Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 206

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Решение его нам хорошо известно. Оно выражает малые колебания системы, период которых:

Заметим, что если к стержню присоединить тело с неизвестным моментом инерции и из опыта определить период тх колебания бифилярного подвеса вместе с телом, то можно определить момент инерции тела 1 .

О т в е т . Малые колебания с периодом т = 2л

Колебания системы с двумя степенями свободы

Малые

колебания

системы

Малые

колебания

системы с двумя степе-

с двумя

степенями

свободы

н я м и

свободы

около положения устойчи-

являются линейным нало-

 

 

 

 

J

жением двух главных коле-

в о г о

равновесия, описываемые изменением

 

баний

 

обобщенных координат, представляют со­

 

главных,

 

бой

линейные

наложения двух так назы­

ваемых

или собственных,

колебаний

системы. В каждом из

главных колебаний между амплитудами имеется постоянное соотно­ шение, зависящее от параметров системы, но не зависящее от началь­ ных данных. Каждому из главных колебаний соответствует своя собственная частота, в общем случае отличная от частоты другого собственного колебания системы, и фаза. Колебание системы с двумя или с большим числом степеней свободы, представляющее линейное наложение гармонических колебаний, обычно является сложным и может оказаться даже не периодическим. Поэтому выражения час­

тота

или период колебаний для

системы, у

которой

число степе­

ней

свободы

больше единицы, имеет смысл только

по

отношению

к отдельным

главным колебаниям

системы. В

системе

с двумя сте­

пенями свободы нетрудно так подобрать начальные данные, чтобы какое-либо одно из двух главных колебаний отсутствовало, тогда

можно наблюдать

оставшееся

главное

колебание

системы.

 

Решим

задачу

на малые

колебания

системы

с двумя

степенями

свободы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Двойной математический

маятник

 

Задача

№ 198.

Две материальные точки Мх

массы ш х и

М2

массы

т2

(рис. 242) связаны невесомой нерастяжимой

нитью длины

12, а точка

Мх связана,

кроме того,

такой же идеальной

нитью

длины

1Х с неподвижной

точкой

0.

Определить собственные частоты малых колебаний системы в вертикальной пло­ скости хОу2.

Решение. По условию, маятник движется в одной вертикальной плоскости; система имеет две степени свободы и движение описывается двумя уравнениями Лагранжа. Система находится в потенциальном поле тяжести и никаких актив­

ных сил, кроме сил тяжести,

на систему не действует, поэтому уравнения Лаг­

ранжа

напишем в

виде

(263).

 

1

См.: М. М.

Г е р

н е т и

В. Ф. Р а т о б ы л ь с к и й. Определение моментов

инерции. Машгиз,

1969.

 

2 Впервые двойной маятник описал Клеро (1735 г.). Полную теорию малых

качаний двойного

маятника разработал Д. Бернулли (1738 г.)

Выберем за обобщенные координаты углы ft

и ф наклона нитей к

верти­

кали и выразим через них декартовы

координаты

точек

 

 

 

 

=

— Zjsinft,

 

yi = h cos ft,

 

 

 

х2

— — її sin ft —Z 2 sin ф,

Уг~1\

cos ft+Z2 cos ф.

 

Продифференцировав

по

времени,

возведя

в

квадрат и складывая,

найдем

квадраты

скоростей

точек:

 

 

 

 

 

„ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ , / ,

 

 

 

v\~k\

+ y\ = l\&;

 

 

 

• 0 \

 

У? =

*S + У% =

Z?fta

+

' 2 ф а + 2 / і / ^ ф cos ( ф - f t ) .

 

 

Теперь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

системы:

 

легко

вычислить

кинетическую

энергию

к

 

Т = Т1 + Т2

=

'^1\Р

+

/и

+ 1\<9* +

 

 

 

^[1\¥

 

А V

 

 

+

2/1/!S<hpcos (ф—f>)].

 

 

 

Определяя потенциальную энергию П, выберем так произвольную постоянную С, чтобы при равновесии системы П равнялось нулю:

П = — niiglx cos ft—m.£ (l1 cos ft+ /2 cos ф) + С.

У

Рис. 242

Пусть

произвольная пос:тоянная

С означает п<потенциальную

энергию

системы

при д = ф = 1 8 0 ° ,

т. е. положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь потенциальная

энергия

системы

при любых значениях

обобщенных

координат

выражается

равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П = m^glx (1 — cos ft) + m^glx (1 — cos ft) -f- т<&Іг (1 — cos ф).

 

При

д = ф = 0 величина П

равна

нулю,

при остальных

значениях

П > О,

т. е. I I является

определенно

положительной

функцией обобщенных

координат.

Подсчитаем члены

уравнений (263)

Лагранжа:

 

 

 

 

 

дТ

іп1і\Ь + тіІ\§-\-пі2ІіІ2у

 

 

cos (ф —f t );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-тг -тг =

і + >п2) /?# + т 2

/ і / ,

cos (ф — ft) ф -

 

 

 

 

 

at

дії

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— т г / 1 / 2 з і п ( ф — т ) ) ф 2 - | - т 2 / 1 / 2 ф

sin (ф — ft) ft;

 

 

 

 

 

 

 

-|^-=m2 /i/2 f)cpsin

(ф—ft);

 

 

 

 

 

 

 

-ЭП

= (mi-\-m.2) glx sin ft;

 

 

 

 

 

 

 

5ft

 

 

 

 

 

 

 

— m2lt(p -\- mJjj}

 

cos (ф — ft);

 

 

 

-— - Д - =

т а / г ф +

т2/1/<.1г> cos (ф —ft)-T -m2 /1 /.2 ft3 -sin (ф —ft) • • mjjZjZjft sin (ф — ft) ф;

 

 

 

 

=

—т^^Аср

sin (ф — ft)i

 

 

 

сЗф :/7!^г Sin ф.

Подставляя эти величины в уравнения (263), получим следующие точные уравнения движения системы:

' i (m! + m2 ) # - H a m 2 cos (ер — г4') qi — 1»тг

sin (ф —ft) ф г - | - (/"i4-m2 ) g sin ft = 0;

Zt cos (ф — ft) ft-f-/гф-f-/jft'2

sin (ф — ft)-I-g sin ф- .0.

Ограничимся малыми колебаниями системы и заменим косинусы единицей, а синусы малых углов — углами. Пренебрежем членами, содержащими квадраты или произведение скоростей, и для упрощения записи обозначим т2:т1=: її. Уравнения примут вид:

 

 

/ і ( 1 - | - ц ) #

+ ^ИФ +

( 1 + І * ) г & = 0 ;

 

 

 

 

 

gcj

0.

 

Второе

уравнение

позволяет

упростить первое:

 

 

 

/ і # - і л е т + ( і - І - и ) г * = о ;

 

 

 

/1 «-|-/а Ф+«ф = 0-

 

Частные

решения

этой системы уравнений

мы будем искать в

виде'

 

ft === Вг sin (йг + ос);

ф =

В2 sin (Аг 4-a),

 

т. е. в предположении,

что обе обобщенные координаты изменяются

гармонически,

с одинаковыми частотами и фазами, но с разными амплитудами. Подставляя значения углов и их вторых производных в дифференциальные уравнения и

сокращая на sin (kt 4- а),

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S i [ ^ - ( l + U.)£]4-u£B2 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В^Р

+

В» ( № — g) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

Эта система двух уравнений, линейных

относительно

Вх

и Вг,

может

иметь

отличные от нуля

решения, если

определитель системы равен

нулю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lxk2

— (l+n)g

 

ug

=

0,

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

kk2

 

 

 

 

 

l-ik2—g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(h+U) (і +

v) g * 3 + ( і +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V*** -

и) £ 2

= о-

 

 

 

 

 

В

теории

колебаний это уравнение

называют

вековым

уравнением,

 

или урав­

нением

частот,

так

как

оно

позволяет

определить частоты

главных

колебаний

системы. При условиях

нашей

задачи

это решение

 

записано в ответе.

Оба пери­

ода главных колебаний различны между

собой и зависят

от отношения

ц. масс

точек

и

от

длины

/ х

и 12 нитей.' Один

из периодов близок к периоду качаний

математического маятника длины 12,

 

другой — к

 

периоду

маятника

длины

l v

Изменяя

длину одного

из маятников,

 

мы можем

период

соответствующего

глав­

ного колебания

сделать

больше

или меньше

периода второго главного

колебания,

однако мы не смогли бы добиться,

чтобы

оба главных периода качания двойного

маятника были бы в точности одинаковы.

Этот парадокс

был

открыт

Стоксом

и

объясняется

тем,

что

написанное

выше

уравнение частот не имеет одинаковых

корней,

при которых возможны

устойчивые

колебания двойного маятника.

 

 

О т в е т .

 

 

= + | / ^ ( /

l

 

+

/

2 ± / ( / l + /

2 )

_ ^

 

 

 

 

Задача

№

199

(И. М. Б е л е н ь к и й .

Введение

в

аналитическую

меха­

нику,

задача

№ 2). В условии

задачи

№

195 вместо жесткого соединения не­

весомого

стержня

МА

с

диском

сделано

шарнирное

соединение

в

точке

А,

остальные условия не изменены (рис. 243).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

В отличие

от системы, рассмотренной

в задаче № 195, здесь система

имеет

две степени

свободы

и движение ее может быть описано двумя

уравнениями

Лагранжа. За обобщенные координаты примем независимые

величины ф и

хА.

При

подсчете

кинетической

энергии

скорость точки А мы уже не можем

опре-

делять как rep, а должны писать хд. Выражение потенциальной энергии остается прежним и функция Лагранжа имеет вид

 

их «

.

.

.

3

 

L —

( л:д + / 2 ф 2

— 2 / х л ф cos ф ) + т tn2xA—mxgl

(I — cos ф).

Вычислим

члены

уравнений

 

Лагранжа:

 

d

•jj

dL dtp

dL

—— — тххд— tnxlq> cos ф-|—— /л2 ^л!

dL

фф + /их / sin фф2 ;

—г- = ( ^ i +-7j OT2 J *л — c o s

dL

 

 

dxA

 

 

х / 2 ф — тх1хд cos ф;

1

£

-—- -^4- — т і / 2 ф — тх1хд

cos ф -f- т ^ ф х д sin ф;

d <

Зф

 

 

 

 

 

 

 

=т 1 /фХ / 4 sin ф—rtiigl sin ф.

Напишем

оба уравнения

Лагранжа:

тх

3

 

\ ..

 

і ? sin ф - ф 2 = 0:

+ " 2 "

Т 2

) — m i ' c o s

ф - ф + т

 

 

mxl

(Щ — хд cos ф + g s i n

ф) = 0.

у

Рис. 243

Мы ищем

период

малых

колебаний

системы, поэтому,

допустив

применяемые

в подобных случаях

упрощения,

перепишем

эти уравнения

в таком

виде:

 

 

тх-\—^тг^хд—тхЩ

= 0\

1ц> — хд + £ф = 0.

 

Определяя

хд

из

первого уравнения

и подставляя во второе, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф =

0.

 

 

Множитель, стоящий

перед обобщенной

координатой,

выражает

частоту ко­

лебаний.

 

 

 

 

 

 

маятника

 

 

 

О т в е т .

Период

малых

колебаний

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•т.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: 2 Я

| /

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

Щ

 

 

 

 

 

Задача №

200.

(Я.

Г.

П а н о в к о

и

И.

И.

Г у б а н о в а .

Устойчивость

и колебания упругих систем. Изд-во «Наука», 1967). Составить дифференциальные уравнения свободных вертикальных колебаний автомобиля, происходящих парал­

лельно

плоскости . его симметрии,

если масса приведенной в колебание

системы

равна

т,

а

момент инерции относительно поперечной оси,, проходящей через

центр

масс,

равен

т л 2 .

 

 

 

Решение.

На

рис. 244

вверху

изображен автомобиль, а внизу его

динами­

ческая

схема.

Деформации

кузова

пренебрежимо малы по сравнению с

осадкой

опор,

поэтому

в динамической схеме мы считаем раму совершенно жесткой. Кроме

того, мы полагаем,

что -горизонтальные колебания системы невозможны.

 

Построим

оси

декартовых

координат

с

началом

в

центре масс

при

равно­

весном положении

системы,

направив

ось ординат по вертикали вниз. Система

обладает двумя

степенями свободы и за

обобщенные

координаты qx

и q2

примем

 

 

 

 

 

ординату

центра

масс

и

угол

наклона

рамы к го­

 

 

 

 

 

ризонтальной

плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кинетическую энергию системы определим по

 

 

 

 

 

формуле

Кёнига:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

^

 

2

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения потенциальной энергии заме­

 

 

 

 

 

тим, что

если

рама

 

автомобиля

опустится

на

qx

 

 

 

 

 

и

при

этом

наклонится

на q2, то задняя опора

 

 

 

 

 

сожмется

на

 

qx-\-aq2,

 

а

передняя

на

qx—bq2.

 

 

 

 

 

Учитывая

жесткости

 

рессор

и

пневматиков, обо­

 

 

 

 

 

значим

через

Сі

и

 

с 2

 

приведенные

жесткости

Рис.

244

 

задней

и передней

подвески автомобиля. Тогда

по­

 

тенциальную

энергию

системы

определим

анало­

 

 

 

 

 

гично

тому,

как

это

было

сделано в примере § 49:

 

 

 

 

ct

(q1

+ aq2)2

,

c2(qx

—

bqtf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

Подставляя

 

найденные

значения

Т

и

П

в

уравнения

Лагранжа, получим

ответ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т , mq!

4- (сх 4- с2)

qx -f- (сха—c2b)

q2

=

О,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

w ^ l

 

—

сф)

qx

4- (cja2

4-

c2b"-)q2

=

0.

 

 

 

 

Смотрите также файлы