Файл: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 211

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоян­ ной (см. § 49) и этим обстоятельством следует воспользоваться так, чтобы в поло­ жении равновесия, при котором все обобщенные координаты равны нулю, потен­ циальная энергия также равнялась нулю. По теореме Дирихле, равновесие устойчиво, если около этого положения имеется область, в которой потенциаль­ ная энергия является определенно-положительной функцией обобщенных коор­ динат. Это имеет место в нашем случае:

U = tnxgl (1 — cos ф) (при ф = 0 И = 0; при ф Ф О И > 0)

Функция Лагранжа L — T — П:

 

 

 

(г2

+

I 2 — 2rl

cos ф) - f

- 1 т

2г2

Ф 2

— mxgl (1 — cos

ф).

Подсчитаем

величины, входящие в уравнение (264):

 

 

 

 

 

д1_

 

т1 (г2

-[- I і — 2rl

cos ф) -|- - j

т2г2

Ф;

 

 

 

 

дф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

dL

тх

(г2

4- /2 — 2ii

cos

—

m2r2

Ф 4- 2mxrl

sin фф3 ;

dt

5cp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дф

-mxrl

 

sin фф 3 — mxgl

sin і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

Лагранжа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d_ dL_ _ <3L =

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

дер

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

Щ (r2-\-l2

 

— 2rl

cos

®)-т~2

m2r2 <$-{-2mxrl

sin

ф ф 3 -

 

 

 

 

 

 

mxrl

sin ф ф а 4 - / п 1 § / sin ф =

0.

 

 

 

Колебания

малые,

и мы полагаем sin ф г* ф, cos ф

1 и пренебрегаем малыми

величинами

второго

и

высшего

порядка, а также произведениями

малых вели­

чин. Уравнение

движения системы принимает

вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

тх

[1 — г]2

 

+ у

Ф + т ^ / ф = 0,

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф+

 

 

 

 

 

 

 

 

mx

(I —г)2

 

+-7rtn2r2

 

 

 

 

 

Интегрируя, получим уравнение гармонических колебаний (см. §39). Конечно,

частота

этих колебаний

не

может зависеть

только

от масс, но зависит и от их

распределения. Система представляет

собой

своеобразный

физический

маятник,

и квадрат частоты свободных колебаний

пропорционален

статическому

моменту

веса

и

обратно

пропорционален

моменту

инерции

маятника

относительно мгно­

венной

оси.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т ,

 

к -

 

 

 

mxgl

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mx(l-r)2

+

 

 

 

 

 

 

Задача № 196 (№ 12.

А. А. Я б л о н с к и й и

С. С. Н о р е й к о .

Курс тео­

рии

колебаний. «Высшая

школа»,

1966). Определить

частоту

свободнык

попереч­

ных

колебании

двухопорной

балки,

изображенной

на рис. 240. На балке нахо­

дится груз

весом

mg\

расстояния

от

груза до опор

балки равны а и Ь. Сечение

и материал

балки

считать

известными, весом балки пренебречь.

 

 

Решение.

Система

имеет

одну

степень свободы. Построим декартовы коорди­

наты

с

началом

в центре

масс

груза при

равновесном

положении системы и

направим ось Оу вертикально вниз. За обобщенную координату системы примем ординату ус центра масс.

Выразим в обобщенной координате и обобщенной скорости кинетическую и потенциальную энергии системы. Массой балки пренебрегаем, и кинетическая энергия системы равна кинетической энергии груза при его поступательном дви­ жении:

 

 

 

 

 

 

 

Т = о" тУ2-

 

 

 

Несколько сложнее определить потенциальную энергию,

потому что система

находится

в

потенциальном

поле

силы тяжести

и в потенциальном поле упру­

гости балки и полная потенциальная

энергия П==П ] +

1Т2. Потенциальная энер­

гия системы в поле

силы тяжести

 

 

 

 

 

 

 

 

rij = — mgy.

 

 

 

 

 

 

Потенциальную

энергию

сил

упру­

 

 

 

гости найдем из разности двух частных ее X '

•=£Jr-

 

значений:

при

прогибе

(f + y)

и при

ну­

 

левом

положении,

при

котором

прогиб

 

 

то

балки

в месте

расположения

груза

ра­

 

 

 

вен /:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п,-

 

 

 

 

 

 

Рис.

240

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П = — rngy + cfy +

 

су"- = ( — mg+

cf)y

+ j

су"-

Заметим, что при равновесном положении системы потенциальная энергия, согласно теореме Дирихле, должна иметь минимум, а потому ее производная

= (—mg-f с/) + а/

ду

должна обратиться в нуль, если вместо у подставить нуль—-его значение, соот­ ветствующее равновесному положению системы,

ду Jy=o' ••(-mg + cf) = 0.

Следовательно, потенциальная энергия системы

Здесь с—-коэффициент жесткости балки и, поскольку сечение и материал балки известны, может быть определен по формулам сопротивления материалов:

 

 

3EJ9

(а + Ь)

 

 

где £ — модуль упругости материала,

Уэ

— экваториальный момент поперечного

сечения балки.

 

 

 

 

 

 

Определим теперь члены уравнения (263):

 

 

дТ_

 

d ОТ

-• my;

дТ_

= 0;

dq

: m y ]

di'

 

 

dq

 

 

 

 

 

 

 

 

дП

3 £ . / э

(a+b)

У-

 

 

dq

~~

а"-Ь"-

 

 

 

 

После подстановки-имеем

3EJB(a + b)

ту =

•—Чт->

У-

аalb-

Это уравнение

выражает

малые колебания

системы. Разделив

«коэффициент

жесткости» с на «коэффициент инерции» т, найдем

квадрат

частоты колебаний

системы,

и

.для

получения

ответа

остается только

извлечь

квадратный корень.

О т в е т ,

k =

I /

— =

 

I /

 

Vrr—- •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

т.

 

У

та-Ь1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Малые

колебания

бифилярного подвеса

 

Задача

№

197.

К

концам

Мх

и М2

тонкого однородного стержня

(рис. 241, а)

массы

т

и

длины

2а подвязаны две невесомые нити одинаковой длины I . Верх­

ние концы

Nx

и

Л'2

нитей неподвижно закреплены на горизонтальной прямой на

расстоянии

2а

друг

от друга. Стержень повернули на малый угол

вокруг

цент­

ральной

вертикальной

оси

 

и отпустили

без

начальной скорости.

Исследовать

малые

колебания 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

При

заданном

движений будет изменяться высота центра масс

стержня;

но он

не

может отклоняться

в сторону. Положение системы определя­

ется высотой

центра

масс,

углом

поворота

стержня

вокруг

вертикальной

оси и

У

6) х

Рис. 24І

углом отклонения нитей от вертикали. Но эти параметры зависят друг от друга,

система имеет одну степень свободы, положение ее определяется

одной

обобщен­

ной координатой, а движение — одним уравнением Лагранжа.

Это

уравнение

удобно записать в форме (263), так как система находится в потенциальном поле

тяжести и

единственной

активной силой системы является вес

стержня.

 

За обобщенную координату нельзя выбрать высоту центра

масс, потому

что

обобщенная

координата

должна однозначно определять положение системы, а

каж­

дому положению центра масс соответствуют два положения системы. Угол пово­

рота стержня

вокруг

вертикальной

оси можно

принять за

обобщенную коорди­

нату, но удобнее в качестве таковой

выбрать

угол

наклона

нитей к

вертикали,

так как через этот угол легко

выразить потенциальную энергию системы. По­

строим прямоугольную

систему

координат, как показано на рисунке. Пусть

в

произвольное

мгновение t

угол

поворота

стержня

был а, а угол наклона нитей

IT

(рис. 241, б). Спроецируем

стержень на

плоскость

хОу (рис. 241, в).

Равнобед-

1 Первые научные исследования колебаний нитяных подвесов проведены Даниилом Бернулли в Петербурге в 1732 г.

ренный треугольник М"ОМ1

и прямоугольный треугольник N^M'M имеют рав­

ные стороны М'М = МХМ":

 

М"М1

= 2а sin у , ММ'= 1 smb.

Эти два равенства позволяют выразить угол а в обобщенной координате ft:

а — 2 arcsin \2а sin тг>

Определим в обобщенной координате и положение центра масс:

 

 

zc = l— I cos IT.

 

 

 

Переходим теперь к вычислению

входящих в (263) кинетической

и

потен­

циальной энергии

системы.

 

 

 

 

 

 

Кинетическую

энергию

определим

по

формуле Кёнига,

но чтобы

выразить

ее в обобщенных

координате

и скорости,

продифференцируем

по времени

выра­

жения,

полученные

для zc

и а:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zc

= v„ -1

, . » < ; •

а = <в = —

21 cos

ft

j ,

-

 

 

sin ftft;

4a2-Iі

 

ft.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

sin-ft

 

Подставляя

эти величины

в (217) и учитывая,

что стержень длиной 2а имеет

 

 

.

 

та'1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

момент

инерции

Jc — —^—> получим

 

довольно

сложное

выражение:

 

от

/

»

а'1

\

т

/ , . , . . , „ ,

 

4

аЧ'1 cos2 ft

 

 

~~2

\ V

c

+ З а ' j

= 2

V'

s i n " * +

Т • 4 а 2 - / 2

sin2 ft

 

При малых колебаниях можно положить cos2 0 = 1 и s i n 2 # = 0:

Тг--1-т1Щ*.

о

Вычисляя потенциальную

энергию

П системы, так определим постоянную

С, чтобы П обращалось в нуль

при -Э, =

0:

Tl--=mgl(\— cos ft).

Как видно из этого равенства,

при ft —0

 

потенциальная энергия

системы

имеет минимум, что, по теореме Дирихле

(см. § 49), означает устойчивое

равно­

весие. Разложим cos ft

в ряд. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

П =

 

/

 

ft'1

ft*

 

 

 

 

т ^ 1 _ 1 +

_ _ . _ + . . .

 

Отбросив все члены

выше второго

 

порядка,

получим приближенно

 

 

 

 

II =

Y

mglft'1.

 

 

 

Теперь вычислим члены

уравнения

Лагранжа:

 

 

дТ

1

, , 4

 

d дТ

1

4 -

 

 

__

—_

mHft,

 

•T- — =

3

-Tml'ft,

 

 

dq

3

 

 

at

Qq

'

 

 

дТ

= 0,

д\1

 

mglft.

 

 

 

 

dq

-тг— =

 

 

 

 

 

dq

 

 

s

 

 

 

Подставляя в (263), получим линейное однородное дифференциальное урав­ нение второго порядка с постоянными коэффициентами

ft = — lift.

Смотрите также файлы