Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

Скачать файл (20,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 239

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

	§	4.2. Основные			законы электрических		цепей
				в комплексной форме
1.	Закон	Ома.	На	рис. _4.2 изображены		вектор			напряжения
Üm ~	Umda	и вектор		тока	Іт = 1те'&. Здесь	а	и	ß — начальные
фазы	напряжения		и тока,		определяемые выбором			начала отсчета
времени. Так как			вектор тока отстает от вектора					напряжения на
угол ф < 90°, то ясно, что приемник, питаемый этим									напряжением,

содержит активное сопротивление и индуктивность. Величина, рав ная отношению комплексной амплитуды напряжения, приложен ного к приемнику, к комплексной амп литуде тока в приемнике называется

комплексным			сопротивлением.			Обозна
чим	комплексное				сопротивление		за
главной		буквой:
			z	=	7 ~
Подставив			вместо Ùm и 1т их вы
ражения,		получим
Z = -	^	j -	=	^Lcy'(a -P) =		ee^,	(4.4)

где г — уже известное полное сопротивление цепи; а ф — фазовый угол между напряжением и током.

Комплексное сопротивление можно также записать в другом виде:

Z = ге / ф =		г cos ф + \z	sin ф = г + jx = г - f jxL,	(4.5)
так как г =	z соэф и х — z ѢІЩ.
Если бы	реакция	приемника	носила емкостный характер,	ток

опережал бы напряжение, угол ф был бы отрицательным и комплекс ное сопротивление

Z = zd® — z cos ф + jz sin ф = r + jx = r — \XQ.

(4.6)

Таким образом, если напряжение на приемнике записать в комп лексной форме, то, разделив комплексное выражение напряжения на комплексное сопротивление, получим комплексную величину, модуль которой равен току, а аргумент — фазовому углу между напряжением и током:

z •

Это и есть комплексная форма закона Ома.

Величина, обратная комплексному сопротивлению приемника, есть его комплексная проводимость

107

Если приемник	содержит активное и реактивное					сопротивления
в последовательном	соединении, то
у 1	1	г — jx	Т	.	X
Z ~ r + jx ~ г*-\-х2 ~ 72 + ха —				1	"
Согласно переходным формулам - 2			^ _ х 2 — g— активная				про
водимость приемника, a f i _ £ x 2		= b — его реактивная				проводимость.
Таким образом,
		У - g - j b .					(4.7)
Если бы приемник содержал активное сопротивление и индук
тивность, то
	Y ^ g - j b = g - j b L .
Если бы приемник содержал активное сопротивление и емкость,
комплексная проводимость		приемника

Y = g * - j b = g + j b c .

При записи проводимости в комплексной форме в общем виде мнимая часть комплексного числа пишется со знаком минус. Мнимая часть комплексной проводимости, как было условлено, есть раз ность между реактивной проводимостью ветви с индуктивной реак

цией	и реактивной	проводимостью ветви		с емкостной реакцией:
b =	bi — bc- Аргумент		комплексной проводимости равен углу
сдвига фаз между		напряжением и током,		но с обратным знаком.
В общем виде
		У	= І = т І І Г = ^ / Ф '	(4-8)
где

cp = a r c t g - .

Предположим, что ветвь содержит активное сопротивление и ин дуктивность и, следовательно, ср > 0. Напряжение на ветви и ток в ветви при этом связаны законом Ома в комплексной форме:

0 = ге/Ч.

Это выражение связи между Ü и / для рассматриваемой ветви указывает на то, что модуль напряжения отличается от модуля тока множителем z и что напряжение опережает по фазе ток в ветви на угол ср.

Закон Ома для той же ветви в комплексной форме можно запи сать в виде

/ = ye-^Ü.

Из этого равенства видно, что ток отстает по фазе от напряжения на угол ср, так как при умножении на е"/ ф вектор Ü поворачивается по движению часовой стрелки на угол ср.

108

В дальнейшем при всех расчетах электрических цепей при сину соидальных токах мы будем пользоваться только методом комплек сных амплитуд, и комплексные сопротивления и проводимости ветвей будут служить основной формой записи сопротивлений и проводимостей. Величины zw у будут представлять собой модули их комп лексных выражений:

z =	\| Z \| = K r 2 + x2 , у = \ Y j = "\|/g2	+ ô2 .
2. Уравнения	Кирхгофа. Согласно первому	закону Кирхгофа

алгебраическая сумма мгновенных значений токов в ветвях, связан

ных общим узлом электрической цепи, равна	нулю:
п
h + h + h + • • • + in = Yi =	°-
4 = 1

Мгновенные значения этих токов можно представить в виде веще

ственных или мнимых частей комплексных выражений		/l m e/ C ù ^,
!2me'(ùt и т. д. (равенства	4.2 и 4.3):
£	Re (/f t m e^) = 0,	(4.9)
A = l
п
2	Im ( / ^ 0 = 0.	(4.9а)

4 = 1

Так как равенство Si = 0 справедливо при подстановке вместо мгновенных значений вещественных или мнимых частей комплекс ных выражений Іш^"^, о н о должно быть справедливым и при подста новке вместо мгновенных значений токов самих комплексных выра

жений 1кте!а'.		умножив обе части		равенства	(4.9а)	на / и сло
Действительно,		умножив обе части		равенства	(4.9а)	на / и сло
жив равенства	(4.9) и (4.9 а) получим
m	п
2] Re Ош^)	+ £	/ Im Оит^)	=
4 = 1	4 = 1
	=	È [R e Okm^)	+ /	Im { l k m ^ ) }	= 2	h m ^ = 0.
		4 = 1			4 = 1

Таким образом, если вместо мгновенных значений токов в первое

уравнение Кирхгофа подставить выражение îkm^a',	равенство, не
нарушится.
Сократив обе части равенства на оператор вращения е?ш,		полу
чим первое уравнение Кирхгофа для амплитудных	значений	токов
в комплексной форме:
/ i m + /2m + /3 m + ... = 2 / Ä m = 0.		(4.10)

Подобное равенство можно написать и для действующих значе ний токов.

109

Таким образом, первый закон Кирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая сумма комплексных выражений токов в ветвях, связанных общим узлом, равна нулк).

Для доказательства справедливости второго закона Кирхгофа в комплексной форме запишем для произвольного замкнутого кон

тура уравнение,	составленное		согласно второму		закону	Кирхгофа
для мгновенных значений э. д. с. и напряжений с учетом						заданных
и выбранных положительных			направлений этих		величин:
п	п		п	п
2 ' V * + 2 L k it+2 k \ k d t = 2 e f t >
i	i		i		i
где k — номера	ветвей,	образующих		замкнутый	контур.
При синусоидальных		э. д. с. генераторов и линейной				цепи все
мгновенные значения э. д. с ,			напряжений и токов согласно равен

ствам (4.7) и (4.8) можно представить в виде вещественных или мни

мых частей комплексных величин: Ехтеы,	Е%т^,...,	i l m ^ a t ,	l%me'at.
Так как уравнение Кирхгофа повторяем, останется справедли
вым при подстановке вместо мгновенных	значений	напряжений,
токов и э. д. с. вещественных частей этих комплексных			величин

или соответственно мнимых их частей, оно останется справедливым и при подстановке самих комплексных величин. Отметим, что ампли тудные значения токов и э. д. с. и их начальные фазы не являются функциями времени и могут быть вынесены за знаки производных

и	интегралов. После подстановки				получим
	п	п		п	п]
	2	Іш^гь + 2	Lnjalkme'^	+ 2	- г щ ^ hm^	= 2
	k=\	k=i		ft=l	&=J
	Разделим обе части равенства на оператор вращения
2	{jkmrк	+ ikmi^Lk	+ l k m j(ùQk	j =
4 = 1
				n	'« [Г +	n	2Èkm-
				= 2	'« [Г +	+ jéi) =	2Èkm-