ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 107
Скачиваний: 0
|
|
|
|
Гл. 3. |
Генеалогия |
|
27 |
||
шеиия (6) на |
{[S] [L]}' / 2 |
при условии, что состояния |
справа |
и слева |
|||||
идентичны. Таким |
образом |
мы приходим к заключению, что |
|||||||
|
|
|
2і( Ѳ { | Ю ( 0 ' |
!|û) = |
S(0, б'); |
|
|
||
напомним, что 0 и 0' |
имеют одни и те же S и L . |
|
|
||||||
Наличие выведенных соотношений ортогональности делает ча |
|||||||||
сто более удобной |
|
работу |
с генеалогическими коэффициентами, |
||||||
а не с редуцированными |
матричными |
элементами |
операторов а' |
||||||
или а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, |
что |
величина |
(0{|Ѳ) 2 имеет простую физическую |
||||||
интерпретацию: это |
доля |
в |
состоянии |
0 его родительского |
состоя |
||||
ния Ѳ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. |
Редуцированные матричные элементы |
|||||
Можно задать вопрос, чему равны |
редуцированные матричные |
||||||||
элементы (ѲЧІГ^ЦѲ), если |
одно |
из состояний (или |
оба) |
Q(=ySL) |
|||||
и 0'(n=Y'S'Z/) представляются через родительские состояния (Ѳ
пли Ѳ'). Конечно, мы не можем просто вместо ||Ѳ) поставить соот ветствующим образом связанное состояние, поскольку такое со стояние с двумя вертикальными чертами не имеет никакого смы сла (оно появляется только как составная часть обозначения редуцированного матричного элемента). Правильнее будет исполь зовать формулу
(Q'\\Tixll)\\ù)=(-]f |
+ |
L'+^k-s-L[S'\'u[L'}'^-X |
х < ѳ ' ж ; ж і | [ т ^ ч ѳ > ] л ; > і .
в которой состояние | 0) можно представить в виде
и в которой можно произвести пересвязывание. Рассуждая таким образом, можно получить
(0'l7<*f t ) ||û) = !x 2 HS] |
И |
[L] [ |
A M , v , ( _ i r + 5 + s ' + . . + , + i + i 4 - r |
x |
•A'h' |
|
|
|
|
X ? |
. ? s |
ï ï k |
f l ' } ( » ' l l ( T ' - « a T - ' " ' l « ) . |
(7) |
Конечно, в отношении состояния (0' | можно проделать все то же самое.
28 |
|
Б. Джадд. Теория атомных |
спектров |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3.4. Формула |
Редмонда |
||
В |
частном |
случае |
в формуле (7) положим Т<х,1) |
= |
а. Предполо |
|||
жим, далее, что Ѳ обозначает состояние конфигурации |
F п Ѳ' — со |
|||||||
стояние конфигурации |
/-ѵ _ 1 ; последнее |
будем записывать |
тоже |
|||||
как Ѳ. То, что |
прежде |
(в разд. 3.3) |
служило родительским состоя |
|||||
нием |
Ѳ, будем |
обозначать как Ѳ'. Тогда левая часть |
формулы |
(7) |
||||
будет |
фактически генеалогическим |
коэффициентом |
(0{|Ѳ), а |
пра |
||||
вая часть будет содержать редуцированный матричный элемент
тензора (аа+)(*'k '\ Опираясь |
на |
коммутационные |
соотношения |
(1), |
можно легко показать, что |
|
|
|
|
(аа + )( х '*' ) =(а+ а) ( , 1 '* , ) |
+ |
+ & (-/, 0) 8 (£', 0) |
[s\'u [t\''\ |
(8) |
Таким образом, разложение редуцированного матричного элемента
(в](а+ аГ*'1о')
в сумму произведений редуцированных матричных элементов
( ё | а+ р) (ѳЦаЦо')
с весовыми коэффициентами будет содержать промежуточные со стояния Ѳ конфигураций lN~2. Другими словами, генеалогический коэффициент (Ѳ{|Ѳ) для конфигурации /'ѵ можно представить как сумму произведений генеалогических коэффициентов (6{|Ѳ) п
(Ѳ'{|Ѳ) для конфигурации |
/j V _ 1 . |
Окончательно получаем |
N' (0 {I Ѳ)=8 (Ѳ, в')+(ЛГ - |
1) 2 |
(811§) (9' ( 13) ( - 1 ) 5 + 5 ' - ' Т ^ Г ' X |
x ( P l P ' ] [ r ] [ r ] ) - | s |
s |
S |
5 } { ^ f } , |
( 9 ) |
|
где |
|
|
|
|
|
Формула (9) называется формулой Редмонда |
[11]. Наш |
вывод |
|||
этой формулы отличен от вывода, данного самим |
Редмоидом. |
Важ |
|||
ность этой формулы в том, что она показывает, что таблицы ге неалогических коэффициентов можно строить последовательно,
исходя из совсем элементарных таблиц. Набор коэффициентов (Ѳ{ | Ѳ) (Ѳ фиксировано, Ѳ переменное) связан с каким-то одним родитель-
Гл. 3. Генеалогия |
29 |
ским состоянием 0'. Константу N' (зависящую от Ѳ, 0' и не завися щую от 0) можно определить (с точностью до фазового множи теля), используя условие нормировки генеалогических коэффици ентов.
3.5. Нули в таблицах генеалогических коэффициентов
Рассмотрим |
терм ty(=ySL) конфигурации F и |
предположим, |
||
что он имеет |
родительский терм |
Любой другой |
терм |
я|/ кон |
фигурации /і Ѵ , |
ортогональный терму о|з при всех Ms |
и ML, |
должен |
|
удовлетворять |
соотношению |
|
|
|
< ф Х л Г і | { а + | ф » ^ И і = 0 .
Раскрывая последнюю формулу и используя теорему Вигнера— Эккарта, мы получаем, что
( ф ' | а + | ф ) 8 ( 5 ' , S)b(L, |
L)=0. |
Другими словами, если S' = 5 и Z/ = L, то генеалогический коэф фициент H/{|if>) должен равняться нулю. Наоборот, если, за един
ственным исключением состояния |
все термы с данными 5 и L |
конфигурации /л г имеют нулевые |
генеалогические коэффициенты |
для одного и того же определенного родительского терма ty, то мы
можем быть уверены, что т|) |
имеет терм |
а|) |
своим |
родительским |
||||||||
термом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве |
примера |
рассмотрим |
табл. |
I I I |
генеалогических |
|||||||
коэффициентов |
для термов 3 Я |
конфигурации |
f4; |
в |
ней |
ненулевые |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
III |
|
Генеалогические |
коэффициенты термов 3Н |
конфигурации |
f |
|
||||||||
|
|
(100) |
(10) |
«/=• |
(210) (11)'Я |
(111) (20) 'D |
(210) (20) -D . . . |
|||||
(ПО) |
(11) |
з я |
X |
|
0 |
|
X |
|
|
X |
• |
• • |
(211) |
(11) |
з я |
0 |
|
0 |
|
X |
|
|
X |
• |
• . |
(211) |
(21) |
з я |
0 |
|
X |
|
X |
|
|
X |
• |
• • |
(211) |
(30) |
з я |
0 |
|
0 |
|
X |
|
|
X |
|
. . . |
генеалогические коэффициенты отмечены крестиками. Хотя эти генеалогические коэффициенты и не рассчитаны, мы можем без
30 |
Б. Джадд. |
Теория |
атомных спектров |
их вычисления |
заключить, |
что |
терм (110) (11)3 // имеет терм |
(100) (10)2 ^ конфигурации f3 своим родительским термом, а также
что для терма (211)(21)3 Я |
родительским будет терм (210)(11)2 Я. |
|
Оставшиеся два |
терма 3 Я |
можно получить только путем суперпо |
зиции соответствующих родительских термов. |
||
|
|
Задачи |
3.1. Докажите |
соотношение |
|
|
(/»Ч[ |Д>і5) = і |
|
и соотношение
( P S L { | / І 2 / ) = 1
при условии, что S + L четное. 3.2. Рассматривая величину
( ( а Ѵ Г ° U V ) " 4 " ' ! 0 0 ' ,
докажите, что нет ни одного терма 3 5 для конфигурации /4 .
К В А З И С П И Н
4.1. Квантовое число сеньорита
Оператор квазиспина Q был введен в разд. 2.1. Это обыкно венный скаляр как в спиновом, так и в орбитальном пространстве. Собственные значения оператора Qz легко найти, используя фор мулы, приведенные в разд. 2.1. С помощью выражений (6) и (8) получаем
|
[ / ] } ' / ' { 2 ( a + a r > + M , / s U ] , / , } = - V 2 ( 2 / + l - ^ ) > |
|
если положить, |
что s = VsКакого же рода состояния |
порождает |
квазиспиновый |
оператор сдвига Q+? Каждое действие |
оператора |
Q+ добавляет два электрона, связанных в полностью симметрич |
||
ный терм iS; такого рода состояния рассматривал еще |
Рака [12]: |
|
он назвал их принадлежащими одному и тому же значению кван тового числа сеньорита ѵ. Оно равно числу электронов в конфи гурации, в которой первый раз появляется данный терм из рас сматриваемой последовательности термов. Так, например, состоя ния
| / 3 2 Р >, (а Ѵ) ( 0 0 ) |/ 3 ^>>
|
(а Ѵ) ( 0 0 > ( а Ѵ) ( 0 0 ) |/ 3 2 Я> |
|
|
|
|
||
и т. д. все имеют квантовое |
число сеньорита ѵ = 3, так |
как |
для |
||||
первого состояния приведенной последовательности имеем |
j V = 3 |
||||||
(невозможно |
получить состояние \f32P), |
|
действуя |
оператором Q+ |
|||
на какое-то |
состояние конфигурации f 1 ) . |
Подобно тому |
как |
5 и |
|||
L — максимально возможные |
значения |
Ms |
и ML, |
число |
Q можно |
||
определить как максимальное |
значение |
MQ; тогда |
очевидно |
|
|||
|
Q = l / 2 |
( 2 / + 1 — о ) . |
|
|
|
|
|
4.2. Тройные тензорные операторы
Аналогично тому, как мы используем векторы S и L при опре делении тензорного характера различных величин в спиновом и орбитальном пространствах, мы можем также использовать вектор Q для характеристики свойств этих величин в квазиспииовом про странстве. Можно показать, что для данного | операторы а\ и
а\ |
вместе являются компонентами тензорного оператора ранга '/г |
по |
отношению к квазиспину. Поэтому совокупность операторных |
