ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 112
Скачиваний: 0
32 |
Б. Джадд. Теория |
атомных |
спектров |
|
|
компонент обоих двойных тензорных операторов af |
и а |
молено |
|||
рассматривать как |
компоненты |
тройного |
тензорного |
оператора |
|
a(<?s()) Г де q=s = 1І2- |
|
|
|
роль |
в тео |
Третье, квазиспиновое пространство играет важную |
|||||
рии атомных спектров отчасти из-за того, что при его использова нии упрощаются многие сложные построения теории атомных обо лочек, и главным образом потому, что многие в других отношениях удивительные свойства исследуемых операторов получают естест венное объяснение в рамках концепции квазиеппнового простран ства.
Один из элементарных составных тензорных операторов, ко торый можно образовать из тензорных операторов a<?s'\ имеет вид
при K + x + k нечетном
При К + Уі + k четном, используя антикоммутационные соотношения
(1) для упрощения вида рассматриваемого тройного тензорного оператора, мы получаем, что
ХІКхк)=-[1\'иЬ(К, |
0)8(х, 0)Ъ(!г, 0). |
|
Задачи |
4.1. Тензорный оператор W<xfe) определяется как сумма одно-
электронных тензорных |
операторов |
w<**\ для которых |
|
(niWxkî№)={[*] |
|
Щ\'и. |
|
Докажите, что |
|
|
|
|
\ Ѵ ( І Й ) = - ( а + а ) № . |
||
4.2. Убедитесь в справедливости |
формул |
||
x ( . o o) = |
_ 2 [ / r - / , Q |
) |
|
X ( 0 1 0 ) = - 2 [ / ] - , / 2 S , |
|
||
X ( 0 0 1 ) = |
- L (3//(/+1) |
(2/+1))' / 2 . |
|
ГРУППЫ
5.1. Генераторы группы
Иифиннтезималы-іые преобразования непрерывной группы со держат параметры и генераторы. Параметры характеризуют вели чину преобразования, которое осуществляется генераторами. Так, например, для двумерной группы вращений /?2 инфинитезимальное преобразование описывается оператором
1 + o c p . j L ;
I |
• |
(ja ' |
|
здесь д/дср — генератор, дц> — параметр. Хотя |
параметры и важны, |
||
но саму группу (более точно, |
ее |
групповую |
алгебру) задают ге |
нераторы. При этом самыми важными соотношениями являются коммутационные соотношения, которым удовлетворяют генераторы. Взяв подходящие линейные комбинации генераторов группы, мо
жно их разбить на два |
рода величин: операторы типа Я,-, кото |
рые коммутируют между |
собой, и операторы типа Еа, являющиеся |
обобщенными операторами сдвига, при этом всегда можно до
биться выполнения коммутационных |
соотношений |
|
|
|
Собственные значения |
являются |
компонентами вектора а |
в ве |
|
совом пространстве, которое определяется заданием |
вида |
опера |
||
торов Я*. Этот вектор |
называется весовым вектором. |
Представляя |
||
коммутационные соотношения некоторого набора операторов в вы шеуказанном виде и строя весовые векторы, можно идентифици ровать группу (или группы), для которой эти операторы играют роль генераторов, с какой-либо известной группой. Для этого надо диаграммы весовых векторов данного множества сравнить со стан дартными диаграммами, построенными Картаном и Ван-дер-Вар- деном [7]. При этом, правда, имеется возможность считать пара метры действительными или комплексными и соответственно полу чаются различные группы для одного и того же набора диаграмм весовых векторов.
5.2. Полная оболочка
Сосредоточим наше внимание на исследовании конфигураций lN, которые при 0^УѴ=^4/+2 образуют полную атомную оболочку.
3 Зак. № 279
34 |
Б. Джадд. |
Теория |
атомных |
спектров |
Внутри этой |
оболочки наиболее |
общее |
линейное преобразование |
|
затрагивает все состояния |
которые мы представим в виде |
|||
|
|ф> = |
4<4 |
. . . а:\0У; |
|
здесь для определенности греческие индексы упорядочиваются сначала по ms и затем по іщ, причем наибольшие значения появ ляются справа, а наименьшие слева. Рассмотрим теперь операторы
1 + |
+ + |
+ |
Л$=а--ап |
. . . а» |
|
и соответственно последовательность операторов уничтожения, за
писанных в обратном |
порядке: |
|
|
|
|
А ф = а ѵ |
. . . а-^а^. |
|
|
С первого взгляда может показаться, что |
какое-то |
произведение |
||
этих операторов |
просто |
уничтожает |
состояние |
і|) и порож |
дает состояние т|/ (возможно, с другим N). Хотя это и справедливо, но такое произведение недостаточно селективно, т. е. ненулевой результат может получиться и при действии этим оператором на состояния ф"=г|/:
при і|)=и=і|/'. Чтобы обойти эту трудность, мы будем рассматривать операторы
A (j,' IA (ij,
для которых идемпотент / просто равен
где |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь операторы |
|
|
||||
|
|
|
|
А\іАу, |
|
|
в которых -ф и я|/ пробегают |
все возможные |
состояния нашей |
обо |
|||
лочки. Легко |
видеть, что число антисимметричных состояний |
кон |
||||
|
|
|
l+2= (4/+2)!/ЛП(4/+2 |
УѴ)! и |
|
|
фигурации F |
равно Cf |
11 + 2 |
|
— |
|
|
|
|
|
N= Q |
|
|
|
Полное число |
построенных |
таким образом операторов равно |
||||
2Ш + 4 . Из них 2 У + 2 |
— это операторы вида |
|
|
|||
Hty=A\lAty,
Гл. 5. |
Грі/ппы |
35 |
причем легко показать непосредственно, что |
|
|
[Я ф , Я ф - ] = 0 . |
|
|
С другой стороны, имеем соотношения |
|
|
|
8(ф, |
é")Al'IAr, |
поэтому все весовые векторы имеют вид |
|
|
[О . . . 010 . . . |
0 - 1 0 . . . 0 ] . |
|
Основываясь на классификации Картана, мы можем идентифици
ровать построенную групповую алгебру как алгебру Ап, |
где п сов |
||||
падает с |
размерностью весового пространства, |
которая |
равна |
||
24 '+2 — 1. (Все весовые векторы |
ортогональны вектору |
[11.. .1], так |
|||
что надо |
вычесть 1 из полного |
числа операторов |
Н^.) |
Если |
пара |
метрам позволяют принимать комплексные значения, то мы полу чаем полную линейную группу 2 4 ' + 2 измерений. Если наложить ус
ловие, чтобы матрицы |
преобразований были унитарны (это обеспе |
||||||||
чит ортогональность отдельных состояний), то такой группой |
будет |
||||||||
£^2<и+2, унитарная группа |
24 '+ 2 измерений. Для |
f-электронов |
|
это |
|||||
Г р у п п а |
[/ш84- |
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве индексов неприводимых представлений можно взять |
|||||||||
собственные |
значения |
операторов |
Яг-. В рассматриваемом |
случае |
|||||
собственные |
значения |
оператора |
для данных |г|/) |
имеют |
вид |
||||
|
|
|
[0 . . . 010 . . . 0]. |
|
|
|
|
||
Это некоторый вес. |
Вес |
\т\іпг...] |
назовем |
большим, чем |
вес |
||||
\т'ѵ т'г... |
], если первое неисчезающее число в |
последовательности |
|||||||
ту — т'ѵ |
то — т'„... |
оказывается |
положительным. |
Максималь |
|||||
ными весами мы нумеруем представления. Для /-оболочки наи больший вес равен [10.. .0]; если отбросить нули, можно сказать, что состояния /-оболочки образуют базисные функции для пред ставления [1] (фактически неприводимого) группы
5.3. Подгруппы
Чтобы изучить подгруппы, нужно отобрать такие операторы из набора A^JÄy,, которые сами образуют свой собственный набор
операторов. Коммутаторы двух операторов такого набора выра жаются через операторы этого же набора.
3*
36 Б. Джадд. Теория атомных спектров
Укажем лишь |
самые важные свойства подгрупп нашей |
группы |
£ / 2 4 / + 2 . |
|
|
1. Рассмотрим |
операторы a|û*> atа л> a Sn ,f> а £ а ч, a / > ач- |
О'1 1 1 |
составляют требуемый набор операторов и задают группу враще ний 8/ +5 измерений, т. е. группу Rn+ь (в обозначениях Картана — группу .S.u+2). Представление [1] группы f/2/,j+2 приводится к од
ному неприводимому |
представлению |
группы Rsi+ъ] соответствую |
щее правило ветвления |
имеет вид |
|
|
Ш - ( 7 2 Ѵз ••• |
7 2 ) . |
2. Удалим операторы at и ац из приведенного выше набора.
Набор оставшихся операторов оказывается замкнутым относи тельно операции коммутации. Это группа RSM (в обозначениях Картана £ W ) - Операторы а^аі^, с^а , а.-а* и a£ a при действии на состояния изменяют полное число электронов N на 0 или 2. Та ким образом, представление (ѴгѴг • • • Ѵз) группы J?s/+5 оказывается приводимым, и мы имеем для него разложение
( 7 2 7 2 • • • 7 2 ) - Ч 7 2 1І2 ••• Ѵ2 Ѵ 2 ) + ( 7 2 V* ••• Ѵ 2 - 7 2 ) ;
два представления в правой части соответствуют состояниям с чет ными N И нечетными N соответственно.
3. Другой |
способ |
исследования операторов группы RSM— это |
представление |
их в |
связанной форме X<K x f e ) (где K + x+k нечет |
ное). Если теперь мы возьмем из этого набора операторы Х(100> и X(Oxft) (где, конечно, y, + k нечетное), то можем убедиться, что этот ограниченный набор операторов замкнут относительно операции
коммутации. Более того, каждая компонента тензорного |
оператора |
|||||||
Х<100) коммутирует с каждой компонентой |
оператора X ( 0 x W , |
так |
что |
|||||
мы имеем дело с прямым |
произведением |
двух групп. Вектор Х^100) |
||||||
пропорционален Q, так что первая |
группа — это группа |
Rs. Чтобы |
||||||
подчеркнуть, что эта группа связана с квазиспиновым |
пространст |
|||||||
вом, будем использовать для нее обозначение RQ. |
Вторую |
группу |
||||||
с генераторами X<0 x W идентифицировать |
труднее; оказывается, это |
|||||||
симплектическая группа |
4/ + 2 измерений, |
т. е. группа Spu+2 (в обо |
||||||
значениях Картана С21+1). Таким образом, |
|
|
|
|
|
|||
Правила ветвления представлений |
для |
состояний |
конфигурации |
|||||
lN легко получить; они имеют вид |
|
|
|
|
|
|
||
( 7 2 7 2 |
. . . 7 2 7 2 ) - ( 2 ' + 2 ) ( о о . . . о ) + ( 2 ' ) ( і ю . . . 0 ) + |
|
|
|
|
|||
|
+ < 2 < - 2 > ( і ш о . . . |
о ) + . . . |
- р ( и |
. . . |
10), |
|||
(ѴгѴг |
••• Ѵг-Ѵг) — ( 2 / + 1 ) |
(Ю . . . 0) + |
( 2 / - 1 |
) ( Ш О . . . |
0) |
+ |
|
|
|
|
|
|
• - . Н - Ч і і • • • 1). |
||||
