ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 110
Скачиваний: 0
238 |
5. Вайборн. Теоретико-групповые |
методы |
|
|
Таблица ПІ |
Разложение |
базисного спинорного представления |
при сужении / ? 0 ѵ _j_ ^ —* R3 |
|
когда [I] — [I] |
|
1 Д —
2[3 /2 ]
3[0] + [3]
4[2] + [5]
5 |
[3 /2 ] + |
[Чч\ + |
F / 2 ] |
|
|
|
|
|
||
6 |
[3 /2 ] + [9 /2 ] + |
["/2] + [1 5 /2 ] + [2 I /2 ] |
|
|
|
|||||
7 |
[2] + [4] + |
[5] + [7] + [8] + [9] + [11] + [14] |
|
|
||||||
8 |
[0] + |
[3] + |
[4] + [5] + [6] 4- [7] + [8] + |
[9] + [10] + [11] + [12] + |
||||||
|
[13] + |
[15] + [18] |
|
|
|
|
|
|||
9 |
[3/2 ] + |
[5 /2 ] + 2 [9/2 ] + |
[II/2 1 + |
[13/21 + 2 [15/2 ) 4- 2 [17/,] + |
[19/2 ] + |
|||||
|
+ |
2 [21/2 ] |
+ |
[2 3 /2 ] + |
[ 2 5 / 2 ] + 2 [27/2 ] + |
[29/2 ] + [31/2 ] + |
[33/2 ] + |
|||
|
+ |
[35/2 ] + |
3 |
[39/2 ] 4- [45/2 ] |
|
|
|
|
||
10 |
ГѴ2І +МЫ + 2 |
J 7 / ? ] .'+ |
l9h]+ |
2 ["/2 ].+ 2 [] 3 /2.L+ 2 [ 1 5 / 2 |
L + 2 ["/2] + |
|||||
|
4-3 [is/a |
|
2 [21/2 ] + 2 [23/2 ] + 3 [2S/2 ] + 2 [27/2 ] + 2 [29/2 ] |
|||||||
|
+ |
2 [31/2 |
+ |
[33/2 ] + 2 [35/2 ] + 2 [37/2 ] |
+ [39/2 ] + [41/2 ] + |
[ « / „ ] + |
||||
[45 /2 ] + " 9 / 2 ] + [5 5 /2 ]
Характер Д базисного спинорного |
представления |
группы |
Rzv+i |
|||
можно выразить через угловые параметры Ѳе и получить |
|
|||||
Д = У ех р [ - ^ ( ± 0 , ± ö 2 |
± |
• • • ± 0 , ) ] . |
(ПЗО) |
|||
где суммирование |
ведется по всем |
возможным |
комбинациям |
зна |
||
ков плюс и минус. Для группы Rzv имеем |
|
|
|
|||
Д. = |
2ехр[4-(±Ѳі ± ö 2 ± • • • ± б ѵ ) ] ; |
(П31) |
||||
где суммирование |
ведется по всем |
комбинациям, содержащим по |
||||
четному числу знаков «плюс» и знаков |
«минус». |
|
|
|
||
Сопряженный |
спинорный характер |
А2 дается подобным |
выра |
|||
жением, только в нем суммирование |
ведется |
по всевозможным |
||||
комбинациям знаков при условии, |
что полное |
число |
знаков |
«ми |
||
нус» нечетное. |
|
|
|
|
|
|
Если фиксируется разложение характера векторного представ ления ГМ группы Rzv или Rzv+i при сужении этих групп до группы R3, то фиксируется и соотношение между ѵ угловыми параметрами, входящими в формулы (ПЗО) и (П31). Сравнение получаемых та ким образом формул с формулой (П23) сразу дает правила вет вления для спинорного характера. Таблицы ПІ и ПІІ иллюстри руют типичные примеры.
|
|
|
|
|
Приложение |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
239 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
П II |
|||
|
Разложение |
базисных |
спинорных представлений |
при сужении |
|
R^—^R3 |
|
||||||||||||||||
3 |
[0] |
+ |
[2] |
|
[3/2 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
[1] |
+ |
[2] |
|
[1] |
+ |
|
[2] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[0] |
+ |
[3] |
|
[0] |
+ |
|
[3] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
[1] |
+ |
[3] |
|
[Ѵ2 ] + [5 /2 ] + |
[ 7 / 2 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
[0]+ |
[4] |
|
[2] |
+ |
|
[5] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
[1] |
+ |
[4] |
|
[3/2 ] |
+ |
[5/2 ] |
+ |
[в/2 ] |
+ |
[ п / 2 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
[2] |
+ |
[3] |
|
2[3/2 ] |
+ |
[5/2 ] |
+ |
[7/2 ] |
+ |
[9/2 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7 |
[2] |
+ |
[4] |
|
[і/ 2 ] |
+ |
[3/2 ] |
+ |
[5/2 ] |
+ |
2 |
[7/ 2 ] |
+ |
[9/2 ] |
+ |
[ п / 2 ] |
+ |
||||||
|
|
|
|
|
|
+ [ІЗ/2] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
[1] |
+ |
[5] |
|
[2] |
+ |
|
[3] |
+ |
[4] |
+ |
[5] |
+ |
[7] |
+ |
[8] |
|
|
|
|
|
||
8 |
[0] |
+ |
[1] + |
[2] + [3] |
4[1] |
+ 6 |
[2] |
+ 4 [ 3 ] |
+ 4 |
[4] |
|
+ |
2 [5] |
|
|
|
|
|
|||||
|
[2] |
+ |
[5] |
|
[1] |
4- |
[ 2 ] + 2 |
[3] |
+ 2 |
[4] |
+ |
[5] |
+ 2 |
[6] |
+ |
[7] |
4- |
||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
[8] |
+ |
[9] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
[1] |
+ |
[6] |
|
[1] |
+ |
|
[2] |
+ |
[4] + 2 [5] + |
[6] |
+ |
[7] |
+ |
[8] |
+ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
[Ю] + |
[П] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
[3] |
4- |
[4] |
|
[1] |
+ |
3 [2] 4- 2[3] |
+ |
2 |
[4] + |
|
3 [5] + |
[6] |
+ |
[7] |
+ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
[8] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ II. |
||
|
ТАБЛИЦЫ ТЕОРЕТИКО- |
||
|
ГРУППОВЫХ |
ВЕЛИЧИН |
|
|
|
П. |
Батлер^ |
Таблицы отдельных теоретико-групповых величин, |
связанных |
||
с непрерывными группами, в |
частности таблицы |
размерностей |
|
неприводимых представлений, |
правил ветвления |
представлений, |
|
разложений кронекеровских произведений представлений, довольно сильно рассеяны по различным литературным источникам. Эти таблицы вычислялись в основном вручную, причем их составители пользовались самыми разнообразными методами. Огромное дости жение Литтлвуда состоит в том, что ему удалось развить единый систематический метод для расчетов разных теоретико-групповых величин, который к тому же исключительно удобен при использо вании современных быстродействующих электронных вычислитель ных машин. Ниже приводится серия таблиц теоретико-групповых величин, которые были составлены и проверены с помощью элек тронной вычислительной машины. Автор надеется, что эти таблицы будут полезны физикам, а также, возможно, и химикам, исполь зующим теоретико-групповые методы.
Общее описание таблиц
Все расчеты были проведены на электронной вычислительной машине I B M 360/44 в Кентерберийском университете и отпечатаны на ее выходном устройстве. С этого оригинального машинного текста затем были изготовлены фотокопии, которые и воспроизво дятся здесь. В программе были предусмотрены размерностные про верки всех вычислений; вычислительная машина сразу же выда вала сигнал ошибки, когда проверка по размерности не проходила.
Порядок расположения разбиений
Разбиения, встречающиеся в таблицах, расположены |
в одном |
из двух следующих порядков. Почти во всех таблицах |
использу |
ется обычный лексикографический порядок расположения разбие ний, однако в таблицах свойств 5-функций разбиения расположены прежде всего в порядке возрастания целых чисел п (которые под вергаются разбиениям), причем разбиения каждого данного іі рас положены в порядке, обратном лексикографическому. Это сделано
: ) Physics Department, University of Canterbury Christchurch, New Zealand.
Приложение II |
241 |
для того, чтобы было легко исключать характеры, отбрасываемые из-за их эквивалентности другим характерам; им соответствуют разбиения на большее число составляющих.
Таблицы размерностей неприводимых представлений
Эти таблицы для групп S n (0^/1=^14), |
£/„(3^/2 |
=^18), |
Rn(5^ |
|||
^п^ІЬ, |
нечетные), |
Оп(4^/гг^8, |
четные) |
и 5 / ? п ( |
4 ^ / г ^ 1 8 , |
чет |
ные) |
составлялись по |
формулам, |
приведенным в основном тексте |
|||
книги. Они даны под номерами от А-1 до А-34. |
|
|
||||
Таблицы размерностей неприводимых |
представлений S n |
были |
||||
сокращены с учетом того обстоятельства, что сопряженные пред
ставления |
имеют одинаковые размерности. |
Таблицы размерностей |
и правила |
ветвления для групп Un даются |
в сокращенном виде: |
в них оставлены только такие разбиения, которые нельзя далее
привести, используя соотношения эквивалентности |
|
|||||
{А,, |
А2, |
l n } ^ l l x - \ n t |
Ха —Хя , . . . . |
0), |
|
|
(А,, |
Х2) |
А ^ ^ - Х , , , |
А , - * „ _ , , |
А] — А2, |
0} + . |
|
Пользующийся |
таблицами должен помнить, что для |
группы ^ 2 ѵ |
||||
размерности представлений [Хі, |
Х2, ..., |
±Яѵ] при Хѵф0 |
равны друг |
|||
другу и равны |
половине размерности |
представления |
[к,і, К2, ... |
|||
..., ХѵУ группы Огѵ
Таблицы свойств 5-функций
Открытый Ричардсоном и Литтлвудом диаграммный метод расчета внешних произведений 5-функций послужил Литтлвуду основой для получения всех последующих его результатов. Пра вила составления внешних произведений 5-функций были исполь зованы при составлении программы для электронной вычислитель ной машины, что позволило чрезвычайно быстро рассчитывать любое нужное произведение. Обширные таблицы внешних произве дений 5-функций даны в табл. В-1.
Внутренние произведения 5-функций |
приведены в табл. В-2. |
Эта таблица была сокращена с учетом |
того обстоятельства, что |
в произведении |
|
коэффициенты g^- удовлетворяют соотношениям
а также соотношению
16 Зак. № 279
242 |
Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы |
Вычисление внутренних произведений оказалось возможным упростить, учитывая, что S-функция, появляющаяся слева во внут реннем произведении, может быть разложена по симметрическим функциям /г,-, см. (П.29). Эти разложения легко было получить, так как
|
|
|
{l) = \ k l s _ s + l \ , |
|
где sut |
нумеруют строки и столбцы детерминанта |
соответственно. |
||
Указанные разложения S-функций приводятся в табл. В-3. Все |
||||
символы |
(abc |
... |
2) надо понимать как произведения hjibhc ... h2; |
|
так, например, (321) = {3} {2} {1} =h3h2hi. |
были положены |
|||
Формулы |
(64) |
и (74) основного текста книги |
||
в основу расчетов характеров ортогональной и симплектической
групп; они |
позволили |
выразить |
эти |
характеры |
через |
5-функцин. |
||||||||||
В табл. В-4 даются разложения характеров ортогональной |
группы |
|||||||||||||||
по S-функциям, а |
в |
табл. В-5 — разложения |
характеров |
симплек |
||||||||||||
тической группы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Spn |
||
Правила |
ветвления |
представлений |
при |
сужении |
групп |
£/„, |
||||||||||
и Rn до группы Rs находились путем расчетов |
соответствующих |
|||||||||||||||
плетизмов |
S-функций |
группы |
|
GLi. |
Эти |
плетизмы, приведенные |
||||||||||
в табл. В-6, вычислялись с учетом того факта |
[47], что |
если |
|
|||||||||||||
где п и |
р — целые |
числа, то |
Кг — коэффициент, |
стоящий |
перед |
|||||||||||
р''+ 1 в разложении |
полинома |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( l - p " + i ) ( l - p " + * ) . . . ( і - р " + Р - ' ) |
_ |
|
f. |
( 1 - р ) " |
|
|
|
|||||||||
|
(1 — P 2 ) Cl — P 3 ) •-- C l — P " ) |
|
~ к |
|
p ; |
" , |
|
|
|
|
|
|||||
Такой метод (вычисления коэффициентов полиномов) |
|
оказался |
||||||||||||||
предпочтительнее |
при |
расчетах |
на |
электронной |
вычислительной |
|||||||||||
машине, |
чем метод |
рекуррентных соотношений, |
описанный |
|||||||||||||
в разд. |
7.8. |
Соответствующие |
плетизмы |
[n] ® {р} |
для |
группы |
R3 |
|||||||||
можно легко |
найти, обращаясь к табл. В-6 и заменяясначала |
|
плетизм [я]® |
{р} на плетизм |
{2я} ® {p}, а затем заменяя каждую |
5-функцию {г} на характер |
[г/2]. С другой стороны, если имеет |
|
место соотношение |
|
|
|
м ® |
{/>}=:£ к , и , |
то К,— коэффициент, стоящий перед р~г в разложении полинома
р - " " ( 1 - р ) У, |
-—9—^-. |
При использовании результатов Лпттлвуда часто требуется рас считывать такую линейную комбинацию отдельных 5-функций
