Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

Здесь Еп, £ 2 2 . £ 3 3 и Еи — алгебраические суммы э. д. с , дей­ ствующих в соответствующих контурах.

Таким образом, для расчета контурных токов в сложной цепи необязательно предварительное составление уравнений по второму закону Кирхгофа. Можно воспользоваться готовыми выражениями контурных токов.

Выбор контуров относительно произволен. Однако контуры долж­

тур abcdpfgha, а остальные три контура остались прежними. При первом варианте выбора контуров (см. рис. 2.13)

в расчет электрических цепей позволило исключить из системы урав­ нений Кирхгофа все уравнения, составленные по первому закону, и сохранить уравнения только для контуров.

Этот метод сокращения числа уравнений особенно выгоден при расчете цепей с большим числом узлов и относительно малым числом

предпочтительнее пользоваться для расчета токов в сложной цепи методом узловых напряжений. Этот метод позволяет сохранить

50

только те уравнения Кирхгофа, которые составлены для узлов,

иисключить уравнения для контуров.

Вкачестве вспомогательных неизвестных при расчете цепей методом узловых напряжений вводятся потенциалы узлов цепи от­ носительно одного из них — опорного узла. Потенциал опорного

узла фо считаем равным нулю (<р0 = 0). Потенциалы (или напряже­ ния) остальных узлов относи­

то будем различать их с помощью штрихов: (ГІІУ І"п, g'u/glt, Е'п, Е'{.2). Уравнения для токов в ветвях будем писать на основании обоб­ щенной формулы закона Ома (2.2). Выбранные положительные на­ правления токов указаны на рисунке стрелками. Составление урав­

В этих уравнениях знаки э. д. с. при неизвестных их направле­ ниях расставлены произвольно. Знак э. д. с. не зависит от направ­ ления тока, а определяется только ориентацией источника относи­ тельно узлов той же ветви.

51

Обозначим сумму проводимостей всех ветвей, сходящихся в узле л, через gnn, а сумму проводимостей всех ветвей, непосредственно связывающих узлы пик, — через —gn k или —gk n . Знак «минус» перед gnk поставлен для придания единообразия слагаемым уравне­ ний. Например,

gii = gio + glu + g'îô + gn + g'n + • • •. gi3 = — (g'u + gu + gu)-

Сумма произведений э. д. с , действующих в ветвях, на прово­ димости этих ветвей представляет собой сумму токов короткого за­ мыкания ветвей, т. е. токов, которые протекали бы в этих ветвях, если бы узлы, связанные соответствующей ветвью, замкнуть нако­ ротко. Обозначим эти токи через Y^J с индексом соответствующего узла. Таким образом, всю сумму в правой части равенства (2.8), составленную для ветвей, сходящихся в узле я, обозначим через

Отдельные слагаемые этой суммы следует писать со знаком плюс, если э. д. с. в соответствующей ветви направлена в сторону узла п (последнее правило мы установили, проделав вне страниц данной книги все операции вывода конечных уравнений для произ­ вольной схемы).

Напишем уравнения для узловых потенциалов схемы, содержа­ щей, например, пять узлов. Потенциал опорного узла ф0 — 0. Для остальных узлов

Ф І £ З І + Ф 2 # 3 2 + Ф З & 3 3 + Ф І £ З 4 = = І ! З Л Ф і £ й + Ф2 £ 4 2 + Фз£4 3 + Ф 4 # 4 4 = Ü 4 I -

Решаем уравнения с помощью определителей, например, отно­

Здесь gnn — всегда положительны, gnk — всегда отрицательны. Таким образом, для определения потенциалов узлов предвари­ тельное составление уравнений не обязательно. Определив потен­ циалы узлов, можной найти с помощью обобщенной формулы за­

кона Ома (2.2) токи в ветвях.

Интересно отметить, что, например, для расчета цепи, граф кото­ рой изображен на рис. 2.10, с помощью уравнений Кирхгофа для токов ветвей понадобится 20 уравнений. Для расчета той же цепи

52

методом контурных токов — 9 уравнений и методом узловых напря­

Положив в уравнении (2.8) проводимости всех ветвей равными нулю, кроме ветвей, связывающих узлы с индексами «1» и «О», получим

со знаком плюс. За положительные направления токов приняты на­ правления от первого узла к опорному.

После определения фх токи в ветвях могут быть найдены с по­

сложных цепей рассмотрим метод наложения. Этот метод является практическим использованием принципа наложения (суперпози­ ции), обусловленного линейностью системы.

Сущность принципа наложения заключается в следующем. Если линейная цепь подвергается воздействию нескольких источ­ ников одновременно, то реакция цепи на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие отдельно. Если, под реакцией цепи понимать ток в какой-либо ветви электрической цепи, то прин­

вотдельности.

Воспользовавшись методом контурных токов, напишем выраже­ ние тока (см. формулу 2.7) в одной из ветвей сложной цепи, выбрав контуры таким образом, чтобы эта ветвь принадлежала бы только одному k-щ контуру:

53

на отдельные слагаемые и сгруппировать слагаемые с одинаковыми Е. В результате получим

где Gnk — коэффициенты, определяемые делением алгебраических дополнений, на главный определитель системы.

Рис. 2.16

ваемый э. д. с. Е2, и т. д. Таким образом, каждое из слагаемых пра­ вой части последнего равенства представляет собой ток в той же ветви, создаваемый одним из источников, действующих в цепи.

Принцип наложения иначе называется принципом независимого действия источников энергии. Каждый из источников тока и напря­ жения создает в цепи такие токи, какие он создавал бы, если бы другие источники в этой цепи отсутствовали.

Для пояснения метода наложения рассмотрим цепь рис. 2.16, а. Допустим, что известны все э. д. с. в цепи и сопротивления. Требу­ ется определить все токи. В заданной цепи трижды последовательно исключаем два генератора, сохраняя только один. В каждый из обра­ зовавшихся схем (рис. 2.16, б, в, и г) находим все токи, выбрав предварительно их положительные направления. Токи в ветвях заданной цепи определяем как алгебраические суммы токов в тех же ветвях в схемах б, в и г. Следует обратить внимание на то, что при исключении генераторов напряжения их э. д. с. считаются равными

54