Файл: Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf

суммирование ведется по всем S-функцням набора {ß}, соответст­ вующим всем разбиениям на четное число составляющих одной и той же величины.

Формулы (П7а), (П7б), (П9), (ПЮ), вместе взятые, дают до­ статочную информацию, чтобы провести разложение кронекеровского произведения любых двух истинных представлений группы £?2ѵ, если только имеются выражения для кроиекеровских квадра­ тов представлений [1Ѵ ]" через характеры группы R«v. Отметим, что

Разностные характеры и спинорные представления группы / ? 2 ѵ

Формулы (П5), (П6), (П7а), (П7б) таким же образом можно использовать для спинорных представлений группы R 2 v . Для ба­ зисного разностного характера Д" = [(7г)ѵ ]" имеем

Разностные характеры, ассоциированные с другими спинорнымн представлениями группы Roy, можно представить в виде

№ + 72 , >-2 + 72 . . . . . Ч + 7 2 ] " = Л " ( 2 ( - 1 ) , / 2 ( " ~ Г ) Г . „хМ); (П14)

здесь суммирование снова ведется по 5-функциям {е}, соответст­ вующим самосопряженным разбиениям веса р и ранга /-.

Легко установить, что кронекеровский квадрат разностного ха­ рактера можно выразить через S-функции по следующей формуле:

V —1

позволяют развить систематическую процедуру расчета кронеке-

Нетрудно обобщить предыдущие результаты на расчет кронекеровских произведений истинного представления группы R2v на ее спинорное представление; при этом надо использовать формулы:

в последней формуле суммирование ведется по всем 5-функциям

Ю-

Разложения кронекеровских квадратов спинорных представлений для групп Оо, и Оъ + 1

Симметрические составляющие в кронекеровском квадрате сипнорного представления полной ортогональной группы можно найти, исследуя разложение плетизма [149]

236 Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

для антисимметрических составляющих надо рассматривать пле­ тизм

Рч + Ѵ2, Х 2 + у 2 , . . . . Ч - И 2 ] ' ® (121 =

= ( Д ' ® { 2 } ) ( [ 2 < - і ) ' м ' + ' ) і Ѵ h ) ] ® { і 2 } ) +

+ (А' ® { 1 2 } ) ( [ 2 ( - 1 ) ' М р + г ) ГЕ ,х (ч)] ® (2)). (П206)

Появляющиеся здесь плетизмы для S-функций (г)} можно рас­ считать, используя методы, изложенные в гл. 6. Плетизмы базис­ ных спинорных представлений можно рассчитать непосредственно, пользуясь исходными определениями [13, 149], и для группы 02ѵ можно получить, что

Эти формулы в комбинации с формулами (П20а), (П206) поз­ воляют разложить любой кронекеровскнй квадрат спинорного представления группы 0 2 ѵ или 02 ѵ +і на симметрические и антпспмметрические составляющие. Поскольку представления группы Огѵ+і остаются неприводимыми при сужении ее до группы Rzv+i, получен­ ные результаты можно без особого труда использовать также для разложения кронекеровских квадратов спинорных представлений

группы Rzv+l.

Разложение кронекеровских квадратов истинного и спинорного представлений группы R 2 v — это значительно более трудоемкая задача, хотя полное решение ее известно и читатель может найти его в работе [149].

Правила ветвления спинорных представлений при суженииЯ,,-+Яз

При использовании квазичастичного формализма в теории атомных оболочек [145, 146] очень важно знать правила ветвления для разложения спинорных характеров группы R n по характерам группы R 3 -

Представления группы R3 зависят от единственного углового

и, сравнивая эту формулу с формулой (П24) или (П25), можно установить зависимости, существующие между ѵ угловыми пара­ метрами. Так, например, при сужении Rn+i^Rs имеем [/] и, сравнивая формулы (П25) и (П23), получаем, что