Такой же результат получается при использовании метода К. Э. Рериха определения момента инерции маховика. Этот метод заключается в следующем.
Кинетическую энергию механизма можно представить как сумму кинетических энергий Е„ масс, вращающихся с угловой скоростью, пропорциональной угловой скорости маховика, и кинетической
энергии Е (ф) масс, движущихся |
с переменными скоростями: |
|
£ = £ И + £ ( Ф ) = ^ + £ ( Ф ) ; |
|
здесь Ум — момент |
инерции |
маховика. |
|
На основании закона изменения кинетической энергии можно |
написать |
|
|
|
|
|
Л, = |
А (ф) + Е (фо) - Е (ф). |
(25.17) |
Кинетическая энергия масс, движущихся с переменными ско |
ростями, вычисляется в предположении о = const. |
|
По диаграмме |
избыточного |
момента M = МР + М0 |
методом |
графического интегрирования строится диаграмма А (ф) (рис. 25.6) с осью Оф.
Если начало |
координат сместить в О х на величину, пропорцио |
нальную Е (фо), |
то кривая А (ф) работ в новой системе изобразит |
сумму А (ф) -г Е (фо). Построив в системе координат Ох(р кривую Е (ф) механизма, можем найти
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приращение |
кинетической |
|
энергии маховика |
как раз |
|
ность Я ординат кривой А (ф) |
|
и Е |
(ф), приняв |
w = |
(і) с р . |
|
По |
кривой |
на |
рис. 25.6 |
|
видно, что начиная от точки О |
|
кинетическая энергия |
махо |
|
вика сначала уменьшается, до |
|
стигая минимума в точке ф т т , |
|
соответствующей |
наибольшей |
|
разности Яг а іп ординат [кри |
|
вых Е (ф) и А (ф)]. В даль |
|
нейшем кинетическая |
энергия |
|
растет, |
достигая |
максимума |
|
при |
угле фшах, |
соответствую |
|
щем |
|
наибольшей |
разности |
|
ординат кривых А (ф) и Е (ф). |
|
Очевидно, что |
|
максималь |
Рис. 25.6. Определение момента инерции |
ное |
изменение |
|
кинетической |
энергии маховика пропорцио- |
маховика по Рериху |
нально |
сумме |
tfmm + |
Я т а х . |
Если масштаб энергии kA, то момент инерции маховика может быть определен по формуле
гkA ( Я т а х + Я т і п )
При пересечении несколько раз кривых энергии Е (ср) и избыточ ной работы А (ф) необходимо произвести такое же построение, как и на рис. 25.5.
Пользуясь совмещенными кривыми, можно построить кривую H (ф), с помощью которой можно установить закон изменения угло вой скорости начального звена. Действительно, при найденном H (ф) уравнение (25.17) можно представить в форме
^ |
^ |
Л , = |
/елЯ(Ф ) |
|
или |
|
|
|
|
2/г ,Н |
(ср) |
/ ~ |
2ÔH (ф) |
/ |
|
|
|
max + Я т і п " |
Разлагая радикал в ряд и ограничиваясь двумя членами разло |
жения, получим |
|
|
|
|
|
|
/ |
ОН (Ф) |
\ |
» = |
«о |
1+77 |
+7Гг)- |
(25.18) |
Пользуясь построением К. Э. Рериха, можно найти второе при
ближение. |
|
|
|
|
|
Средняя планиметрическая |
скорость |
в |
первом приближении |
2 Л ' |
67/(Ф) |
\ , |
/ , |
, |
ОЯС |
Отсюда находят более точное значение <и0 по сравнению с перво начально принятой со0 = сос р . Кроме того, из уравнения (25.18) и (25.19)
СО |
Я т а х + |
Я т і п _ / , |
1 - » |
б Я с р |
\(л |
, |
"6Я (ф) |
|
g / / c p |
V |
2 , |
|
і + |
Я т а х + Я т і п |
Ш с р |
Я т а х + Я т і п / Ѵ |
|
|
max "f" |
min |
|
|
|
|
|
Если теперь ранее найденные значения кинетической энергии
СО
умножить на квадрат отношения — , найдем изменение кннетической энергии переменной массы механизма во втором приближении. Дальнейшие вычисления необходимо сделать так, как описано выше.
§25.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА ПО МЕТОДУ ВИТТЕНБАУЭРА
Момент инерции маховика более точно можно определить при помощи диаграммы IE, J], исходя из предположения, что истинная средняя угловая скорость равна средней арифметической угловой скорости, т. е. что
|
( 0 max + M mi n |
Ю с Р ~ 30 ~ |
2 |
Замкнутая кривая, изображающая зависимость изменения ки нетической энергии в функции приведенного момента инерции ме
ханизма, |
может быть построена |
при неизвестных |
начальной |
кине |
тической |
энергии механизма |
и моменте инерции |
JK |
маховика. |
Пусть точка 0 является началом системы координат, в которой |
строится |
диаграмма |
[A, J] (рис. 25.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Допустим, что Е0 |
и J„ известны. В таком случае действительное |
начало координат будет в точке Ох, и полная кинетическая энергия |
механизма для данного |
положения |
начального |
звена |
пропорцио |
нальна |
соответствующей |
ординате |
кривой |
в |
системе |
|
координат |
[ £ < Ѵ ] : |
|
£ = £ 0 |
+ Л (ф) = /глу, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а полный момент инерции механизма с маховиком |
пропорционален |
абсциссе той же точки кривой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
= Ju |
-f- J |
(ф) = kjX. |
|
|
|
|
|
|
|
В § 24.4 было показано, |
что тангенс |
угла |
наклона |
секущей, |
проходящей через начало Ох |
координат и заданную точку кривой |
[Е, J], пропорционален квадрату угловой скорости |
начального |
звена и что угловая |
скорость принимает наибольшее и наименьшее |
значения для положений |
начального звена, |
при которых |
секущая |
обращается в касательную. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому, если заданы соср |
и о, то tgibm a x |
и tgi|?m i n |
могут быть вы |
числены по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
to ih |
—JZE^l. |
' |
|
fer -il, . |
— 1 m |
m |
|
|
|
|
|
|
I g y m a x — |
|
1 & т т і п — |
2fe^ |
' |
|
|
|
|
|
Так как касательные к кривой [Е, Л, |
проведенные под углами |
tymax и tymin к оси абсцисс, пересекаются |
в точке Ои |
то, зная |
tymax |
и i^min, нетрудно отыскать действительное начало координат Oj диаграммы [Е, J].
Действительно, если вычислить |
углы ^щах и і|'т іП , построить |
эти углы с вершиной на оси абсцисс OJ, а затем провести |
касатель |
ные к предварительно построенной |
кривой \Е, J\, |
то точка пере |
сечения этих касательных определит положение |
начала |
коорди |
нат Ох. |
|
|
|
|
|
Р и с 25.7. Диаграмма |
Виттенбауэра |
|
Очевидно, что момент инерции маховика Ja |
пропорционален |
отрезку ОхА |
= |
Л'м , т. е. |
|
|
|
|
У„ — kjOxA = |
lijxu. |
|
Из рис. 25.7 следует, что |
|
|
Вычитая |
из |
АС отрезок AB, получаем |
|
|
ВС = АС - AB = ОгА (tg ^ г а а х - t g ^ m I n ) |
или |
|
|
|
|
|
|
ОЙ = *м = |
. • |
( 2 5 - 2 ° ) |
|
|
1«=> т max |
1 ь Тпііп |
|
Отрезок ВС, отсекаемый касательными на оси ординат, всегда может быть получен соответствующим выбором масштабов в пре делах чертежа, поэтому им можно воспользоваться для вычисления момента инерции маховика.
Произведя подстановку tgi|>n i a x и tg i|7m i n в формуле (25.20) после преобразований получаем для вычисления Ум формулу в окон чательном виде:
