Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

нулю, а внутренние сопротивления источников сохраняются в тех же ветвях. При исключении генераторов тока задающий ток считается равным нулю, а внутренняя проводимость генератора сохраняется. Метод наложения имеет первостепенное значение при анализе ли­ нейных цепей и будет неоднократно использован в последующих главах.

Рассчитывать же линейные цепи указанным методом имеет смысл в тех случаях, когда при исключениях всех источников, кроме од­ ного, цепь из сложной превращается в простую.

5. Теорема взаимности. Теорема взаимности впервые была сформулирована Кирхгофом. Прежде чем перейти к доказательству теоремы, следует вспомнить некоторые свойства главного опреде­ лителя, или определителя системы уравнений контурных токов:

Этот определитель всегда симметричен относительно первой глав­ ной диагонали, т. е. прямой, проведенной через элементы г и и гпп. Симметрия заключается в том, что любой элемент определителя, лежащий по одну сторону главной диагонали, имеет на месте своего

ке, а вне четырехполюсника оставлены только две ветви: ветвь, содержащая источник энергии, и ветвь, ток в которой следует оп­ ределить.

Пусть первая ветвь принадлежит контуру m, а вторая — кон­ туру к. При переносе источника энергии из ветви m в ветвь k (рис. 2.17, б) ток в ветви m окажется равным току, проходившему

55

в ветви k до переноса источника. Теорему взаимности можно сфор­ мулировать так: если в линейной электрической цепи поменять местами источник энергии и амперметр, то показания амперметра не изменятся. При этом предполагается, что все сопротивления эле­ ментов цепей, включая и внутреннее сопротивление источника, не участвуют в переносе, а остаются в своих ветвях.

где Amk— алгебраическое дополнение к элементу строки m и столб­ ца k.

Рис. 2.18

Во втором положении источника в контуре k (см. рис. 2.17, б) определим ток в контуре т:

При переносе источника его надо ориентировать так, чтобы направле­ ние э. д. с. в ветви k совпало бы с положительным направлением тока

вэтой ветви до переноса. Тогда за положительное направление тока

вветви m следует считать направление э. д. с. в этой ветви до ее переноса.

56

С помощью теоремы взаимности иногда удается задачу по опре­ делению тока в сложной цепи заменить задачей по расчету простой цепи. Например, в цепи рис. 2.18, а ток в ветви ab можно опреде­ лить только методами расчета сложных цепей. Если же источник

6. Метод эквивалентного генератора. Любой линейный актив­ ный двухполюсник независимо от его схемы, количества активных и пассивных элементов, содержащихся в этой схеме, с позиций под­ ключенного к нему пассивного двухполюсника можно считать гене­ ратором.

ристик необходимо, чтобы совпали хотя бы две их точки, т. е. токи и напряжения в двух режимах. Проще всего исходить из совпадения режимов холостого хода и короткого замыкания.

Отсюда следует, что, рассматривая генератор, эквивалентный данному активному двухполюснику, как генератор напряжения, э. д. с. этого генератора £9_ г необходимо выбрать равной напряже­ нию между зажимами активного двухполюсника при отключенной нагрузке. В физическом двухполюснике, состоящем из генераторов и резисторов, это напряжение можно измерить с помощью вольт­ метра с относительно большим сопротивлением. В нарисованной схеме это напряжение следует подсчитать. В режиме короткого за-

57

мыкания токи короткого замыкания активного двухполюсника и эквивалентного генератора также должны быть одинаковы. Зная ток короткого замыкания / к 3 и э. д. с. £ э - г , просто определить внутреннее сопротивление эквивалентного генератора:

'э.г — г

' к.з

Из сказанного следует, что при расчете тока в одной из ветвей сложной электрической цепи эту ветвь можно считать приемником, а всю остальную цепь активным двухполюсником.' Активный же двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором, т. е. таким простейшим генератором, при котором ток в приемнике будет таким же, как и при активном двухполюснике. При этом заданная электрическая цепь заменяется контуром, изображенным на рис. 2.20. Ток в приемнике определяется по закону Ома:

тать как общее сопротивление между зажимами активного двухпо­ люсника при отключенной нагрузке. В последнем случае при расчете внутрен­ него сопротивления следует считать, что все э. д. с. и задающие токи генерато­

стоящей из сопротивлений, соединенных между собой последова­ тельно и параллельно.

Для упрощения расчетов иногда удобно заданные генераторы тока заменять генераторами напряжения, и наоборот.

Если генератор, эквивалентный заданному активному двухпо­ люснику, желательно рассматривать в качестве генератора тока,

и внутренняя проводимость g3_г эквивалентного генератора тока. Задающий ток физически существующего активного двухполюсника может быть определен с помощью опыта короткого замыкания.

58

Для этого приемник с проводимостью g заменяется амперметром, сопротивление которого в данной цепи можно считать равным нулю. Если активный двухполюсник задан только в виде схемы, ток через короткозамкнутую ветвь должен быть рассчитан. Этот ток корот­ кого замыкания будет равен задающему току / о э . г эквивалентного генератора тока.

Внутренняя проводимость g9 . г может быть определена из опыта холостого хода, когда отключена ветвь с приемником, т. е. с про­

в случае физически существующего активного двухполюсника напряжение Ux_ х с помощью вольтметра, подключенного к зажимам активного двухполюсника, или рассчитав его в случае заданной схемы

В том случае, если при исключении всех э. д. с. и задающих токов источников, содержащихся в активном двухполюснике, его схема окажется простой, внутренняя проводи­ мость эквивалентного генератора, т. е.

проводимость активного двухполюсника, может быть непосредственно подсчитана подобно тому как подсчитывалось внут­ реннее сопротивление эквивалентного генератора напряжения.

Замена активного двухполюсника эк­ вивалентным генератором напряжения или тока позволяет во многих случаях инженерной практики наиболее просто рассчитать ток в ветви сложной цепи. Кроме того, метод эквивалентного гене­

ратора имеет большое принципиальное значение и с его помощью упрощается анализ работы множества электрических цепей.

7. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалент­ ную звезду. Электрическую цепь рис. 2.22 можно преобразовать в простую цепь с помощью приема, называемого «преобразование треугольника в эквивалентную звезду». Следует обратить внимание на треугольник, образуемый тремя сопротивлениями гх, г2 и гъ. Вершинами этого треугольника являются три точки a, b и с. Если три сопротивления, соединенные треугольником, заменить тремя сопротивлениями, соединенными звездой и подключенными к тем же точкам, то сложная цепь рис. 2.22 превратится в простую (рис. 2.23). Соединение сопротивлений треугольником показано на рис. 2.24, а, соединение звездой — на рис. 2.24, б. Треугольник и звезду считают эквивалентными, если замена в схеме треугольника звездой не вы­ зовет изменений токов в проводах, подходящих извне к точкам

а,Ьяс. Для замены одного соединения другим эквивалентным долж-

69