, уравнение (24.4) движения механизма можно представить в таком виде:

Представление о начальном и основном движениях механизма, развитое Н. Е. Жуковским, может быть использовано для преобра­ зования уравнений движения механизма с двумя степенями свободы. Действительно, если движение механизма стационарное и колеба­ ния скорости незначительные, то в уравнениях (24.5) слева можно сохранить только первые два члена, соответствующие начальным движениям. Остальные члены, определяющие приведенные моменты М і 0 сил инерции основного движения, можно перенести в пра­ вую часть. В результате уравнения движения (24.5) принимают форму

а^х + са^и^Мх + Мю; ö 1 / 1 2 + (u2 y2 = M2-f-M2 o- (24.16)

Представление уравнений движения в форме (24.16) удобно при приближенном или численном интегрировании.

492