Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

ние окажется лишним в данной системе уравнений. Независимость уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, будет соблю­ дена, если в каждое из уравнений ввести новую ветвь, а следова­ тельно, и новый ток. Условие это достаточное, но не необходимое.

На рис. 2.10 изображен граф сложной цепи, содержащей 20 вет­ вей, 12 узлов и 9 ячеек. Для расчета этой цепи следует составить 20 уравнений. Из них 11 уравнений для узлов и 9 уравнений для

уравнениями, можно еще и следующим обра­ зом. После выбора первого контура и составления уравнения для него одна из ветвей, образующих этот контур, разрывается. Далее выбирается второй замкнутый контур. Для него составляется урав­ нение и опять разрывается одна из ветвей, образующих этот кон­ тур. Так следует поступать до тех пор, пока в цепи не останется

рых положительные направления токов совпадают с направлением обхода. В правую часть уравнения записываются все э. д. с. источников, действующих в контуре обхода. При этом со знаком плюс записываются те э. д. с , направления которых совпадают с направлением обхода контура. Условия задачи могут варьиро­ ваться. В цепи могут быть и генераторы тока, и генераторы напря­ жения. Некоторые токи могут быть заданы, а неизвестными могут быть э. д. с , задающие токи источников или сопротивления ветвей.

При выборе контуров для уравнений по второму закону Кирхгофа не следует выбирать такие контуры, которые содержат ветви с ис-

46

точниками тока. Понятие э. д. с. источника тока лишено опреде­ ленности.

Напишем уравнения Кирхгофа для расчета цепи, изображенной на рис. 2.12 (на рисунке указаны положительные направления то­ ков и э. д. с ) . Цепь содержит пять ветвей. Поэтому в цепи пять токов. Узлов всего три. Таким образом, по первому закону сле­ дует составить два уравнения и по второму — три. В качестве кон­ туров выбираем ячейки. Уравнения пишем для всех ячеек, начиная с левой и кончая правой. Направления обхода контуров выбираем совпадающими с направлением движения часовой стрелки.

Уравнения для двух верхних узлов имеют вид:

Следовательно, если заданы все сопротивления и э. д. с , то совместное решение системы из пяти составленных уравнений (2.3)

и(2.4) позволит определить все пять токов.

2.Метод контурных токов. Метод контурных токов был пред­ ложен английским физиком Д. К. Максвеллом (1831—1879 гг.). Согласно методу контурных токов предполагается, что в каждом из независимых контуров цепи протекает свой контурный ток. При этом число неизвестных токов уменьшается до числа независимых кон­ туров.

Допустимость такого чисто формального предположения должна быть доказана. Необходимым и достаточным условием возможности введения в расчеты контурных токов вместо реальных токов в вет­ вях является соответствие этих токов уравнениям Кирхгофа, состав­ ленным для той же цепи. Покажем, что контурные токи удовлетво­ ряют уравнениям Кирхгофа для любого контура линейной электри­ ческой цепи. На рис. 2.13 изображен произвольно выбранный кон­ тур сложной электрической цепи. Каждая прямая, соединяющая два узла, изображает ветвь, содержащую в общем случае резисторы и генераторы напряжения. Сопротивление ветвей, э. д. с , действу­ ющие в ветвях, и реальные токи в ветвях будем обозначать с индек­ сами, соответствующими номерам ветвей. Напишем уравнение Кирхгофа для этого контура, обходя его в направлении движения

47

туре; причем те э. д. с , положительные направления которых совпа­

туров пик, взятому со знаком плюс, если контурные токи через это сопротивление протекают согласно, т. е. в одном направлении. В контуре, изображенном на рис. 2.13, все смежные контурные токи

нения Кирхгофа для контурных токов приобретают вид, независи­ мый от выбора направлений контурных токов. Уравнение для кон­ тура, названного первым,

48