Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

Скачать файл (20,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 246

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

При работе любой электрической цепи должен иметь место ба ланс мощностей, иными словами, алгебраические суммы активных и реактивных мощностей, развиваемых генераторами, должны равняться, .соответственно, алгебраическим суммам активных и реак тивных мощностей, поступающих во все пассивные элементы цепи, включая и внутренние сопротивления генераторов.

Полная-мощность, развиваемая генератором, есть произведение э. д. с. генератора, записанной в комплексной форме, на комплекс ную величину, сопряженную с комплексным выражением тока через генератор:

ÉI*=P0 + jQ0.

Полная мощность, поступающая в любой пассивный элемент цепи,

ÜI*=P + jQ,

где Û — напряжение на этом пассивном элементе.

Полную мощность, поступающую во внутреннее сопротивление

генератора, удобней записать в другой форме:
Уравнение баланса	мощностей
2 ÈkIk	= J ] Oj„	+ j}n {rih +	\xih).
1	l	l
Полная мощность,	отдаваемая	генератором	во внешнюю цепь,

Если активная мощность, развиваемая генератором или отдавае мая генератором во внешнюю цепь, окажется отрицательной, то дан ный генератор не отдает, а поглощает энергию, т. е. является при емником.

Когда в цепи работает один генератор напряжения, мощность, отдаваемая им во внешнюю цепь, будет наибольшей, если эквива лентное реактивное сопротивление внешней цепи будет равно и про тивоположно по знаку внутреннему реактивному сопротивлению

генератора, а	активные	сопротивления		генератора и внешней цепи
равны между	собой.
Действительно, ток		в такой	цепи
		Гі +	jXi + r +	jx'

где ГІ и Хі — внутренние сопротивления	генератора; г и х —
сопротивления внешней	цепи.

116

Ток будет максимальным при заданных активных сопротивле ниях, если подобрать х — —xt. В этом режиме

1 •	È	,	Е
1 •	Гі + Г	или

Мощность Р = Рг, расходуемая во внешней цепи, будет макси мальной, если, кроме того, активное сопротивление внешней цепи подобрать равным активному сопротивлению генератора. Доказа тельство этого не отличается от приведенного в § 2.5.

Таким образом мощность, отдаваемая приемнику, максимальна, если полное сопротивление приемника и полное внутреннее сопро тивление генератора — сопряженные комплексы.

§ 4.5. Мост Витстона на переменном токе

Классическим примером применения символического метода при анализе электрических цепей может служить задача о равнове


сии моста Витстона (рис. 4.4). Мост Витстона							является	основным
узлом	множества		измерительных			систем,
приборов		и аппаратуры		техники		связи и
автоматики.
Задача		заключается		в определении со
отношений между			сопротивлениями ветвей
моста Zlt		Z2 , Z 3 и Z4 , при которых				он ока
жется	в равновесии.
Под равновесием моста Витстона пони
мается	такой режим работы моста, при ко
тором ток в ветви			(диагонали),		содержащей
измерительный прибор,				равен	нулю.
Для вывода условий равновесия моста ,
предполагаем, что равновесие					его уже до		Puc.	4.4
стигнуто		и в диагонали		ab тока		нет. Вы
бранные положительные				направления токов указаны на				рис. 4.4.

Отсутствие тока в диагонали свидетельствует о том, что мгно венное значение напряжения между точками а и b равно нулю в лю

бой момент времени. Это возможно в цепи переменного тока	только
в том случае, если напряжения на сопротивлениях Z1 и Z 4	равны

между собой не только по величине, но и по фазе. Равенство же двух величин по модулю и по фазе соответствует равенству их комп лексных выражений: Û\ = £74.

Предположив, что тока в диагонали нет, обозначим ток в сопро тивлениях Zl и Z a через 1Ъ а в сопротивлениях Z 3 и Z 4 через / 2 . Тогда

iiZi — /2Z4 и /]Z2 — izZ3.

Разделив первое равенство почленно на второе, получим условие

равновесия моста в комплексной	форме:
•f1- == ~ - или	ZxZa = Z 2 Z 4 .

117

Так как	равенство двух	комплексных величин есть	равенство
их модулей	и аргументов,	условие равновесия можно	переписать
в виде двух уравнений. Для		этого комплексное сопротивление каж

дой ветви плеча моста, согласно равенству 4.4, запишем в показа тельной форме:

Zk = zke>*k

и подставим в условие равновесия. В результате получим

Zie>(P,z3e/(P» = Zze'V'Zteiv*

или

z^eî toi + Ф>> =	z2z4e' tos + Ф»),
откуда следуют два равенства:
ZiZ3 =	z2z^
и
Фі - f ФЗ =	ф2 + Ф4-

Если заданы гх , г2 и z3, то всегда можно подобрать z4 так, чтобы удовлетворить равенству произведений модулей полных сопротив лений противоположных плеч. Однако для равновесия моста на пере менном токе одного этого равенства еще недостаточно. Необходимо, чтобы одновременно были равны суммы фазовых углов противопо ложных плеч. Фазовые углы, или углы сдвига фаз между напряже нием и током в каждой ветви моста, определяются,, как нам уже из

вестно, соотношением	между х и г данной ветви. Эти углы лежат
в пределах от — я / 2	до + я / 2 .

Поэтому, неудачно подобрав сопротивления трех ветвей, т. е. неудачно задав углы фх , ф2 и ф3 , мы обнаружим, что для удовлетво рения уравнения фазовых углов необходим фазовый угол ф4 , по аб

солютной величине больший,	чем л / а :
I ф4 I =	I фі + Фз — ф2 I > Y •

Так как с помощью сопротивлений такое неравенство создать невозможно, то при выбранных ф1 ( ф3 и ф2 мост уравновесить не удастся.

В измерительных системах три плеча моста подбираются таким образом, чтобы при включении четвертого плеча, при некоторой частоте напряжения питания, мост можно было бы уравновесить.

Г л а в а п я т а я РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Резонансом называют такой режим, при котором в цепи, содер жащей реактивные сопротивления, ток совпадает по фазе с напряже нием на зажимах цепи. Если в резонансе находится цепь, содержа

щая последовательно соединенные участки, имеющие	индуктивный
и емкостный характер, режим называется резонансом	напряжений.

Если в резонансе находится разветвленная цепь, содержащая парал лельно соединенные участки, имеющие индуктивный и емкостный характер, режим называется резонансом токов.

Режим резонанса в технике электрической связи и автоматике играет чрезвычайно важную роль, поэтому он должен быть подробно исследован.

§5.1. Последовательный колебательный контур

1.Основные соотношения. Электрическая цепь, схема которой

изображена на рис. 5.1, называется последовательным колебательным контуром или просто последовательным контуром.

Пусть последовательный контур подключен к источнику сину соидального напряжения и работает в режиме резонанса. При этом угол сдвига фаз между током и напряжением, приложенным к кон туру, должен быть равен нулю (ср = 0). Из выражения tgcp =

— видно, что ток в последовательном контуре может совпадать с напряжением по фазе при условии

Это равенство, являющееся условием резонанса напряжений, говорит о том, что резонанса напряжений всегда можно добиться изменением в широких пределах индуктивности L , емкости С или частоты / приложенного к контуру напряжения. Если изменять, например, частоту / приложенного к контуру напряжения от 0 до оо, то индуктивное сопротивление будет увеличиваться от хі — 0 дохі = оо (рис. 5.2). При таком изменении f емкостное сопротивле-

119

ние хс будет уменьшаться, принимая последовательно все возможные

значения	от Хс =	со до х с	=	0.
При	некоторой	частоте	/ р	сопротивления индуктивности и ем
кости окажутся одинаковыми:

C Ü P L =	— - .
1	сопС

Отсюда угловая резонансная частота

(5.2)

и резонансная частота

ІпѴІС'

В дальнейшем, если параметры контура подобраны так, что его резонансная частота совпадает с частотой питающего напряжения, будем говорить, что контур настроен в резонанс с частотой питания.

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Резонансную угловую частоту в общем случае электрической цепи условимся обозначать через сор.

Угловую частоту, равную 1/J^LC, будем обозначать через со0:

(5.3)

Следовательно, угловая резонансная частота последовательного контура Op = со0 . Индуктивному сопротивлению при резонансной частоте можно придать другой вид. Для этого вместо сор подставим ее выражение