Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

Доказательства справедливости этих методов расчета и выводов расчетных формул здесь не приводятся. Это было бы повторением материала гл. I I с той только разницей, что вместо г, g и Е, U, / для цепей постоянного тока при расчете линейных цепей при синусои­ дальном переменном токе символическим методом следует писать Z, Y и Ê, Ü, I соответственно.

Таким образом, введя вместо векторов отображающие их комп­ лексные выражения, получаем возможность расчета цепей перемен­ ного тока всеми методами расчета сложных цепей, рассмотренными в гл. П. Все заданные э. д. с , напряжения или токи должны быть записаны в комплексной форме с учетом выбранных и нанесенных на схему их положительных направлений. Положительное направ­ ление напряжения на любом двухполюснике, как правило, выбира­ ется совпадающим с положительным направлением тока. Одна из заданных функций времени может быть записана с начальной фазой, равной нулю, т. е. в виде вещественного числа.

1. Метод контурных токов. Рассчитывая сложную цепь методом контурных токов, уравнения Кирхгофа для контурных токов в об­ щем случае n-контурной схемы необходимо записать в следующей форме:

JП^ц + 122^12 -\- І-ЗЗ^ІЗ + • • • + ^ringln — Elb ^

+jXnk — сопротивление, общее для k-то и n-го контуров. Сопро­

Ekk — сумма действующих в /г-м контуре э. д. с , записанных в комплексной форме. В сумму входят со знаком плюс э. д. с , поло­ жительные направления которых совпадают с выбранным направ­ лением обхода контура.

Значение тока в любом контуре можно записать с помощью формулы, подобной формуле (2.7), не составляя предварительно системы уравнений.

Следует повторить, что перед расчетом цепи любым методом необходимо на схему нанести заданные или выбранные положитель­ ные направления э. д. с. и токов. (

2. Метод узловых напряжений. При расчете цепи методом узло­ вых напряжений уравнения для узловых напряжений относительно опорного узла с потенциалом ф0 = 0 для цепи, содержащей п + 1

112

3. Преобразование треугольника в эквивалентную звезду. Фор­ мулы преобразования сторон треугольника в лучи эквивалентной

113

звезды в комплексной форме подобны тем же формулам для цепей при постоянном токе. Например, для узла-а (см. рис. 2.24)

са

Следует отметить, что вещественная часть Za может оказаться отрицательной. Такое сопротивление в пассивной линейной элект­ рической цепи создать невозможно. При расчете цепей любым дру­ гим методом отрицательная вещественная часть сопротивления или

в эквивалентную звезду отрицательная вещественная часть свиде­ тельствует лишь о том, что замена реального треугольника эквива­ лентной реальной звездой физически невозможна. С расчетной же точки зрения это преобразование возможно и расчет может быть продолжен.

4. Метод эквивалентного генератора. Метод наложения. При расчете сложной электрической цепи методом эквивалентного гене­ ратора напряжения искомый ток в ветви определяется согласно закону Ома:

Ê,.

н

где э. д. с. эквивалентного генератора Е3. г и его внутреннее сопро­ тивление 1Ъ г определяются так же, как и при расчете цепей при постоянном токе.

Расчет цепей методом эквивалентного генератора тока, методом наложения и другим любым методом принципиально не отличается от расчета подобных цепей постоянного тока. Для расчета сложной цепи любым из перечисленных методов все сопротивления ветвей следует записывать в комплексной форме. Все э. д. с. генераторов или их задающие токи необходимо записывать в комплексной форме с учетом начальных фаз этих синусоидальных функций времени. В каждой ветви нужно указывать положительные направления задан­

Для исследования цепей может быть использован принцип дуаль­ ности. При преобразованиях исходных цепей в дуальные, при за­ мене всех величин дуальными сопротивления ряда последователь­ ных элементов Z = г + / (ыЬ — п р е о б р а з у ю т с я в проводимость

114

§ 4.4. Мощность переменного тока в комплексной форме

Если известны напряжение и ток в двухполюснике в комплекс­ ной форме, можно определить мощность, поступающую в него. При этом напрашивается мысль, что для этого следует комплексное напряжение Û — Uda умножить на комплексный ток / = /е'Р. Однако такое произведение не имеет никакого смысла. Оно будет содержать сумму начальных фаз a -f- ß и, следовательно, окажется зависимым от начальных фаз напряжения и тока, т. е. от момента наблюдения.

Р = UI cos ф = UI cos (а - ß).

Но UI cos (а — ß) есть вещественная часть комплексного выра­ жения

Аналогично реактивную мощность

Q = VI sin ф = UI sin (а - ß)

можно представить в виде мнимой части того же комплексного выражения.

Таким образом, если комплексное напряжение Ü = Ue'a умно­ жить на комплексную величину, сопряженную с комплексным выра-

*

жением тока / = Іе~№, то вещественная часть полученного произ­ ведения будет представлять собой активную мощность, поступаю­ щую в двухполюсник, а мнимая — реактивную. (Звездочкой над

*

/ будем обозначать комплексную величину, сопряженную с комп­ лексной величиной /.)

Комплексная полная мощность

S = ÛÎ= Ue/aIe->V = иіе/ч> = UI cos Ф + jUI sin ф = P + jQ. (4.14)

Если мнимая часть комплексного выражения полной мощности по­ ложительна, то двухполюсник обладает индуктивной реакцией.

(вещественная и мнимая части этого выражения 5 имеют тот же смысл активной и реактивной мощностей соответственно).

115