Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 212

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Случай

существования

силовой

функции

Если к

механической

системе

приложены

только

силы

поля и

существует

силовая функция

U,

то, имея

в виду равенства

(238),

 

О =-V (dJLdJ^+dJL?MkA

dJLd.lA =

dJL

 

 

Или, так как U — — I I ,

где П— потенциальная

энергия (244),

 

 

dqi ~~

dq; '

 

 

*

 

 

Подставляя в уравнения

Лагранжа

вместо

обобщенной силы Q

ее выражение через потенциальную энергию, получим удобную форму

уравнений

Лагранжа

для случая

консервативной

системы:

 

 

 

 

 

 

 

 

dt{dqJ

 

 

dq-

 

ддГ

 

 

 

 

(2Ь6>

Иногда

этому

выражению

придают

еще более

простой

вид, поль­

зуясь

тем, что потенциальная

энергия

П не зависит

от обобщенных

скоростей

и потому

—^ = 0;

 

перенеся

все

члены

в

левую часть и

 

 

 

 

 

d сШ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прибавив

— 5/~ т "'

П 0 Л У ч и м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

/ дТ

 

;<Ш\

(дТ

дТ1\

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt\dq;

 

dqj

 

\dqi

dq/ J ~

 

'

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

J t l q - ^ r 0 '

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(264)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L = T — U

 

 

 

 

 

 

(265)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называют

функцией

 

Лагранжа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 192. В планетарном механизме (задача № 90, стр. 227), изображенном

на рис. 146, а, определить

угловое

ускорение колеса /

при следующих условиях.

Передаточное

число

<alv

=

12.

К

колесу

/

приложен

постоянный момент сопро-

 

 

 

Mlt

 

 

 

IV— постоянный вращающий

 

 

>

тивления

а к

рукоятке

момент

М. Колеса /

и / /

считать однородными

дисками

одинаковой

толщины

и

из одного и того же

материала. Массой рукоятки IV пренебречь. Механизм

находится в

горизонталь­

ной

плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Механизм

имеет

одну

степень

свободы, следовательно,

его положе­

ние

можно

определить

одной

обобщенной

координатой,

а

его движение—одним

уравнением

Лагранжа.

В данном

случае

за

обобщенную координату удобно вы­

брать

угол

ф 4

поворота

рукоятки

 

(fi

= q).

Тогда

обобщенная

скорость системы

равна

угловой

скорости

рукоятки

(<? = ш4 ).

Выразим в обобщенной скорости кине­

тическую

энергию системы, которая

равна

сумме

кинетических энергий первого

и второго

колес.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^.2

 

 

 

 

 

 

 

Момент

инерции

первого

колеса

Ji=

^ 1

, его угловая скорость шх = 12<? и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!'

 

2

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

433

 

 

 

 

15 "Мі 784

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Радиус второго колеса

(см. задачу

№

90) г2 — 5 г ь

следовательно,

масса

вто­

рого колеса

в 25 раз больше массы

'первого,

а его момент инерции

в 625 раз

больше. Скорость его центра равна q-&rb

а его

угловая скорость с о в

= — д .

Его

кинетическую

энергию определяем

по формуле Кёнига:

 

о

 

 

 

 

 

 

/ 2 5 / И і З б ^

, m^rt-625-Зб\

 

•

 

 

 

 

Л

2

 

4-25

J q

 

 

Кинетическая энергия

механизма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

= ^

i

14229». '

 

 

 

 

Чтобы подсчитать обобщенную силу, определим работу всех активных сил системы при вариации обобщенной координаты. Сообщим координате малое при­ ращение 6q, т. е. мысленно повернем рукоятку на угол бср4. Тогда первое колесо повернется на угол \2hq и произойдет работа

^ibA=Mbq — Mlmq.

Эта работа равна работе Qbq обобщенной силы, следовательно, обобщенная сила в этой задаче имеет размерность момента силы и равна

Q = М —124*1.

Составим уравнение Лагранжа (262). Частная производная от кинетической энергии системы по обобщенной скорости

i l £ _ = = m i r f

-1422^.

 

dq

 

 

После дифференцирования по времени

q заменится q.

Частная производная

от кинетической энергии по обобщенной координате равна

нулю. Следовательно,

m1rl-l422q = M — l2M1.

Из этого уравнения непосредственно определяем ускорение e — q рукоятки механизма при заданных моментах.

О т в е т ,

є =

М — 12Мг

 

 

 

 

 

 

 

 

1422/п^ї

 

 

 

 

 

Задача

№ 193 (№ 1063 М). Решить задачу

№ 146 уравнением

Лагранжа.1

Решение.

В 'этой

задаче

будем выражать

L в м,

Т

в сек, F

в кГ. Система

имеет

одну

степень свободы. За обобщенную координату

q выберем угол пово­

рота

ф х первого

вала.

Тогда

обобщенной скоростью

q

системы

будет угловая

 

 

 

 

 

 

 

 

3 •

 

скорость первого вала. Угловая скорость второго вала равна у q. Кинетическая

энергия

системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 .1

 

 

 

 

T = JLq* +

- ± 4 * ,

или Т = И $ 8 .

Вычислим

величины,

входящие в уравнение

Лагранжа (262):

 

 

а г я = 1 4 - . _£ атв = 1 4 - :

я г _ 0 .

 

 

dq

д'

& dq

д'

Н

 

 

 

Q = M,

т. е. Q =

50.

1 Эта задача решена в Курсе пятью различными методами. Ср. предлагаемое

решение

задачи

№ 193 с решениями

задач

№ 146, 167, 179 и 189.

 

Напишем

уравнение движения

системы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

149 =

50,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,57 сек-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ••

т. е. е 2 =

5,36сек~2 .

откуда 9 =

и по передаточному отношению

е 2 = = — 9 ,

Вращение

равноускоренное,

без

 

начальной

 

угловой

скорости,

следовательно,

по

(87):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ю2 =

5,36/

и

<р2 =—тр-

I І .

 

 

 

 

 

 

 

Угловая

скорость

будет

120

об/мин,

т. е. 4я

сек-1,

откуда

t—~—\

в это

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,36-16ла

„

,

о ,оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мгновение

второй

вал

будет

повернут

на

угол

ф 2 — —

 

- . Чтобы

определить

соответствующее

число

оборотов

 

вала,

надо

разделить

угол поворота

на

2л.

 

О т в е т .

Через

2,344 оборота.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 53. МАЛЫЕ

КОЛЕБАНИЯ

СИСТЕМЫ*

 

 

 

 

 

 

 

Во

многих

областях

 

техники часто прихо-

Движение, при котором точ-

д

и

т

с я

рассматривать колебательные

движе-

ки

системы

перемещаются

 

 

 

 

г

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

последовательно

в

ту

и в

н

и

я

механических систем,

т . е . такие дви-

другую сторону от некото-

жения, при

которых

точки

системы пере-

рых средних своих положе-

мещаются

последовательно

то в ту, то в

ний, называют

колебатель-

другую сторону относительно их некоторого

 

 

н

ь ш

 

 

 

среднего

положения. Сюда относят

вибра­

ции машин и их деталей, возникающие при различных условиях,

вибрации

инженерных сооружений и их отдельных элементов,

а также

автомобилей, судов, самолетов и пр.

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составле­ нии уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач ока­ зывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция на­ зывается линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее су­ щественны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в диффе­ ренциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе

начала

отсчета, должны быть только м а л ы м и к о л е б а н и я м и

около

положения

равновесия^.

Колеблющиеся

механические системы обычно являются консерва­

тивными, т. е. их

колебания происходят в потенциальном поле, по-

435

15*

этому уравнения Лагранжа удобно писать в форме (263) и (264). Напомним, что в выражение потенциальной энергии входит произ­ вольная постоянная С, несущественная для расчетов, так как в расчетах мы всегда встречаем не полную потенциальную энергию, а ее изменение. Но все же мы будем стараться так определить эту постоянную, чтобы потенциальная энергия системы при равновесном положении, т. е. при равенстве нулю обобщенных координат, тоже равнялась нулю. Тогда при отклонении системы от равновесного положения потенциальная энергия получается положительной, по­ тому что равновесие является устойчивым, а потенциальная энергия

в этом

положении (П = 0) согласно теореме Лежен Дирихле (см. § 49)

должна

иметь

минимум.

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

несколько задач

на малые колебания

системы, при­

чем для начала рассмотрим с

позиций

уравнений Лагранжа

малые

колебания

физического маятника.

 

 

 

 

Задача № 194. Определить малые колебания физического маятника без сопро­

тивления

на

неподвижной оси (см. рис. 192 на

стр. 334). Все данные

по

геомет­

рии масс маятника считать заданными.

 

 

 

 

Решение.

Задачу будем решать

по

(262). Направим оси декартовых

координат

как указано

на чертеже (рис. 192).

За

обобщенную координату

примем

угол <р

отклонения маятника от вертикали, т. е. будем отсчитывать обобщенную коорди­

нату ф

от

положения

устойчивого

равновесия

системы. Тогда обобщенная ско­

рость

(259)

 

 

 

 

 

 

 

 

Выразим кинетическую

энергию через

обобщенную

координату

 

 

 

 

r =

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

и вычислим

производные, входящие

в

левую

часть

уравнения (262):

 

 

 

дф ~~ Ф '

dt

ду

~

ф '

дц>

 

Д л я определения обобщенной силы подсчитаем

виртуальную' работу при изме­

нении

обобщенной координаты

 

 

 

 

 

 

6 А = — Gc sin фбф « — Осфбф.

И полученное выражение разделим на вариацию обобщенной координаты Q = — Gap.

Обобщенная сила имеет размерность момента силы, так как обобщенной координатой является угол.

После проделанных вычислений и внесения их в (262) уравнение Лагранжа принимает вид:

Уф = — бсф.

Это дифференциальное уравнение малых качаний физического маятника, вы­ веденное другим способом, было проинтегрировано в § 45.

О т в е т . Гармонические колебания с периодом

Задача №

195.

Определить период

малых

колебаний

маятника,

состоящего

из шарика, принимаемого за точку М массой mlt

укрепленного на конце невесо­

мого стержня

AM

длины /. Точка А

стержня

находится

в центре

однородного

диска массы т2 и радиуса г. Диск может катиться без скольжения по горизон­ тальному рельсу. Стержень и диск жестко скреплены между собой (рис. 239). Движение маятника происходит в вертикальной плоскости.

Решение. Построим правую систему декартовых координат с началом в центре диска при положении устойчивого равновесия системы. Ось Оу направим верти­

кально

вниз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим

связи,

наложенные

на

систему. Диск

может катиться

по

гори­

зонтальному

рельсу. Эта связь может быть выражена

уравнением уд — О.Нб

каче­

ние диска происходит без скольжения. Такую связь можно выразить условием,

чтобы

скорость vx

точки касания диска равнялась нулю.

 

 

 

 

 

 

Хотя

связь

наложена

на скорость, но для диска,

 

 

 

 

 

 

катящегося в своей плоскости, она является голо-

 

 

 

 

 

 

номной

(в

отличие от

катящегося

по

плоскости

 

 

 

 

 

 

шара, рассмотренного выше). В

самом деле,

приняв

 

 

 

 

 

 

центр

диска

за

полюс и

разложив

плоское

дви­

 

 

 

 

 

 

жение

диска

на

переносное

поступательное вместе

 

 

 

[1

 

 

с полюсом

и

относительное

вращательное

вокруг

 

 

 

 

 

 

полюса, получим

для

точки

касания:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d<p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VA-

 

-аг

—0

или

— г г = - п т.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя,

 

 

 

dt

dt

 

 

 

связи

 

 

 

 

 

 

получаем второе уравнение

 

 

 

 

 

т3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хд

=

ггр..

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

239

 

 

Следовательно, связь интегрируемая, т. е. голо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

номная.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система имеет одну степень свободы, ее положение определяется одной обоб­

щенной

координатой, а ее движение — одним уравнением Лагранжа. За обобщенную

координату можно взять, например, абсциссу хА

центра

диска или

угол ср откло­

нения

маятника

от вертикали, но не надо брать за обобщенные координаты обе

эти ' величины

и

составлять

два уравнения

Лагранжа

по

каждой

из координат,

потому

что

обобщенные

координаты

должны быть

независимыми

друг

от

друга

величинами,

а

величины

хА

 

и ср являются

зависимыми

и связаны

соотношением

хА =

гср.

Число

уравнений

Лагранжа равно

числу степеней свободы. Выбор той

или

иной

обобщенной

координаты

зависит

от

нас.

Мы

выберем

ср.

Выразим

в этой обобщенной координате и обобщенной скорости ф кинетическую и потен­ циальную энергии системы. Определим сначала координаты шарика М, прини­

маемого за материальную'точку, учитывая,

что

по уравнению связи хА = г<р:

 

 

x-=rq> — / sin ф;

j/ =

/coscp.

Продифференцировав

по

времени, найдем

проекции скорости:

 

 

Х=Г(р

— /сОЭфф,

у——/

Sin фф.

Определим

квадрат

полной

скорости точки

 

М:

 

 

V і м

=

(г2 - f l'z — 2rl cos

ф) ф 2

и кинетическую

энергию

точки

М:

 

 

 

Кинетическую энергию диска определим по формуле Кёнига, учитывая, что хА = /чр:

тгхА

 

2'

ф

 

Т

 

о •

i

,ПяГ

 

2

 

3

 

Кинетическая энергия

системы

равна

сумме

кинетических энергий точки М

и диска:

 

 

 

 

 

 

 

~

(г2

+

/ 2 — 2rl

cos ф) +

 

тгг2

Смотрите также файлы