ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 242
Скачиваний: 1
ной электрической цепи разбила всю плоскость рис. 3.34, а на три области — две области внутри простых контуров схемы и третью вне самой схемы. Каждая из этих областей будет соответствовать узлу-дуальной цепи. Эти узлы отметим точками a, b и d. Проведем штриховые линии, соединяющие узлы так, чтобы каждая из них проходила через один элемент исходной цепи один раз и не пере секала бы при этом соединительных проводов исходной цепи. Эти линии явятся ветвями дуальной цепи. В каждую из этих ветвей нужно ввести элемент, дуальный тому, который в исходной цепи пересекла соответствующая штриховая линия. На рис. 3.34, б показаны три узла дуальной цепи и связывающие их ветви. Нижние
Рис. 3.34
индексы исходных и дуальных элементов цепей сохранены одина ковыми. Можно убедиться в том, что уравнения для контурных токов цепи рис. 3.34, а подобны уравнениям узловых напряжений для цепи рис. 3.34, б. Узел d на рис. 3.34, б, соответствующий внешней области, при составлении узловых уравнений считают опорным. Положительные направления э. д. с. и задающих токов в дуаль ной цепи можно установить на основании следующей рекомен дации.
Если при обходе ячеек исходной цепи в направлении движения часовой стрелки положительные направления напряжений на двух полюсниках совпадают с направлением обхода, то за положительные направления токов через дуальные двухполюсники в дуальной цепи следует выбрать направления от узлов, помещенных внутри ячеек исходной цепи. Напомним, что за положительные направления на пряжений на пассивных двухполюсниках и на источниках приняты направления от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом.
101
В уравнениях Кирхгофа для исходной цепи (см. рис. 3.34, а) 1) і'і + *2 — i's = О,
2) |
L x - ^ + ^ - J i i Ä - i V a — - ^ - J i2dt = e l - e 2 , |
3) |
1 У 2 + g 2 § M ' + ^3-^f = ez |
произведем все замены величин и элементов дуальными, сохранив индексы исходных и дуальных элементов одинаковыми. В резуль тате замены получим:
1) их-\-и2 |
— «з = 0, |
|
|
|
|
||||
2) |
Ci - ^ - + -ц- jjM * - « 2 g 2 - -ц jju2dt = i10 - 1 2 0 , |
||||||||
3) |
« 2 g 2 + -Ц J U2<# + С3 - ^ - = t2 0 . |
|
|
||||||
Здесь % = aa d , |
«2 |
= |
uba |
и ы3 |
= « м , а г*10 |
и і2 0 |
— задающие токи |
||
генераторов |
тока. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученную |
систему |
уравнений |
можно |
переписать иначе: |
|||||
|
|
1) uad |
+ |
Uba ~ |
ubd = Of |
|
|
||
|
|
2) |
iic[ + |
*iLj - |
'Va— |
hK = |
~~ '20> |
||
|
|
3) |
I |
+ |
+ г'зС3' = |
1 20- |
|
|
Таким образом, уравнения для контуров и узлов исходной цепи превратились в уравнения для узлов и контуров дуальной цепи (см. рис. 3.34, б). Положительные направления задающих токов и токов в ветвях дуальной цепи установлены в соответствии с выше приведенной рекомендацией.
Численные значения э. д. с. источников напряжений в основных или производных единицах в исходных цепях можно выбрать рав ными численным значениям задающих токов источников тока в по добных же единицах в дуальных цепях. Если при этом численные значения г, g, L и С элементов исходной цепи выбрать равными численным значениям дуальных элементов' в дуальной цепи, то токи в ветвях исходной цепи окажутся численно равными падениям напряжения на соответствующих элементах дуальной цепи.
Г л а в а ч е т в е р т а я СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД (МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД)
§4.1. Основы символического метода
Вгл. I I I были рассмотрены процессы в линейных электрических цепях, содержащих активные сопротивления, индуктивности и ем кости, при питании этих цепей синусоидальным напряжением. Мы убедились в том, что в установившемся режиме токи в этих цепях также изменяются по закону синуса. Действующие или амплитуд ные значения этих токов и напряжений на отдельных участках цепи изображались с помощью векторов на векторной диаграмме. Иссле дование и расчеты цепей основывались на применений законов Кирх гофа, приводивших к геометрическим действиям сложения и вычи тания векторов токов и напряжений. С помощью векторных диаграмм можно производить и расчеты цепей, однако в случае сложных цепей
эти расчеты были бы сложны и требовали бы большой точности в соблюдении масштабов диаграмм.
Развитие электроэнергетики и техники связи потребовало раз работки инженерного аналитического метода расчета электриче ских цепей, позволяющего использовать уже хорошо известные приемы расчета сложных цепей постоянного тока. Таким методом расчета электрических цепей переменного тока явился символиче ский метод или метод комплексных амплитуд. Символический метод является формальным переводом геометрических операций над век торами на язык алгебры комплексных чисел.
1. Вектор на комплексной плоскости. Плоскость векторных диаграмм будем считать комплексной плоскостью.
В отличие от обозначения У—1 через і, принятого в математике, будем обозначать у—1 буквой /, так как в теории электрических цепей і — обозначение мгновенного значения тока. По оси абс цисс на комплексной плоскости будем откладывать действительные (вещественные) части комплексных чисел m + jn, а по оси ординат — их мнимые части *. Положительные значения m будем откладывать вправо от начала координат, а отрицательные — влево от него. Положительные значения п условимся откладывать вверх от начала координат, а отрицательные — вниз от него.
* Коэффициент при мнимой части комплексного числа п для краткости часто
именуют просто мнимой частью комплексного числа. Этим сокращением наиме нования величины п мы будем пользоваться в дальнейшем.
103
Комплексное число m + jn изображается точкой на комплексной плоскости (рис, 4.1) с ординатой п и абсциссой т. Если ъту точку рассматривать как конец вектора, про
|
|
|
веденного |
из |
начала |
координат, |
то в |
|||||||
|
|
|
комплексной |
плоскости каждому |
числу |
|||||||||
|
|
|
будет соответствовать один вектор, а |
|||||||||||
|
|
+ |
каждому |
вектору — одно |
|
комплексное |
||||||||
|
ÏÏ1 |
число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Как |
известно, |
любое |
|
комплексное |
|||||||
|
|
|
число может быть записано в трех фор |
|||||||||||
|
|
|
мах: |
алгебраической |
m - f jn, |
тригоно- |
||||||||
J |
|
|
метрической |
M (cosct -f- / sina) |
и |
пока |
||||||||
з е - 4.1 |
|
зательной |
Me'a ( M —есть |
модуль |
комп |
|||||||||
|
|
|
лексного |
числа, |
а |
a — его |
аргумент). |
|||||||
Вещественные |
числа |
m, |
п, M |
и аргумент |
a |
связаны |
между со |
|||||||
бой уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/И = | / т 2 |
+ "2> |
tga = ~, |
m = / И cos a, |
|
п = M sin a. |
|
||||||||
Вообще говоря, аргумент комплексного числа m + jn может иметь |
||||||||||||||
бесчисленное множество |
значений, отличающихся друг от друга |
|||||||||||||
на числа,кратные 2я. Мы условимся под аргументом |
комплексного |
|||||||||||||
числа понимать |
главное |
его значение, |
лежащее |
в пределах от —я |
до + я . В этом интервале только одно значение удовлетворяет |
одно |
||
временно уравнениям Mcosa — m |
и Msina = |
п. Например, |
если |
тип положительны, то a лежит в |
интервале |
0 — у . Если m отри |
цательно, а п положительно, аргумент a имеет значение в интервале
л
Y — я и т . п .
Геометрически аргумент a комплексного числа представляет собой угол на комплексной плоскости, отсчитываемый от положи тельного направления оси вещественных значений до отображае мого вектора.
При расчете цепей при синусоидальном переменном токе симво лическим методом каждый вектор на векторной диаграмме может быть записан в виде комплексного числа, и геометрические действия над векторами заменяются соответствующими алгебраическими действиями над комплексными выражениями этих векторов.
Комплексные величины, отображающие амплитудные или дей ствующие значения синусоидальных функций времени, условимся обозначать точкой над обозначением физической величины. Напри мер, комплексное выражение действующего значения напряжения,
изображаемого вектором |
U, будем обозначать |
|
|
Ü = U ' + j U " = |
U t ' a . |
|
|
Здесь a — начальная |
фаза напряжения или |
(геометрически) |
|
угол между вектором U на комплексной |
плоскости |
и положитель |
на
ным направлением оси вещественных значений, U' и U" — проек ции вектора на оси вещественных и мнимых значений соответственно.
Комплексные |
величины Ùт |
= Uте'а и Іт = |
[те'® называются |
комплексными |
амплитудами. |
|
|
2. Мгновенное значение |
синусоидальной |
функции времени |
в комплексной форме. Мгновенные значения синусоидальной функ ции времени (см. гл. III) изображали в виде проекции вращающегося вектора на неподвижную ось. При этом длина вектора изображала амплитудное значение отображаемой им функции времени.
Вращающийся вектор можно также записать в комплексной форме. Действительно, как мы уже отмечали, геометрически аргу мент комплексного числа представляет собой угол между направле нием вектора на комплексной плоскости и положительным направ лением оси вещественных значений. Если этот угол увеличивается с течением времени, вектор вращается вокруг полюса в направле нии, противоположном направлению вращения часовой стрелки. При равномерном вращении вектора с угловой скоростью со, если начальная фаза отображаемой вектором физической величины равна нулю, угол равен со/.
В любой момент времени положение вращающегося вектора опре деляется комплексным числом (например, для тока):
Если начальная фаза тока не равна нулю, т. е. если при / = О направление вектора тока создавало с положительным направле нием оси вещественных значений угол а, комплексное выражение вращающегося вектора ît приобретает несколько более сложный вид:
h = I |
( ш ? + а ) = /me'aelat |
= Ime'at. |
|
(4.1) |
||
Таким образом, |
точка |
над обозначением вектора |
указывает |
на |
||
то, что начальная |
фаза |
функции, отображаемой вектором |
! т , |
не |
||
равна нулю. В частном случае, когда |
начальная фаза |
равна |
нулю, |
можно записать Іт — Іт.
Возвращаясь к комплексному выражению вращающегося век тора, напишем его в тригонометрической форме:
h = /«е""* = 1те>{ < м + а ) = Іт cos (со/ + а) + //,„ sin (со/ + а).
Вещественная часть комплексного выражения j t представляет собой мгновенное значение гармонического тока, если этот ток запи сать в форме косинусоидальной функции времени:
і — /OT cos (at-{-а).
Мнимая часть этого же выражения представляет собой мгновен ное значение гармонического тока, если этот ток записать в форме синусоидальной функции времени:
і — Іт sin (cùZ + a).
105
Следовательно, вещественная и мнимая части комплексного выражения lt представляют собой мгновенные значения гармони ческой функции времени, сдвинутые между собой на четверть пе риода.
Если в виде мгновенного значения выбрана вещественная часть этого комплексного выражения, то перед І( пишут Re (от латин ского слова Realis — вещественный, реальный). Если в виде мгно венного значения выбрана мнимая часть комплексного выражения, то перед I t пишут Im (от латинского слова Imaginarius — мнимый). Таким образом, мгновенное значение синусоидального тока можно выразить через комплексное выражение вращающегося вектора:
i = Re(îme/at), |
(4.2) |
или |
|
t = Im(/f f l e/ f f l 0. |
(4.3) |
При исследовании электрических цепей часто необходимо от вы ражений токов в комплексной форме переходить к выражениям их мгновенных значений. Для этого комплексная амплитуда тока запи сывается в показательной форме:
Затем она умножается на оператор вращения е'Ч*. Вещественная или мнимая части полученного комплексного
выражения вращающегося вектора І( будут представлять собой (выражения мгновенных значений гармонического тока, сдвинутые между собой на Г/4.
і = Re (lt) = I m cos (Ш + a). i = Im (//) = I m sin ((ùt-\-a).
Переход от комплексных выражений напряжений и э. д. с. к выражениям их мгновенных значений осуществляется подобным же образом.
Выбор действительной или мнимой части (см. равенства 4.2 и 4.3) является произвольным, но простоты ради следует этот выбор сделать и в дальнейшем от него не отклоняться.
Так как в предыдущих главах основной |
функцией был синус, |
то в качестве основы возьмем формулу (4.3) |
и будем писать: |
і = Im (Іт&ш1) = Im sin (со^ + a).
Итак, для |
того чтобы от комплексной амплитуды |
(тока или на |
|||
пряжения) перейти |
к выражению мгновенного |
значения, |
надо комп |
||
лексную амплитуду., |
записанную в показательной форме, |
умножить |
|||
на оператор |
вращения е,ші и найти мнимую |
часть |
этого выраже |
||
ния. |
|
|
|
|
|
106