ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 109
Скачиваний: 0
Приложение II |
243 |
{ѵ}, для которой последующее умножение на заданную 5-функцию {ц.} дает другую фиксированную 5-функцию {К}, причем коэффи циент, стоящий перед {ѵ} в линейной комбинации, будет в точно сти равен коэффициенту перед {Я} в разложении внешнего произведения {р,}/{ѵ}. Таким образом, мы можем определить опе рацию деления S-функций и частное S-функций с помощью формулы
где |
ГцѴя — это |
коэффициенты, появляющиеся в |
разложении |
внеш |
||||||
него |
произведения |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
Указанные |
частные |
от |
деления S-функций |
табулированы |
||||||
в табл. В-7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Правила ветвления |
|||||
Правила ветвления |
при |
сужениях Un-^Rn, |
Оп |
или |
Spn |
и |
при |
|||
сужениях |
R2V+1-+R3 и Sp2 v->-#3 воспроизведены |
в таблицах |
от |
С-1 |
||||||
до С-24. |
Правила ветвления |
для сужений группы |
Un |
рассчитыва |
||||||
лись по формулам (69) и (86) основного текста, причем разбиения более чем на ѵ составных частей (где п = 2ѵ или 2ѵ+1) приводи лись к разбиениям на ѵ или меньшее число составляющих с помо
щью общего метода |
Литтлвуда. |
|
|
|
|
||
Правила ветвления при сужениях Rn-^-R3 |
и Spn —^£!з |
вычисля |
|||||
лись путем использования выражений характеров |
групп |
Rn и Spn |
|||||
через S-функции; затем эти S-функции представлялись произведе |
|||||||
ниями симметрических функций hr. В обоих |
случаях учитывалось, |
||||||
что при |
./^ѵ+і^-^з |
имеем |
[1]->- [ѵ] |
и |
при |
Spiv-^R3 |
имеем |
[ I ] - * " іѵ |
— Ѵг]. Правила ветвления получались в |
конце концов пу |
|||||
тем использования следующей формулы для плетизмов: |
|
||||||
[a] ®{hrJiH ... |
Iirp) = ([a] |
® АГ і ) ([а] |
® h H ) ... |
([а] ® АГ р ), |
|||
в которой вычислялись отдельные плетизмы, появляющиеся в пра вой части, и затем из них составлялось нужное произведение.
Кронекеровские произведения
Кронекеровские произведения отдельных отобранных представ лений групп ^2ѵ+і и Sp2v приводятся в таблицах от D-1 до D-15; в них также приводятся кронекеровские произведения отдельных представлений для групп Rju Re и Os.
16*
244 |
Б. Вайборн. |
Теоретико-групповые |
методы |
|
|
|
|
|
|
Группа О2 |
|
Таблицы, относящиеся к |
исключительной группе Go, |
собраны |
|||
вместе под номерами от Е-1 |
до Е-6. Кронекеровские произведения |
||||
для группы |
G2 и правила |
ветвления при |
сужении Go,-+R3 |
рассчи |
|
тывались таким образом, что сначала соответствующие характеры группы Go выражались через характеры группы Rj, затем необ ходимые операции производились непосредственно над характе рами группы R7H, наконец, от них производился обратный переход к характерам группы Gz (при расчете кронекеровских произведе
ний) или непосредственно |
к |
характерам группы R 3 (при |
выводе |
|||||||||
правил ветвления для |
Go-+R3). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Обратный переход Go-^R1 |
|
производился с учетом того обстоя |
||||||||||
тельства, что |
при |
сужении |
Ri-^G2 |
|
мы |
несомненно |
имеем |
[и\, uo, |
||||
0]ro (uu Uo) ; при этом учитываем |
также, что представления |
группы |
||||||||||
R7 более низкого веса в свою |
очередь |
молено дальше разложить |
||||||||||
по характерам |
группы /?7; |
так, |
например, |
поскольку для |
Ri^-Go |
|||||||
мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[310] - |
(21) + |
(30) + |
(31), |
[300] - |
(30), |
|
||||||
[2101 -*(11) + |
(20) + |
(21), |
1200] - |
(20), |
|
|||||||
[ПО] — (11) + |
(10) |
|
и |
]100] — |
(10), |
|
||||||
то сразу находим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( 3 1 ) = |
[310] - |
[300] - |
[210] + [200] + |
[ПО] - |
[100]. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заключение |
|
Публикуя |
эти |
таблицы, |
мы |
сознаем, |
что |
они |
недостаточно |
|||||
полны, чтобы |
удовлетворить |
всех работающих |
в |
этой области. |
||||||||
В частности, мы совсем не табулировали свойств спинорных пред ставлений, общих плетизмов или правил ветвления для групп, являющихся произведениями основных групп. Программа, по ко торой рассчитывались публикуемые таблицы, постоянно нами со вершенствуется, и мы просим все предложения по поводу расши рения таблиц и по составлению других подобных им новых таблиц направлять непосредственно авторам.
|
|
|
ТАБЛИЦЫ |
|
Размерности неприводимых представлений 1 ) |
||
|
Размерности |
|
Размерности |
Индекс |
неприводимых |
Индекс |
неприводимых |
таблицы |
представлений |
таблицы |
представлений |
|
для группы |
|
для группы |
А-1 |
S„ |
А-10 |
Un |
А-2 |
U2, |
А-11 |
U\2 |
А-3 |
Щ |
А-12 |
U13 |
А - 4 |
Us |
А-13 |
и и |
А-5 |
с76 |
А-19 |
/ ? 5 |
А-6 |
U7 |
А-21 |
/ ? 7 |
А-7 |
£/8 |
А-28 |
S/>6 |
А-8 |
С/9 |
А-30 |
Spw |
А-9 |
с 7 ш |
А-32 |
S/>I 4 |
1 1 За недостатком места в настоящем издании опущены табл. с А-14 до А-17
для |
размерностей неприводимых представлений групп с |
Un по £/і8 ; табл. А-18, |
|||
А-20, |
А-22 |
для |
размерностей представлений |
групп 04 , |
Ов и Os , а также табл. |
с А-23 по |
А-26 |
и табл. А-27, А-29, А-31, А-33 |
и А-34 для |
размерностей представ |
|
лений групп Ro, Ru, R{3, R\5 и групп Spt, Spa, Spa, Spie и Sp^ соответственно.
|
Свойства 5-функций1 ' |
В-1 |
Внешние произведения 5-функций |
В-2 |
Внутренние произведения 5-функций |
В-3 |
Разложения S-функций в произведения симметрических функций Ііг |
В-4 |
Разложения характеров ортогональной группы по 5-функцням |
В-5 |
Разложения характеров симплектической группы по 5-фуикциям |
В-6 |
Плетизмы для группы GL2 |
В-7 |
Частные от деления 5-функций |
> В русском издании эти таблицы сокращены.
246 Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы
Правила ветвления '>
Индекс |
Правила |
ветвления |
Индекс |
|
Правила ветвления |
|||||||
таблицы |
для сужений |
групп |
таблицы |
|
для |
сужений |
групп |
|||||
|
С-1 |
U3^R3 |
|
|
С-16 |
|
|
|
|
|
||
|
с - з |
|
|
|
|
|
С-17 |
|
|
Sp6 — R3 |
||
|
С-5 |
U7-*R7 |
|
|
С-26 |
|
|
|||||
|
С-11 |
|
|
|
|
|
С-28 |
|
|
Sр$ — Rz |
||
|
С-13 |
U\o-*Sp\ç> |
|
С-30 |
|
|
Sp\i-*Rz |
|
||||
|
С-15 |
Uu—Spu |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
') |
В русском |
издании опущены табл. С-2 |
для U4—•().{, |
табл. С-4 |
для UQ—<• |
|||||||
— OQ, табл. С-6 |
для U$—03; |
табл. С-7 для |
Ug — Rg, табл. С-8 для |
U\\—•-R\\\ |
||||||||
табл. С-9 для U\3—-Яіз', |
табл. С-10 для U4 |
— Sp4, |
табл. С-12 для |
У 8 |
~SP8> |
|||||||
табл. С-14 для |
Ui2—*5рі2; |
табл. С-18 для |
R9 |
— R3, |
табл. С-19 для |
R\\ — R3, |
||||||
табл. С-20 для |
/ ? ) 3 — / ? 3 |
; табл. С-21 для |
Rl3—R3, |
табл. С-22 для R\7 — R3; |
||||||||
табл. С-23 для |
R\g—-R3, |
табл. С-24 для |
R2\ |
— R3, |
табл. С-25 для |
S/?.| — #3 ; |
||||||
табл. С-27 для |
Sp&— R3; |
табл. С-29 для Spi2 |
— R3, |
табл. |
С-31 для |
Sp\ç—R3, |
||||||
табл. С-32 для Spig — |
/?3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Кронекеровские |
произведения •> |
||||||
|
ы |
. |
Ä |
„ |
Разложения кронекеровских |
|
|
|||||
|
Индекс таблицы |
произведении |
для |
группы |
|
|
||||||
|
|
D-2 |
|
|
|
|
/? 5 |
|
|
|
|
|
|
|
D-4 |
|
|
|
|
R-, |
|
|
|
|
|
|
|
D-9 |
|
|
|
|
Sp 6 |
|
|
|
|
|
|
|
D - l l |
|
|
|
Spl0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D-13 |
|
|
|
|
SpH |
|
|
|
|
|
!) В русском |
издании опущены табл. D-\ |
для R4; |
табл. £>-3 |
для /?б ;табл. D-5 |
||||||||
для 08 ; табл. Л - 6 для RQ; |
табл. Z)-7 для |
/?ц; табл. D-8 |
для |
S/^; |
табл. £>-10 |
|||||||
для |
5/78 ; табл. D-12 |
для Sp]2', табл. D-14 |
для SpiG |
п табл. £>-15 для |
Sp\§. |
|||||||
|
|
|
|
|
Свойства исключительной группы Gz |
|||||||
Е-1 |
Размерности неприводимых представлений группы G2 |
|
|
|
|
|||||||
Е-2 Правила ветвления при сужении R7—*G2
Е-3 Правила ветвления при сужении G2 —*/?3
Е-4 Разложения кронекеровских произведений для группы G2
Е-5 Характеры группы G2, выраженные через характеры группы R7
